12. 已知$x:y:z=1:2:3$，且$2x+y-3z=-15$，则$x$的值为（）

A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$-3$

∵ $x:y:z=1:2:3,\therefore y=2x,z=3x,\therefore 2x+2x-9x=-15,\therefore x=3$.故选 C.

【分析】
遇到连比形式的比例式，解题核心思路是通过比例关系将多个未知量用同一个未知量表示，实现消元。本题中已知$x:y:z=1:2:3$，可直接将$y$、$z$都用含$x$的代数式表示，再代入给出的方程，将其转化为仅含$x$的一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
∵ $x:y:z=1:2:3$
∴ $y=2x$，$z=3x$
将$y=2x$，$z=3x$代入$2x+y-3z=-15$，可得：
$2x + 2x - 3×3x = -15$
合并同类项得：$-5x = -15$
系数化为1得：$x=3$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
比例的性质；代入消元法；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于比例性质应用的基础题型，解题关键是掌握连比的转化方法，将多未知量的方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算时注意系数运算的准确性即可快速得分。
【难度系数】
0.8

13. ★★★ (2025·合肥期末)如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为$S_1$，矩形BCIH的面积为$S_2$，则$S_1$与$S_2$的大小关系是 ()

A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.不能确定

∵ 点 $H$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$\therefore AH^2=BH·AB$.
∵ $S_1=AH^2,S_2=BH·BC=BH·AB,\therefore S_1=S_2$.故选 C.

【分析】
解题时首先结合图形分别表示出$S_1$和$S_2$的表达式，再利用黄金分割的性质对比二者的关系即可。第一步先回忆黄金分割的性质：若点H是线段AB的黄金分割点，则满足$AH^2=BH· AB$；第二步根据面积公式写出$S_1$和$S_2$：正方形面积为边长平方，因此$S_1=AH^2$；矩形面积为邻边乘积，又正方形ABCD中$BC=AB$，因此$S_2=BH· BC=BH· AB$；第三步对比两个表达式即可得出结论。
【解析】
∵ 点$H$是线段$AB$的黄金分割点，
∴ 根据黄金分割的性质可得：$AH^2=BH·AB$。
∵ 正方形$AFGH$的面积$S_1=AH^2$，
又
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $BC=AB$，
矩形$BCIH$的面积$S_2=BH·BC=BH·AB$，
∴ $S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题主要考查黄金分割性质的应用，结合基础图形的面积公式即可快速求解，解题核心是熟练掌握黄金分割对应的线段比例关系。
【难度系数】
0.7

14. ★★★ 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处比较自然得体.若舞台AB的长为20 m，试计算主持人应走到离点A至少 m处比较自然得体，此时，如果他向点B再走 m，那么也能处在比较自然得体的位置.(结果保留根号)

设主持人应走到离点 $A$ $x$ 米处比较自然得体,分两种情况:当$\frac{20-x}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,$\therefore \frac{20-x}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $x=30-10\sqrt{5}$;当$\frac{x}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,$\therefore \frac{x}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $x=10\sqrt{5}-10$.
∵ $30-10\sqrt{5}＜10\sqrt{5}-10,\therefore 10\sqrt{5}-10-(30-10\sqrt{5})=20\sqrt{5}-40$.故答案为$(30-10\sqrt{5})$;$(20\sqrt{5}-40)$.

【分析】
首先明确黄金分割的定义：若点将线段分为两段，使得较长段与整条线段的比值等于较短段与较长段的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，一条线段共有2个黄金分割点，分别靠近两个端点。题目要求“离点A至少的距离”，即求靠近A的黄金分割点到A的长度（也就是较短的那段距离）；第二个空求两个黄金分割点之间的距离，用远离A的黄金分割点到A的距离减去靠近A的黄金分割点到A的距离即可。
【解析】
设主持人走到离点A的距离为$x$米，分两种情况讨论：
1. 若$x$为较短线段长度，即此时点靠近A，较长段长度为$20-x$，根据黄金分割比值可得：
$\frac{20-x}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
两边同乘20得：$20-x=10(\sqrt{5}-1)$
解得：$x=30-10\sqrt{5}$
2. 若$x$为较长线段长度，即此时点靠近B，根据黄金分割比值可得：
$\frac{x}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解得：$x=10\sqrt{5}-10$
因为要求离A的最小距离，比较两个结果：$30-10\sqrt{5}＜10\sqrt{5}-10$，所以第一个空填$30-10\sqrt{5}$。
两个黄金分割点之间的距离为：$(10\sqrt{5}-10)-(30-10\sqrt{5})=20\sqrt{5}-40$，即向B再走$20\sqrt{5}-40$米也处在得体位置。
【答案】
$30-10\sqrt{5}$；$20\sqrt{5}-40$
【知识点】
黄金分割的概念，二次根式的计算
【点评】
本题是黄金分割在实际场景中的应用题，解题核心是明确一条线段有两个黄金分割点，需结合题干“至少”的要求筛选对应结果，计算时注意二次根式的化简和运算顺序即可。
【难度系数】
0.7

15. ★★★|分类讨论思想 若$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，则k的值为。

∵ $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k,\therefore bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b,\therefore bk+ck+ak=a+c+b+a+c+b,\therefore (a+b+c)k=2(a+b+c)$.①如果 $a+b+c≠0$,那么 $k=2$;②如果 $a+b+c=0$,那么 $a+c=-b,k=\frac{-b}{b}=-1$.综上,$k$ 的值为 2 或-1.

【分析】
本题是已知连等比例式求比值k的问题，解题思路如下：首先利用比例的基本性质将比例式转化为整式等式，再将三个等式相加整理得到含(a+b+c)和k的等式。由于不确定a+b+c是否为0，不能直接约去该式，因此需要分类讨论：①当a+b+c≠0时，可直接利用等式性质约分化简求k；②当a+b+c=0时，可将a+c=-b代入原式求k，避免漏解。
【解析】
∵ $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k,\therefore bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b$，
将三个等式左右两边分别相加得：$bk+ck+ak=a+c+b+a+c+b$，
整理得：$(a+b+c)k=2(a+b+c)$。
①如果 $a+b+c≠0$，等式两边同时除以$(a+b+c)$，可得 $k=2$；
②如果 $a+b+c=0$，那么 $a+c=-b$，代入$\frac{a+c}{b}=k$可得$k=\frac{-b}{b}=-1$。
综上，$k$的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
比例的性质，分类讨论思想，等式的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略a+b+c=0的情况，直接约去a+b+c得到k=2，漏掉k=-1的解。解题时要注意等比性质的使用前提是分母之和不为0，考虑问题要全面，熟练运用分类讨论思想保证解题的严谨性。
【难度系数】
0.6

16. 已知$x:y:z=2:4:5$,求:
(1)$(x+y):(y-z)$;
(2)$(x-2y+z):(4x+3y-2z)$.

∵ $x:y:z=2:4:5,\therefore$ 令 $x=2k$,则 $y=4k,z=5k$.
(1) $(x+y):(y-z)=(2k+4k):(4k-5k)=6k:(-k)=-6:1$.
(2) $(x-2y+z):(4x+3y-2z)=(2k-8k+5k):(8k+12k-10k)=-k:10k=-1:10$.

【分析】
遇到已知多个量的连比求代数式比值的问题，可采用参数法求解：首先根据连比关系，设每份为k（k≠0），将x、y、z分别用含k的代数式表示，再将其代入待求的比例式中，分别化简比例的前项和后项，最后约去公共的非零参数k，即可得到最简比值。
【解析】
∵ $x:y:z=2:4:5$，
∴ 令$x=2k$（$k≠0$），则$y=4k$，$z=5k$。
(1) 代入得：$(x+y):(y-z)=(2k+4k):(4k-5k)=6k:(-k)=-6:1$；
(2) 代入得：$(x-2y+z):(4x+3y-2z)=(2k-2×4k+5k):(4×2k+3×4k-2×5k)=(-k):10k=-1:10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6:1}$；(2) $\boldsymbol{-1:10}$
【知识点】
比例的性质；代数式化简求值；连比的应用
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心解题方法是参数法，通过设参数将连比关系转化为代数式，代入化简即可得到结果，熟练掌握参数法是解决这类连比求值问题的关键。
【难度系数】
0.8

17. 折纸与证明——用纸折出黄金分割点：
第一步:如图①,先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF;
第二步:如图②,将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG＞GD).

连接 $GF$,设正方形 $ABCD$ 的边长为 1,则 $DF=CF=\frac{1}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ BCF$中,$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,则 $A'F=BF-BA'=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$.设 $AG=A'G=x$,则 $GD=1-x$,在 $\mathrm{Rt}△ A'GF$ 和 $\mathrm{Rt}△ DGF$ 中,有 $A'F^2+A'G^2=DF^2+DG^2$,即 $(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+x^2=(\frac{1}{2})^2+(1-x)^2$,解得 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,即点 $G$ 为线段 $AD$ 的黄金分割点$(AG＞GD)$.

【分析】
要证明点G是AD的黄金分割点，根据黄金分割的定义，需证明较长线段AG与AD的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此可设正方形边长为1，将问题转化为求AG的长度。首先利用正方形对折的性质得F是CD中点，用勾股定理求出对角线BF的长度；再结合AB折叠到BF上的性质，得到相等的对应边$A'B=AB$、$A'G=AG$，且$∠ GA'F=90°$，最后以GF为公共斜边，在两个直角三角形中利用勾股定理列方程求解AG的长度，验证其是否符合黄金分割的比值要求即可。
【解析】
连接$GF$，设正方形$ABCD$的边长为1，则$DF=CF=\frac{1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
由折叠的性质可知：$A'B=AB=1$，$A'G=AG$，$∠ GA'F=∠ A=90°$，因此$A'F=BF-BA'=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
设$AG=A'G=x$，则$GD=1-x$。
在$\mathrm{Rt}△ A'GF$中，$GF^2=A'F^2+A'G^2$；在$\mathrm{Rt}△ DGF$中，$GF^2=DF^2+DG^2$，因此可列方程：
$(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)^2+x^2=(\frac{1}{2})^2+(1-x)^2$
展开整理得：$\frac{9}{4}-\sqrt{5}+x^2=\frac{5}{4}-2x+x^2$
消去$x^2$后解得：$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
即$AG=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AD$，符合黄金分割的定义。
【答案】
点$G$为线段$AD$的黄金分割点$(AG＞GD)$。
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；黄金分割的定义
【点评】
本题结合折纸操作考查几何知识的综合应用，解题核心是利用折叠性质得到相等的线段，再通过勾股定理列方程求解线段长度，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

18. 新趋势·代数推理 求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”及“特殊值法”.
例:已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$,求$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}$的值.
方法1:设$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k$,则$x=2k,y=5k,z=7k$,所以$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}=\frac{2k-10k+21k}{2k-20k+35k}=\frac{13k}{17k}=\frac{13}{17}$.
方法2:由$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$,得$y=\frac{5}{2}x,z=\frac{7}{2}x$,代入$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}$,得$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}=\frac{x-5x+\frac{21}{2}x}{x-10x+\frac{35}{2}x}=\frac{\frac{13}{2}x}{\frac{17}{2}x}=\frac{13}{17}$.
方法3:取$x=2,y=5,z=7$,则$\frac{x-2y+3z}{x-4y+5z}=\frac{2-10+21}{2-20+35}=\frac{13}{17}$.
参考上面的资料解答下面的问题.
已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边,且$(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,a+b+c=24$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)判断$△ ABC$的形状.

(1) 设 $\frac{a-c}{-2}=\frac{a+b}{7}=\frac{c-b}{1}=k$,根据题意得 $\begin{cases}a-c=-2k,\\a+b=7k,\\c-b=k,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3k,\\b=4k,\\c=5k.\end{cases}$
∵ $a+b+c=24,\therefore 12k=24$,解得 $k=2,\therefore a=6,b=8,c=10$.
(2)
∵ $a=6,b=8,c=10,\therefore a^2+b^2=c^2,\therefore △ ABC$ 为直角三角形.

【分析】
(1) 题干给出了$(a-c)$、$(a+b)$、$(c-b)$的连比关系，优先选用比例问题常用的设参法求解：设公共比值为$k$，可将三个比例式转化为含$k$的三元一次方程组，先用$k$表示$a$、$b$、$c$，再代入$a+b+c=24$求出$k$的值，即可得到$a$、$b$、$c$的具体数值。(2) 判断三角形形状时，已知三边长度，可通过验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方，利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形。
【解析】
(1) 设$\frac{a-c}{-2}=\frac{a+b}{7}=\frac{c-b}{1}=k$，根据比例的性质可得：
$\begin{cases}a-c=-2k\\a+b=7k\\c-b=k\end{cases}$
解方程组：将三个方程左右两边分别相加，得$2a=6k$，即$a=3k$；
把$a=3k$代入$a+b=7k$，得$b=4k$；
把$b=4k$代入$c-b=k$，得$c=5k$。
将$a=3k,b=4k,c=5k$代入$a+b+c=24$，得$3k+4k+5k=24$，即$12k=24$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=4×2=8$，$c=5×2=10$。
(2) 由(1)可知$△ ABC$三边长为$a=6,b=8,c=10$，
计算得$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$，$c^2=10^2=100$，
即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
(1) $a=6,b=8,c=10$；(2) $△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
比例的性质，勾股定理的逆定理，三元一次方程组的解法
【点评】
本题结合比例运算与三角形形状判断，核心是掌握比例问题的设参法，将比例关系转化为方程关系求解边长，再结合勾股逆定理判断三角形形状，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.7