1. （天津中考）$2\sin 45°$的值等于（）

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

1. B 解析:2sin 45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$,故选 B.

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路分两步：第一步，回忆45°角的正弦值；第二步，将其代入原式进行乘法运算，化简后即可得到结果，此类题的核心是准确记忆特殊角的三角函数值。
【解析】
首先，根据特殊角的三角函数值可知，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
将其代入原式计算：
$2\sin 45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式的化简运算
【点评】
本题属于基础题型，难度较低，主要考查学生对特殊角三角函数值的掌握情况，是中考中常见的基础送分题，只要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$∠ A=75°$，$∠ B=45°$，则$\tan C$的值是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$

2. D 解析:
∵ $∠ C=180°-∠ A-∠ B=60°$,
∴ $\tan C=\sqrt{3}$,故选 D.

【分析】
要计算$\tan C$的值，首先需要先求出$∠ C$的度数。已知$△ ABC$的两个内角，可根据三角形内角和为$180°$求出$∠ C$的度数，再结合特殊角的三角函数值就能得到$\tan C$的结果。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-75°-45°=60°$
根据特殊角的三角函数值，$\tan60°=\sqrt{3}$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先利用三角形内角和求出未知角的度数，只要熟记特殊锐角的三角函数值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，则这个三角形最小角的余弦值为。

3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析:若一个三角形三个内角度数的比为 1 : 2 : 3,易得最小角为 30°,则 $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
首先，已知三角形三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的定理，我们可以通过设未知数列方程的方式求出三个内角的具体度数；其次找到度数最小的内角，最后代入对应特殊角的余弦值即可得到结果。
【解析】
设这个三角形三个内角度数分别为$x$、$2x$、$3x$，
根据三角形内角和定理可得：$x + 2x + 3x = 180°$，
合并同类项得$6x = 180°$，
解得$x = 30°$，
因此三个内角分别为$30°$、$60°$、$90°$，最小角为$30°$，
所以最小角的余弦值为$\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，比例的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题为基础题，解题核心是先利用内角和定理求出最小角的度数，只要熟练掌握特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.9

4. |教材P132练习T2变式 计算：
(1)$\tan 60° - 2\cos 30° + \cos 45°$；
(2)$\cos^2 30° - 2\cos 30° \sin 60° + \sin^2 60°$；
(3)$\dfrac{4\sin^2 30° - \cos 60°}{\tan^2 60° + 4\cos 45°}$。

4. (1)$\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2)0 (3)$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解决这类特殊角的三角函数值计算问题，核心思路分三步：第一步，准确熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；第二步，将对应三角函数值代入原式，注意区分三角函数的平方、倍数等运算规则；第三步，按照实数的混合运算顺序计算，能利用乘法公式简化运算的优先使用简便方法，最后化简得到最简结果。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入数值计算：
原式$=\sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 利用完全平方公式简便计算，由$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
原式$=(\cos30° - \sin60°)^2$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$=0^2=0$
(3) 分别计算分子、分母，再分母有理化：
分子：$4\sin^230° - \cos60°=4×(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}=4×\frac{1}{4} - \frac{1}{2}=1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
分母：$\tan^260° + 4\cos45°=(\sqrt{3})^2 + 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=3 + 2\sqrt{2}$
原式$=\frac{\frac{1}{2}}{3 + 2\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}×(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}=\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}}{9 - 8}=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2)$0$；(3)$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、分母有理化
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对特殊角三角函数值的记忆和运算能力，计算时要注意运算顺序，合理使用运算公式可简化计算过程，分母有理化时要注意找准分母的有理化因式，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

5. 已知α为锐角，且$\sin(α - 10°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$α =$°

5. 70 解析:
∵ $\sin(α - 10°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,α 为锐角,
∴ $α - 10° = 60°$,
∴ $α=70°$.

【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，明确$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；再结合α是锐角的条件，确定$α-10°$的取值范围，排除不符合的角度，得到$α-10°=60°$，最后解简单的角度方程即可求出α的值。
【解析】
∵ α为锐角，
∴ $0°＜α＜90°$，则$-10°＜α-10°＜80°$，
又
∵ $\sin(α - 10°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $α - 10° = 60°$，
解得$α=70°$。
【答案】
70
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，结合锐角的取值范围即可快速确定对应角度，计算量小，掌握特殊角的三角函数值是解题核心。
【难度系数】
0.9

6. 在$△ ABC$中,若$(\cos C - \dfrac{1}{2})^2 + \left|\sqrt{2} - 2\sin B\right| = 0$,则$∠ A=$°.

6. 75 解析:根据题意得 $\cos C=\frac{1}{2}$,$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $∠ C=60°$, $∠ B=45°$,
∴ $∠ A=75°$.

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方数和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。据此我们可以先列出关于$\cos C$和$\sin B$的等式，求出它们的值；再结合特殊角的三角函数值，得到$∠ C$和$∠ B$的度数；最后利用三角形内角和为$180°$，就能算出$∠ A$的度数。
【解析】
∵ 平方和绝对值均为非负数，且$(\cos C - \dfrac{1}{2})^2 + \left|\sqrt{2} - 2\sin B\right| = 0$
∴ $\cos C - \dfrac{1}{2}=0$，$\sqrt{2} - 2\sin B=0$
解得：$\cos C=\dfrac{1}{2}$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
又
∵ $∠ C$、$∠ B$是$△ ABC$的内角，即$0°＜∠ C＜180°$，$0°＜∠ B＜180°$
∴ $∠ C=60°$，$∠ B=45°$
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A=180° - ∠ C - ∠ B=180° - 60° - 45°=75°$
【答案】
75
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出对应角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值确定内角大小，最后用三角形内角和计算结果，需熟练掌握常见特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8

7. |易错题 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，求$\sin \dfrac{A}{2}$的值。

7.
∵ 在 Rt△ABC 中, $∠ C=90°$,$AB=2$,$BC=\sqrt{3}$,
∴ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $∠ A=60°$,
∴ $\frac{1}{2}×∠ A=30°$,
∴ $\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}$.
易错提醒 注意$\frac{1}{2}∠ A$的正弦值与$∠ A$的正弦值的$\frac{1}{2}$是不相等的.如 $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30°=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

【分析】
本题是直角三角形中求半角三角函数值的问题，解题思路如下：第一步，利用直角三角形中锐角正弦的定义，即锐角的正弦等于对边与斜边的比值，计算出∠A的正弦值；第二步，根据特殊角的三角函数值，确定∠A的度数；第三步，计算∠A一半的度数，再代入特殊角的三角函数值得到结果。解题时需注意不要混淆$\sin \frac{A}{2}$与$\frac{1}{2}\sin A$，二者不相等，避免直接将$\sin A$除以2得到错误结果。
【解析】
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵ ∠A是直角三角形的锐角，
∴ $∠ A=60°$，
∴ $\frac{A}{2}=30°$，
∴ $\sin \frac{A}{2}=\sin30°=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题的易错点是容易错误认为半角的三角函数值等于原角三角函数值的一半，解题核心是先求出原角的度数，再计算半角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.7

8. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，$AB=10$，求$△ ABC$的面积。

8.
∵ $∠ A,∠ B$都是锐角,且 $\sin A=\frac{1}{2}$,$\tan B=\sqrt{3}$,
∴ $∠ A=30°$, $∠ B=60°$,
∴ $∠ C=90°$.
∵ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$,$AB=10$,
∴ $BC=5$.
∵ $\tan B=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$,
∴ $AC=5\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
解题时首先根据特殊锐角的三角函数值，确定∠A和∠B的度数；再利用三角形内角和定理求出∠C的度数，判断△ABC的形状；接着结合已知AB的长度，通过三角函数的定义求出两条直角边AC、BC的长度；最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ ∠A，∠B都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴ $∠ A=30°$，$∠ B=60°$，
∴ $∠ C=180° - 30° - 60° = 90°$，即△ABC是直角三角形。
∵ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，$AB=10$，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB = 5$。
∵ $\tan B=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$，
∴ $AC = BC · \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2} × 5\sqrt{3} × 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题关键是熟练记忆30°、60°等特殊角的三角函数值，先确定三角形内角的度数，再结合边角关系求出对应边长，整体计算难度不大，是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7

9. 如果α是锐角，且$\sinα = \dfrac{2}{3}$，那么$\cos(90° - α)$的值为（）

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

9. A 解析:$\sin α=\cos(90°-α)=\frac{2}{3}$,故选 A.

【分析】
首先观察所求的三角函数式$\cos(90° - α)$，结合$α$是锐角的已知条件，可联想到锐角三角函数中互余两角的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即$\sinα = \cos(90° - α)$。题目已经直接给出$\sinα$的数值，直接代入公式即可得到结果，无需额外计算。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系：对于任意锐角$α$，有$\cos(90° - α) = \sinα$。
已知$\sinα = \dfrac{2}{3}$，代入得：$\cos(90° - α) = \dfrac{2}{3}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
互余角的三角函数关系，锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对互余两角三角函数关系的识记与直接应用，没有复杂运算，掌握基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$.下列四个结论:①$\sin α=\sin B$;② $\sin β=\sin C$;③$\sin B=\cos C$;④$\sin α=\cos β$.其中正确的个数是 ()


A.1
B.2
C.3
D.4

10. D 解析:
∵ $∠ BAC=90°$,$AD ⊥ BC$,
∴ $∠ α+∠ β=90°$,$∠ B+∠ β=90°$, $∠ B+∠ C=90°$,
∴ $∠ α=∠ B$,$∠ β=∠ C$,
∴ $\sin α=\sin B$,$\sin β=\sin C$,故①②正确;
∵ 在 Rt△ABC 中, $\sin B=\frac{AC}{BC}$,$\cos C=\frac{AC}{BC}$,
∴ $\sin B=\cos C$,故③正确;
∵ $\sin α=\sin B$,$\cos β=\cos C$,
∴ $\sin α=\cos β$,故④正确.综上所述,正确的有①②③④.故选 D.

【分析】
要判断四个结论是否正确，首先根据已知的直角和垂直关系，利用“同角的余角相等”推出图中相等的角，再结合锐角三角函数的定义、互余两角的三角函数关系（若两角和为90°，则一个角的正弦等于另一个角的余弦）逐一验证每个结论即可。
【解析】
∵ $∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ α+∠ β=90°$，$∠ B+∠ β=90°$，$∠ B+∠ C=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ α=∠ B$，$∠ β=∠ C$。
1. 验证①：
∵$∠ α=∠ B$，相等的角正弦值相等，
∴$\sinα=\sin B$，①正确；
2. 验证②：
∵$∠ β=∠ C$，相等的角正弦值相等，
∴$\sinβ=\sin C$，②正确；
3. 验证③：在$Rt△ ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{BC}$，$\cos C=\frac{AC}{BC}$，
∴$\sin B=\cos C$，③正确；
4. 验证④：
∵$∠ α=∠ B$，$∠ β=∠ C$，且由③知$\sin B=\cos C$，
∴$\sinα=\cosβ$，也可由$∠ α+∠ β=90°$直接得到该结论，④正确。
综上，4个结论全部正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数定义；互余角的三角函数关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是先推导得出相等的角和互余的角，再结合三角函数的性质逐一判断结论，掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

11. 已知∠A为锐角,若$\cos A = \sin 65°$,则∠A的度数为.

11. 25° 解析:
∵ $\cos A = \sin 65°$,
∴ $∠ A=90°-65°=25°$.

【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角三角函数中互余角的转换规律：对于任意锐角α，都有$\cosα=\sin(90°-α)$，也就是一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。已知∠A是锐角，且$\cos A = \sin 65°$，说明∠A和65°角互为余角，二者之和为90°，由此就可以计算出∠A的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系：对于任意锐角，满足$\cosα=\sin(90°-α)$
∵ $\cos A = \sin 65°$，且∠A为锐角
∴ $∠A + 65° = 90°$
∴ $∠A=90°-65°=25°$
【答案】
25°
【知识点】
互余两角的三角函数关系、锐角三角函数性质
【点评】
本题属于基础的三角函数转换题，核心考查互余两角的正弦与余弦的对应转换规律，熟练掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9

12. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C$为直角，设$x = \sin A + \cos A$，$y = \sin B + \cos B$，则$x,y$的大小关系为。

12. x=y 解析:
∵ $∠ A+∠ B=90°$,
∴ $\sin A=\cos B$,$\cos A=\sin B$.
∵ $x=\sin A+\cos A$,$y=\sin B+\cos B$,
∴ $x=y$.

【分析】
首先根据直角三角形的性质，可得两个锐角∠A与∠B互余，即∠A+∠B=90°。再回忆互余两角的三角函数关系：若两个角的和为90°，则其中一个角的正弦等于另一个角的余弦，余弦等于另一个角的正弦。将该性质代入x的表达式进行转化，再和y的表达式对比，即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C$为直角，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$，
根据互余两角的三角函数性质可得：$\sin A=\cos B$，$\cos A=\sin B$，
又
∵ $x = \sin A + \cos A$，$y = \sin B + \cos B$，
∴ $x = \cos B + \sin B = y$。
【答案】
$x=y$
【知识点】
1. 直角三角形性质 2. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题是基础的三角函数性质应用题，只要熟练掌握直角三角形中互余锐角的正弦、余弦转换规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8