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1. 已知$△ ABC$的三边长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，$△ DEF$的三边长分别为$\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{15}$，则$△ ABC$与$△ DEF$（
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.全等
A
）A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.全等
答案
$\because \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{3},\therefore △ ABC$与$△ DEF$一定相似.
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的全部边长，可使用相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）解题。首先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，找准对应边；再计算对应边的比值，若三个比值相等则两三角形相似，反之则不相似；另外全等要求边长完全相等，本题两个三角形边长明显不同，可直接排除全等选项。
【解析】
先将两个三角形的三边分别按从小到大排序：
$△ ABC$的三边：$1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{5}$
$△ DEF$的三边：$\sqrt{3} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{15}$
计算对应边的比值：
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{15}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
可得三组对应边比值相等，即$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ ABC$与$△ DEF$一定相似，且边长不相等，不可能全等，故选A。
【答案】A
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先将两个三角形的边按大小顺序排列，找准对应边后再计算比值，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的全部边长，可使用相似三角形的判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）解题。首先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，找准对应边；再计算对应边的比值，若三个比值相等则两三角形相似，反之则不相似；另外全等要求边长完全相等，本题两个三角形边长明显不同，可直接排除全等选项。
【解析】
先将两个三角形的三边分别按从小到大排序：
$△ ABC$的三边：$1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{5}$
$△ DEF$的三边：$\sqrt{3} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{15}$
计算对应边的比值：
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{15}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
可得三组对应边比值相等，即$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ ABC$与$△ DEF$一定相似，且边长不相等，不可能全等，故选A。
【答案】A
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先将两个三角形的边按大小顺序排列，找准对应边后再计算比值，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
2. 如图,网格(由边长为1的小正方形组成)中相似的两个三角形是 (
A.①与②
B.①与③
C.③与④
D.②与③
B
)A.①与②
B.①与③
C.③与④
D.②与③
答案
题图中图形①的三边长分别为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$;图形②的三边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{5},3$;图形③的三边长分别为$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$;图形④的三边长分别为$\sqrt{2},3,\sqrt{17}.\because \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}},\therefore$ 图形①与③相似.
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，解题步骤为：第一步，设小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长；第二步，逐一核对选项中两个三角形的三边比值是否相等，比值全部相等的即为相似三角形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理计算各三角形三边长：
图形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
图形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$3$；
图形③的三边长分别为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
图形④的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$3$，$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
验证图形①和③的三边比值：$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例，因此图形①与③相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，解题核心是准确计算网格中三角形的各边长度，再验证三边是否对应成比例，掌握勾股定理和相似三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，解题步骤为：第一步，设小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长；第二步，逐一核对选项中两个三角形的三边比值是否相等，比值全部相等的即为相似三角形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理计算各三角形三边长：
图形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
图形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$3$；
图形③的三边长分别为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
图形④的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$3$，$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
验证图形①和③的三边比值：$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例，因此图形①与③相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，解题核心是准确计算网格中三角形的各边长度，再验证三边是否对应成比例，掌握勾股定理和相似三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 教材例题变式 [2026眉山东坡区期中]已知$△ ABC$的三边长分别为$2,\sqrt{2},\sqrt{10}$，$△ A_1B_1C_1$的两边长分别为1和$\sqrt{5}$，当$△ A_1B_1C_1$的第三边长为
$\sqrt{2}$
时，$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似。答案
设$△ A_1B_1C_1$的第三边长为$x$. ①当$x ＜ 1$时,$\frac{2}{1} ≠ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$,该情况不符合题意;②当$1 ＜ x ＜ \sqrt{5}$时,$\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{x}$,$\therefore x = \sqrt{2}$;③当$x ＞ \sqrt{5}$时,$\frac{\sqrt{2}}{1} ≠ \frac{2}{\sqrt{5}}$,该情况不符合题意. 综上,当$△ A_1B_1C_1$的第三边长为$\sqrt{2}$时,$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似.
解析
【分析】
要判断两个三角形相似，依据三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理，首先先将△ABC的三边长从小到大排序，明确三边的大小关系；由于△A₁B₁C₁的第三边长未知，无法确定边长的大小顺序，因此需要分三种情况讨论第三边是最短边、中间长度边、最长边，分别验证对应边是否成比例，排除不符合的情况，即可求出正确的第三边长。
【解析】
设△A₁B₁C₁的第三边长为$ x $。
先将△ABC的三边长从小到大排序：$ \sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{10} $，△A₁B₁C₁已知两边为$ 1 ＜ \sqrt{5} $，分三类讨论：
①当$ x ＜ 1 $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ x,1,\sqrt{5} $，此时$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2} $，$ \frac{2}{1}=2 $，二者不相等，三边无法对应成比例，该情况不符合题意；
②当$ 1 ＜ x ＜ \sqrt{5} $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ 1,x,\sqrt{5} $，若两三角形相似，则对应边成比例：$ \frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{x} $，计算得前两个比值均为$ \sqrt{2} $，因此$ \frac{2}{x}=\sqrt{2} $，解得$ x=\sqrt{2} $，符合$ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{5} $的范围；
③当$ x ＞ \sqrt{5} $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ 1,\sqrt{5},x $，此时$ \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} $，$ \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} $，二者不相等，三边无法对应成比例，该情况不符合题意。
综上，△A₁B₁C₁的第三边长为$ \sqrt{2} $。
【答案】
$ \sqrt{2} $
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式运算、分类讨论思想
【点评】
本题属于相似三角形判定的典型应用题型，解题的核心是先对已知三角形的边长排序，再通过分类讨论确定未知边的位置，逐一验证三边比例是否相等，避免因忽略边长顺序导致漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要判断两个三角形相似，依据三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理，首先先将△ABC的三边长从小到大排序，明确三边的大小关系；由于△A₁B₁C₁的第三边长未知，无法确定边长的大小顺序，因此需要分三种情况讨论第三边是最短边、中间长度边、最长边，分别验证对应边是否成比例，排除不符合的情况，即可求出正确的第三边长。
【解析】
设△A₁B₁C₁的第三边长为$ x $。
先将△ABC的三边长从小到大排序：$ \sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{10} $，△A₁B₁C₁已知两边为$ 1 ＜ \sqrt{5} $，分三类讨论：
①当$ x ＜ 1 $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ x,1,\sqrt{5} $，此时$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2} $，$ \frac{2}{1}=2 $，二者不相等，三边无法对应成比例，该情况不符合题意；
②当$ 1 ＜ x ＜ \sqrt{5} $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ 1,x,\sqrt{5} $，若两三角形相似，则对应边成比例：$ \frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{x} $，计算得前两个比值均为$ \sqrt{2} $，因此$ \frac{2}{x}=\sqrt{2} $，解得$ x=\sqrt{2} $，符合$ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{5} $的范围；
③当$ x ＞ \sqrt{5} $时，△A₁B₁C₁三边从小到大依次为$ 1,\sqrt{5},x $，此时$ \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} $，$ \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} $，二者不相等，三边无法对应成比例，该情况不符合题意。
综上，△A₁B₁C₁的第三边长为$ \sqrt{2} $。
【答案】
$ \sqrt{2} $
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式运算、分类讨论思想
【点评】
本题属于相似三角形判定的典型应用题型，解题的核心是先对已知三角形的边长排序，再通过分类讨论确定未知边的位置，逐一验证三边比例是否相等，避免因忽略边长顺序导致漏解或错解。
【难度系数】
0.6
4. [2026郑州枫杨外国语学校月考]如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$AG$分别交线段$DE,BC$于点$F,G$, $\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG}$. 求证: $∠ AED = ∠ B$.
答案
证明:$\because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG},\therefore △ ADF ∽ △ ACG,\therefore ∠ ADE = ∠ C$.
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB,\therefore △ ADE ∽ △ ACB,\therefore ∠ AED = ∠ B$.
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB,\therefore △ ADE ∽ △ ACB,\therefore ∠ AED = ∠ B$.
解析
【分析】
要证明∠AED=∠B，观察可得两角分别属于△ADE和△ACB，若能证明这两个三角形相似，即可得对应角相等。首先分析已知的三组边成比例，恰好对应△ADF和△ACG的三组对应边，可先由三边成比例判定△ADF∽△ACG，得到对应角∠ADE=∠C；再结合△ADE和△ACB的公共角∠DAE=∠CAB，用两角对应相等判定△ADE∽△ACB，最终得到待证结论。
【解析】
证明：
$\because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG}$，
$\therefore △ ADF ∽ △ ACG$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ADE = ∠ C$（相似三角形对应角相等）。
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB$（公共角相等），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ AED = ∠ B$（相似三角形对应角相等）。
【答案】
证明:$\because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG},\therefore △ ADF ∽ △ ACG,\therefore ∠ ADE = ∠ C$.
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB,\therefore △ ADE ∽ △ ACB,\therefore ∠ AED = ∠ B$.
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用，解题的关键是先通过已知的边成比例关系得到第一组相似三角形，进而得到等角，再结合公共角证明目标三角形相似，即可推出结论。
【难度系数】
0.7
要证明∠AED=∠B，观察可得两角分别属于△ADE和△ACB，若能证明这两个三角形相似，即可得对应角相等。首先分析已知的三组边成比例，恰好对应△ADF和△ACG的三组对应边，可先由三边成比例判定△ADF∽△ACG，得到对应角∠ADE=∠C；再结合△ADE和△ACB的公共角∠DAE=∠CAB，用两角对应相等判定△ADE∽△ACB，最终得到待证结论。
【解析】
证明：
$\because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG}$，
$\therefore △ ADF ∽ △ ACG$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ADE = ∠ C$（相似三角形对应角相等）。
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB$（公共角相等），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ AED = ∠ B$（相似三角形对应角相等）。
【答案】
证明:$\because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG},\therefore △ ADF ∽ △ ACG,\therefore ∠ ADE = ∠ C$.
又$\because ∠ DAE = ∠ CAB,\therefore △ ADE ∽ △ ACB,\therefore ∠ AED = ∠ B$.
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用，解题的关键是先通过已知的边成比例关系得到第一组相似三角形，进而得到等角，再结合公共角证明目标三角形相似，即可推出结论。
【难度系数】
0.7
5. 新趋势·传统文化 [2025上海虹口区月考]在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似,“马”应落在 (
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
B
)A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
答案
由“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$;“车”“炮”所在位置的格点之间的距离为1,“炮”“②”所在位置的格点之间的距离为$\sqrt{5}$,“车”“②”所在位置的格点之间的距离为$2\sqrt{2}.\because \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$,$\therefore$“马”应落在②处.
解析
【分析】
要判断“马”落在哪个位置时两个三角形相似，我们依据三边对应成比例的两个三角形相似的判定规则来思考：第一步，设每个小正方形边长为1，用勾股定理先算出“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长；第二步，算出固定点“车”和“炮”之间的距离；第三步，分别计算“马”落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，对比两组三角形的边长比例，找到三边对应成比例的情况即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”所在三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：由勾股定理得$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：由勾股定理得$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
即该三角形三边长为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”两点的距离为1。
3. 若“马”落在②处：
炮到②的距离：由勾股定理得$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
车到②的距离：由勾股定理得$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
此时“马”“车”“炮”构成的三角形三边长为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$。
4. 验证相似性：$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，三边对应成比例，两个三角形相似，符合要求。
【答案】B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格线段计算
【点评】
本题结合象棋传统文化背景，考查了网格中线段长度的计算和相似三角形的判定，解题的核心是准确用勾股定理求出各边长度，再通过边长比例判断相似关系。
【难度系数】
0.7
要判断“马”落在哪个位置时两个三角形相似，我们依据三边对应成比例的两个三角形相似的判定规则来思考：第一步，设每个小正方形边长为1，用勾股定理先算出“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长；第二步，算出固定点“车”和“炮”之间的距离；第三步，分别计算“马”落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，对比两组三角形的边长比例，找到三边对应成比例的情况即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”所在三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：由勾股定理得$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：由勾股定理得$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
即该三角形三边长为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”两点的距离为1。
3. 若“马”落在②处：
炮到②的距离：由勾股定理得$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
车到②的距离：由勾股定理得$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
此时“马”“车”“炮”构成的三角形三边长为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$。
4. 验证相似性：$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，三边对应成比例，两个三角形相似，符合要求。
【答案】B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，网格线段计算
【点评】
本题结合象棋传统文化背景，考查了网格中线段长度的计算和相似三角形的判定，解题的核心是准确用勾股定理求出各边长度，再通过边长比例判断相似关系。
【难度系数】
0.7
6. 一题多解 一个钢筋三角形框架的三边长分别是20 cm,50 cm,60 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角形框架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截取两段(允许有余料)作为两边,共有几种截法？
答案
解题思路:先利用三角形的三边关系选出需要截断的一根钢筋,再利用相似三角形的对应边成比例列方程求解,有几组成立的解,就有几种截法.
解:根据题意可知只能以30 cm的钢筋为一边,在50 cm的钢筋上截取两段. 设截取的两段分别为$x$ cm,$y$ cm,其中$x ＜ y$,
根据题意可得$\frac{20}{x} = \frac{50}{y} = \frac{60}{30}$①或$\frac{20}{x} = \frac{50}{30} = \frac{60}{y}$②.
由①得$x = 10,y = 25,x + y = 35 ＜ 50$,符合题意;
由②得$x = 12,y = 36,x + y = 48 ＜ 50$,符合题意.
综上,共有2种截法.
另解 $\because$ 原三角形的三边长之比为$20:50:60 = 2:5:6$,
$\therefore x:y:30 = 2:5:6$①或$x:30:y = 2:5:6$②,
由①得,$x = 10,y = 25,x + y = 35 ＜ 50$,符合题意;
由②得,$x = 12,y = 36,x + y = 48 ＜ 50$,符合题意.
综上,共有2种截法.
解:根据题意可知只能以30 cm的钢筋为一边,在50 cm的钢筋上截取两段. 设截取的两段分别为$x$ cm,$y$ cm,其中$x ＜ y$,
根据题意可得$\frac{20}{x} = \frac{50}{y} = \frac{60}{30}$①或$\frac{20}{x} = \frac{50}{30} = \frac{60}{y}$②.
由①得$x = 10,y = 25,x + y = 35 ＜ 50$,符合题意;
由②得$x = 12,y = 36,x + y = 48 ＜ 50$,符合题意.
综上,共有2种截法.
另解 $\because$ 原三角形的三边长之比为$20:50:60 = 2:5:6$,
$\therefore x:y:30 = 2:5:6$①或$x:30:y = 2:5:6$②,
由①得,$x = 10,y = 25,x + y = 35 ＜ 50$,符合题意;
由②得,$x = 12,y = 36,x + y = 48 ＜ 50$,符合题意.
综上,共有2种截法.
解析
【分析】
首先确定哪根钢筋作为完整边：若选择50cm的钢筋为完整边，截取30cm钢筋得到的两段之和最大为30cm，小于50cm，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能以30cm的钢筋为完整边，从50cm的钢筋上截取两段。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，分情况讨论30cm边对应原三角形的不同边长的情况，计算截取的两段长度，验证两段之和是否≤50cm，符合要求的情况数就是截法种数。
【解析】
解：由三角形三边关系可知，若将50cm钢筋作为完整边，截取30cm钢筋得到的两段之和最大为30cm＜50cm，无法构成三角形，因此只能以30cm钢筋为一边，在50cm钢筋上截取两段，设截取的两段长分别为$x$ cm、$y$ cm（$x＜y$）。
∵两个三角形相似，对应边成比例，分情况讨论：
1. 30cm的边对应原三角形60cm的边，相似比为$\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$，则$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{1}{2}$，解得$x=10$，$y=25$，$x+y=35＜50$，符合截取要求；
2. 30cm的边对应原三角形50cm的边，相似比为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，则$\frac{20}{x}=\frac{60}{y}=\frac{3}{5}$，解得$x=12$，$y=36$，$x+y=48＜50$，符合截取要求；
若30cm的边对应原三角形20cm的边，相似比为$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，计算得另外两边长为75cm、90cm，和为165cm＞50cm，不符合要求，舍去。
综上，共有2种符合要求的截法。
【答案】
共有2种截法
【知识点】
相似三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用题，解题时需要先结合三角形三边关系确定可截断的钢筋，再通过分类讨论对应边的情况求解，最后要验证结果是否符合实际截取要求，避免出现多解、错解的问题。
【难度系数】
0.6
首先确定哪根钢筋作为完整边：若选择50cm的钢筋为完整边，截取30cm钢筋得到的两段之和最大为30cm，小于50cm，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能以30cm的钢筋为完整边，从50cm的钢筋上截取两段。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，分情况讨论30cm边对应原三角形的不同边长的情况，计算截取的两段长度，验证两段之和是否≤50cm，符合要求的情况数就是截法种数。
【解析】
解：由三角形三边关系可知，若将50cm钢筋作为完整边，截取30cm钢筋得到的两段之和最大为30cm＜50cm，无法构成三角形，因此只能以30cm钢筋为一边，在50cm钢筋上截取两段，设截取的两段长分别为$x$ cm、$y$ cm（$x＜y$）。
∵两个三角形相似，对应边成比例，分情况讨论：
1. 30cm的边对应原三角形60cm的边，相似比为$\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$，则$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{1}{2}$，解得$x=10$，$y=25$，$x+y=35＜50$，符合截取要求；
2. 30cm的边对应原三角形50cm的边，相似比为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，则$\frac{20}{x}=\frac{60}{y}=\frac{3}{5}$，解得$x=12$，$y=36$，$x+y=48＜50$，符合截取要求；
若30cm的边对应原三角形20cm的边，相似比为$\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，计算得另外两边长为75cm、90cm，和为165cm＞50cm，不符合要求，舍去。
综上，共有2种符合要求的截法。
【答案】
共有2种截法
【知识点】
相似三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形性质的实际应用题，解题时需要先结合三角形三边关系确定可截断的钢筋，再通过分类讨论对应边的情况求解，最后要验证结果是否符合实际截取要求，避免出现多解、错解的问题。
【难度系数】
0.6
7. [2025 泉州安溪期中] 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$中, $∠ C = ∠ F = 90°$.
(1)若 $\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$,且 $BC = 2AC$, $DE = 2\sqrt{5}$,求 $DF$ 的长.
(2)小明类比全等三角形的判定,猜想:“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”,即若$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k$,则 $\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$.小明的猜想成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(1)若 $\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$,且 $BC = 2AC$, $DE = 2\sqrt{5}$,求 $DF$ 的长.
(2)小明类比全等三角形的判定,猜想:“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”,即若$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k$,则 $\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$.小明的猜想成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
答案
(1)$\because \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF,\therefore \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$
$\because BC = 2AC,\therefore \frac{DF}{EF} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2},\therefore EF = 2DF$.
$\because ∠ F = 90°,\therefore DF^2 + EF^2 = DE^2$,
$\therefore DF^2 + (2DF)^2 = (2\sqrt{5})^2$,解得$DF = 2$(负值已舍).
(2)成立.
证明:$\because \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k,\therefore AB = kDE,AC = kDF$,
$\therefore BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{k^2DE^2 - k^2DF^2} = k\sqrt{DE^2 - DF^2} = kEF$,
$\therefore \frac{BC}{EF} = k,\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF},\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$.
$\because BC = 2AC,\therefore \frac{DF}{EF} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2},\therefore EF = 2DF$.
$\because ∠ F = 90°,\therefore DF^2 + EF^2 = DE^2$,
$\therefore DF^2 + (2DF)^2 = (2\sqrt{5})^2$,解得$DF = 2$(负值已舍).
(2)成立.
证明:$\because \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k,\therefore AB = kDE,AC = kDF$,
$\therefore BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{k^2DE^2 - k^2DF^2} = k\sqrt{DE^2 - DF^2} = kEF$,
$\therefore \frac{BC}{EF} = k,\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF},\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$.
解析
【分析】
(1) 首先利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知$BC=2AC$推导得到$△ DEF$中$EF$和$DF$的数量关系，再在$\mathrm{Rt}△DEF$中用勾股定理列方程求解$DF$的长度即可。
(2) 要验证猜想成立，可先设比例系数为$k$，将$△ ABC$的边用$k$和$△ DEF$的对应边表示，再通过勾股定理推导$BC$和$EF$的比例关系，证明两个三角形三组对应边成比例，即可证明两三角形相似。
【解析】
(1) 解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$
$\therefore$ 对应边成比例，得 $\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$
$\because BC = 2AC$
$\therefore \frac{DF}{EF} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$，即 $EF = 2DF$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理可得：$DF^2 + EF^2 = DE^2$
代入$EF=2DF$、$DE=2\sqrt{5}$得：
$DF^2 + (2DF)^2 = (2\sqrt{5})^2$
整理得$5DF^2=20$，即$DF^2=4$
解得$DF = 2$（线段长度为正，舍去负值）。
(2) 猜想成立，证明如下：
$\because \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k$
$\therefore AB = k· DE$，$AC = k· DF$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{k^2DE^2 - k^2DF^2} = k\sqrt{DE^2 - DF^2}$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理得$EF=\sqrt{DE^2 - DF^2}$
$\therefore BC = k· EF$，即$\frac{BC}{EF}=k$
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=2}$
(2) 猜想成立，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的性质与判定，勾股定理
【点评】
本题围绕直角三角形相似的相关知识展开，第一问侧重考查相似三角形性质和勾股定理的结合应用，第二问类比全等三角形的HL判定，考查相似三角形判定的推导过程，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知$BC=2AC$推导得到$△ DEF$中$EF$和$DF$的数量关系，再在$\mathrm{Rt}△DEF$中用勾股定理列方程求解$DF$的长度即可。
(2) 要验证猜想成立，可先设比例系数为$k$，将$△ ABC$的边用$k$和$△ DEF$的对应边表示，再通过勾股定理推导$BC$和$EF$的比例关系，证明两个三角形三组对应边成比例，即可证明两三角形相似。
【解析】
(1) 解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$
$\therefore$ 对应边成比例，得 $\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$
$\because BC = 2AC$
$\therefore \frac{DF}{EF} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$，即 $EF = 2DF$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理可得：$DF^2 + EF^2 = DE^2$
代入$EF=2DF$、$DE=2\sqrt{5}$得：
$DF^2 + (2DF)^2 = (2\sqrt{5})^2$
整理得$5DF^2=20$，即$DF^2=4$
解得$DF = 2$（线段长度为正，舍去负值）。
(2) 猜想成立，证明如下：
$\because \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k$
$\therefore AB = k· DE$，$AC = k· DF$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{k^2DE^2 - k^2DF^2} = k\sqrt{DE^2 - DF^2}$
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理得$EF=\sqrt{DE^2 - DF^2}$
$\therefore BC = k· EF$，即$\frac{BC}{EF}=k$
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=2}$
(2) 猜想成立，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的性质与判定，勾股定理
【点评】
本题围绕直角三角形相似的相关知识展开，第一问侧重考查相似三角形性质和勾股定理的结合应用，第二问类比全等三角形的HL判定，考查相似三角形判定的推导过程，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
