1.下面是小马虎解的一道题：
题目:在同一平面上,若∠BOA=70°,∠BOC=15°,求∠AOC的度数.
解:根据题意可画出图形(如图).
因为∠AOC=∠BOA−∠BOC=70°−15°=55°,所以∠AOC=55°.

若你是老师,会判小马虎满分吗?若会,说明理由;若不会,请将小马虎的错误指出,并给出你认为正确的解法.

不会.如图1,当OC在∠AOB的内部时,∠AOC=∠BOA−∠BOC=55°;如图2,当OC在∠AOB的外部时,∠AOC=∠BOA+∠BOC=85°.故∠AOC的度数是55°或85°,所以小马虎的答案不全面,不能给满分.

【分析】
这道题属于无明确图形的角度计算问题，解题时首先要考虑射线OC的位置存在两种可能：一是OC落在∠AOB的内部，二是OC落在∠AOB的外部。小马虎只考虑了第一种情况，没有考虑第二种情况，所以答案不完整。解题时需要分两种情况分别计算∠AOC的度数，才能得到完整的答案。
【解析】
不会给小马虎满分，小马虎的错误是仅考虑了OC在∠AOB内部的情况，没有考虑OC在∠AOB外部的情况，导致答案不全面，出现漏解。
正确解法如下：
① 当OC在∠AOB的内部时，
∠AOC = ∠BOA - ∠BOC = 70° - 15° = 55°；
② 当OC在∠AOB的外部时，
∠AOC = ∠BOA + ∠BOC = 70° + 15° = 85°。
因此∠AOC的度数为55°或85°。
【答案】
不会.如图1,当OC在∠AOB的内部时,∠AOC=∠BOA−∠BOC=55°;如图2,当OC在∠AOB的外部时,∠AOC=∠BOA+∠BOC=85°.故∠AOC的度数是55°或85°,所以小马虎的答案不全面,不能给满分.
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角的计算类易错题，解题的关键是当题目没有给出明确图形时，要考虑所有符合条件的位置情况，分类讨论求解，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

2.关于$x$的方程$2(x-3)-m=2$的解和方程$3x-7=2x$的解相同.
(1)求$m$的值；
(2)已知线段$AB=m$，在直线$AB$上取一点$P$，恰好使$AP=2PB$，点$Q$为$PB$的中点，求线段$AQ$的长.

(1)因为$3x-7=2x$,所以$x=7$,将$x=7$代入方程$2(x-3)-m=2$,得$2(7-3)-m=2$,即$m=6$.
(2)如图1所示,因为$AP=2PB$,$AB=6$,所以$PB=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2$,$AP=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$.因为点$Q$为$PB$的中点,所以$PQ=QB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2=1$,所以$AQ=AP+PQ=4+1=5$.
如图2所示,因为$AP=2PB$,$AB=6$,所以$AB=BP=6$,因为点$Q$为$PB$的中点,所以$BQ=3$.所以$AQ=AB+BQ=6+3=9$.故$AQ$的长度为5或9.

【分析】
(1) 本题属于同解方程问题，解题思路是先求解不含参数的方程3x-7=2x得到x的值，再将x的值代入含参数m的方程2(x-3)-m=2，即可求出m的数值。
(2) 本题是直线上线段的计算问题，由于P是直线AB上的点，位置不唯一，需要分类讨论：①P在线段AB上；②P在线段AB的延长线上。分别根据AP=2PB的关系求出PB的长度，再结合Q是PB中点的条件，利用线段和差关系计算AQ的长度即可，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 解方程$3x-7=2x$：
移项得$3x-2x=7$，解得$x=7$。
因为两个方程的解相同，将$x=7$代入$2(x-3)-m=2$，得：
$2×(7-3)-m=2$
化简得$8-m=2$，解得$m=6$。
(2) 由(1)可知线段$AB=m=6$，分两种情况讨论：
①当点$P$在线段$AB$上时，如图1：
因为$AP=2PB$，且$AP+PB=AB=6$，代入得$2PB+PB=6$，解得$PB=2$，则$AP=2×2=4$。
又因为点$Q$为$PB$的中点，所以$PQ=QB=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2=1$，因此$AQ=AP+PQ=4+1=5$。
②当点$P$在线段$AB$的延长线上时，如图2：
因为$AP=2PB$，且$AP=AB+PB$，代入得$2PB=6+PB$，解得$PB=6$。
又因为点$Q$为$PB$的中点，所以$BQ=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×6=3$，因此$AQ=AB+BQ=6+3=9$。
综上，线段$AQ$的长为5或9。
【答案】
(1) $m=6$；
(2) $AQ$的长度为$5$或$9$。


【知识点】
同解方程求解；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题第一问难度较低，掌握同解方程的求解方法即可解答；第二问的易错点是忽略直线上点的位置的多样性，漏去P在AB延长线上的情况，解题时要注意结合题意分类讨论，不要漏解。
【难度系数】
0.7

3. 已知$∠ AOB = 60°$，从点$O$引射线$OC$，使$∠ AOC = 40°$，作$∠ AOC$的角平分线$OD$.
(1)依题意画出图形；
(2)求$∠ BOD$的度数.

(1)分两种情况讨论:当$∠AOC$在$∠AOB$的外部时,如图1;当$∠AOC$在$∠AOB$的内部时,如图2.


(2)如图1,因为射线$OD$平分$∠AOC$,所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=20°$,所以$∠BOD=∠AOB+∠AOD=80°$.如图2,因为射线$OD$平分$∠AOC$,所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=20°$,所以$∠BOD=∠AOB-∠AOC+∠COD=40°$.

【分析】
本题需先明确射线OC的位置存在两种情况：①OC在∠AOB的外部，②OC在∠AOB的内部。第一问根据两种位置分别画图即可；第二问先利用角平分线的定义求出∠AOD或∠COD的度数，再结合对应图形中角的和差关系计算∠BOD的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由于射线OC的位置未明确，因此分两种情况画图：
情况1：∠AOC在∠AOB的外部，对应图1；
情况2：∠AOC在∠AOB的内部，对应图2。
(2) 分两种情况计算∠BOD的度数：
① 当∠AOC在∠AOB外部（对应图1）时：
因为OD是∠AOC的角平分线，∠AOC=40°，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$
此时$∠ BOD=∠ AOB+∠ AOD=60°+20°=80°$。
② 当∠AOC在∠AOB内部（对应图2）时：
因为OD是∠AOC的角平分线，∠AOC=40°，根据角平分线的定义可得：
$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$
此时$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOC+∠ COD=60°-40°+20°=40°$。
【答案】
(1)分两种情况讨论:当$∠AOC$在$∠AOB$的外部时,如图1;当$∠AOC$在$∠AOB$的内部时,如图2.


(2)$∠BOD$的度数为$80°$或$40°$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略射线OC的两种位置情况导致漏解，解题时要结合图形分析角之间的和差关系，结合角平分线的性质求解，需要掌握分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.6

4.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数.

(1)因为$OA$平分$∠EOC$,$∠EOC=70°$,所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×70°=35°$,所以$∠BOD=∠AOC=35°$.
(2)设$∠EOC=2x$,$∠EOD=3x$,根据题意得$2x+3x=180°$,解得$x=36°$.所以$∠EOC=2x=72°$,所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$,所以$∠BOD=∠AOC=36°$.

【分析】
第(1)问解题思路：首先根据角平分线的定义，由OA平分已知度数的∠EOC，先求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等的性质，即可得到∠BOD的度数；第(2)问解题思路：首先∠EOC和∠EOD是邻补角，二者和为180°，结合给出的角度比例关系设未知数列方程，先求出∠EOC的度数，再沿用第(1)问的思路，先求∠AOC，再通过对顶角相等求出∠BOD的度数。
【解析】
(1)因为$OA$平分$∠EOC$，$∠EOC=70°$，所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×70°=35°$，根据对顶角相等可得$∠BOD=∠AOC=35°$。
(2)设$∠EOC=2x$，$∠EOD=3x$，由于∠EOC和∠EOD互为邻补角，根据题意得$2x+3x=180°$，解得$x=36°$，所以$∠EOC=2x=72°$。又因为$OA$平分$∠EOC$，所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$，根据对顶角相等可得$∠BOD=∠AOC=36°$。
【答案】
(1)$35°$；(2)$36°$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础类角度计算题目，核心是熟练运用角平分线、对顶角、邻补角的相关性质，遇到成比例的角度关系时，用设未知数列方程的方法可以更清晰地梳理数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知线段AB和CD的公共部分为BD,且$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,线段AB、CD的中点E,F之间的距离是20,求AB,CD的长.

设$BD=x$,则$AB=3x$,$CD=4x$.因为点$E,F$分别为$AB,CD$的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AB=1.5x$,$CF=\frac{1}{2}CD=2x$,$AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$.
所以$EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x$.因为$EF=20$,所以$2.5x=20$,解得$x=8$.所以$AB=3x=24$,$CD=4x=32$.

【分析】
首先观察题目给出的线段比例关系，BD是AB和CD的公共部分，且与AB、CD都有明确的比例，我们可以通过设未知数的方法，将BD设为x，把AB、CD都用含x的代数式表示。再结合线段中点的性质，得到AE、CF的长度表达式，接着计算出总线段AC的长度，最后根据EF的长度等于AC减去AE和CF的长度，建立方程求解x，进而得到AB和CD的长度。
【解析】
设$BD=x$，根据题意可得：
$AB=3x$，$CD=4x$。
因为点E是AB的中点，点F是CD的中点，所以：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4x=2x$。
总线段AC的长度为AB与CD的和减去重叠部分BD，即：
$AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$。
EF的长度等于AC减去AE和CF的长度，因此：
$EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x$。
已知$EF=20$，代入得$2.5x=20$，解得$x=8$。
所以$AB=3x=3×8=24$，$CD=4x=4×8=32$。
【答案】
$AB=24$，$CD=32$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的常见题型，通过设公共部分为参数，结合线段中点性质和和差关系建立方程求解，是解决带比例关系的线段计算问题的常用思路，掌握这种参数法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7