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10. 如图
，该几何体共有
，该几何体共有5
个顶点，8
条棱，5
个面。答案
10. 5 8 5
解析
【分析】
首先观察几何体可判断其为四棱锥，解题时按顶点、棱、面的顺序有序计数即可：①数顶点：先数顶部1个独立顶点，再数底面四边形的4个顶点，求和得到总顶点数；②数棱：先数连接顶部与底面顶点的4条侧棱，再数底面四边形的4条棱（注意虚线表示的隐藏棱不要漏数），求和得到总棱数；③数面：先数4个侧面的三角形面，再加1个底面，求和得到总面数。
【解析】
该几何体是四棱锥：
1. 顶点计数：顶部1个顶点+底面4个顶点=5个顶点；
2. 棱计数：4条侧棱+底面4条棱=8条棱；
3. 面计数：4个侧面+1个底面=5个面。
【答案】
5；8；5
【知识点】
立体图形认识，四棱锥特征，几何元素计数
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，解题的核心是先准确识别几何体类型，计数时注意不要遗漏虚线标注的隐藏部分，有序计数就能避免出错。
【难度系数】
0.8
首先观察几何体可判断其为四棱锥，解题时按顶点、棱、面的顺序有序计数即可：①数顶点：先数顶部1个独立顶点，再数底面四边形的4个顶点，求和得到总顶点数；②数棱：先数连接顶部与底面顶点的4条侧棱，再数底面四边形的4条棱（注意虚线表示的隐藏棱不要漏数），求和得到总棱数；③数面：先数4个侧面的三角形面，再加1个底面，求和得到总面数。
【解析】
该几何体是四棱锥：
1. 顶点计数：顶部1个顶点+底面4个顶点=5个顶点；
2. 棱计数：4条侧棱+底面4条棱=8条棱；
3. 面计数：4个侧面+1个底面=5个面。
【答案】
5；8；5
【知识点】
立体图形认识，四棱锥特征，几何元素计数
【点评】
本题是立体图形认识的基础题型，解题的核心是先准确识别几何体类型，计数时注意不要遗漏虚线标注的隐藏部分，有序计数就能避免出错。
【难度系数】
0.8
11. 用边长为4的正方形做一套七巧板，拼成下图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积是
8
。答案
11. 8
解析
【分析】
解题时可利用七巧板拼接前后总面积不变的特点思考：首先计算出制作七巧板的原正方形面积，再观察拼成的桥的结构，发现空白部分是七巧板中两个最大的等腰直角三角形，二者面积和恰好等于原正方形面积的一半，因此阴影部分面积就是原正方形面积的一半，无需逐块计算阴影各部分的面积。
【解析】
首先计算边长为4的正方形的面积：
$S_{正方形}=4×4=16$
七巧板由该正方形分割而成，拼接成桥后总面积不变。观察图形可知，桥的空白部分是七巧板里两个最大的等腰直角三角形，这两个三角形的面积之和等于原正方形面积的$\frac{1}{2}$，因此阴影部分面积也等于原正方形面积的$\frac{1}{2}$：
$S_{阴影}=16÷2=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形面积计算，等积变换，七巧板特征
【点评】
本题不需要逐块计算阴影部分的面积，通过观察拼接前后图形的面积关系，利用整体思想即可快速求解，能锻炼学生的图形观察能力和几何整体思维。
【难度系数】
0.7
解题时可利用七巧板拼接前后总面积不变的特点思考：首先计算出制作七巧板的原正方形面积，再观察拼成的桥的结构，发现空白部分是七巧板中两个最大的等腰直角三角形，二者面积和恰好等于原正方形面积的一半，因此阴影部分面积就是原正方形面积的一半，无需逐块计算阴影各部分的面积。
【解析】
首先计算边长为4的正方形的面积：
$S_{正方形}=4×4=16$
七巧板由该正方形分割而成，拼接成桥后总面积不变。观察图形可知，桥的空白部分是七巧板里两个最大的等腰直角三角形，这两个三角形的面积之和等于原正方形面积的$\frac{1}{2}$，因此阴影部分面积也等于原正方形面积的$\frac{1}{2}$：
$S_{阴影}=16÷2=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形面积计算，等积变换，七巧板特征
【点评】
本题不需要逐块计算阴影部分的面积，通过观察拼接前后图形的面积关系，利用整体思想即可快速求解，能锻炼学生的图形观察能力和几何整体思维。
【难度系数】
0.7
12. 如图，往一个密封的立方体容器中持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状可能是
①三角形；②正方形；③六边形；④七边形。
①②③
。（填序号）①三角形；②正方形；③六边形；④七边形。
答案
12. ①②③
解析
【分析】
解题时首先要明确：注水时的水平面本质上就是用一个平面去截正方体得到的截面，截面的边数等于这个平面和正方体相交的面的数量。正方体总共有6个面，因此截面最多只能有6条边，可先排除不可能的七边形，再逐一判断剩余形状是否可以得到：①三角形：当平面和3个面相交时可得；②正方形：平面平行于正方体的面、和4个面相交时可得；③六边形：平面和6个面都相交时可得，据此就能确定正确选项。
【解析】
水平面可看作是平面截正方体得到的截面，截面的边数等于平面与正方体相交的面的数量：
1. 正方体共有6个面，因此平面最多和6个面相交，得到的截面最多是六边形，不可能出现七边形，故④不符合要求；
2. 若将正方体的一个顶点朝下放置，水面较低时，水平面仅和正方体的3个面相交，此时截面是三角形，故①可能；
3. 若将正方体平稳放置，水平面平行于正方体的上下底面时，水平面和正方体的4个侧面相交，截面为正方形，故②可能；
4. 适当倾斜正方体，让水平面和正方体的6个面都相交，此时得到的截面就是六边形，故③可能。
综上，水平面形状可能是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
截面的定义、正方体的截面、平面截几何体
【点评】
本题考查几何体截面的判断，解题核心是理解截面边数与平面和几何体相交面数的关系，需要结合空间想象能力分析不同放置方式下的截面形状，是几何部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：注水时的水平面本质上就是用一个平面去截正方体得到的截面，截面的边数等于这个平面和正方体相交的面的数量。正方体总共有6个面，因此截面最多只能有6条边，可先排除不可能的七边形，再逐一判断剩余形状是否可以得到：①三角形：当平面和3个面相交时可得；②正方形：平面平行于正方体的面、和4个面相交时可得；③六边形：平面和6个面都相交时可得，据此就能确定正确选项。
【解析】
水平面可看作是平面截正方体得到的截面，截面的边数等于平面与正方体相交的面的数量：
1. 正方体共有6个面，因此平面最多和6个面相交，得到的截面最多是六边形，不可能出现七边形，故④不符合要求；
2. 若将正方体的一个顶点朝下放置，水面较低时，水平面仅和正方体的3个面相交，此时截面是三角形，故①可能；
3. 若将正方体平稳放置，水平面平行于正方体的上下底面时，水平面和正方体的4个侧面相交，截面为正方形，故②可能；
4. 适当倾斜正方体，让水平面和正方体的6个面都相交，此时得到的截面就是六边形，故③可能。
综上，水平面形状可能是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
截面的定义、正方体的截面、平面截几何体
【点评】
本题考查几何体截面的判断，解题核心是理解截面边数与平面和几何体相交面数的关系，需要结合空间想象能力分析不同放置方式下的截面形状，是几何部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
13. 如图,这是由27个小立方体堆成的1个大立方体,现将它的表面涂成黄色。问：
(1)有3个面涂成黄色的小立方体有几个？
(2)有1个面涂成黄色的小立方体有几个？
(3)有2个面涂成黄色的小立方体有几个？
(1)有3个面涂成黄色的小立方体有几个？
(2)有1个面涂成黄色的小立方体有几个？
(3)有2个面涂成黄色的小立方体有几个？
答案
13. 解：(1)有3个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上,有8个。
(2)有1个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间,有6个。
(3)有2个面涂成黄色的小立方体在12条棱上,有12个。
(2)有1个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间,有6个。
(3)有2个面涂成黄色的小立方体在12条棱上,有12个。
解析
【分析】
这是3×3×3大正方体的表面涂色计数问题，可结合正方体结构特征分类思考：①3面涂色的小立方体：只有同时接触大正方体3个外表面的位置才会3面涂色，正方体的顶点刚好同时属于3个面，对应顶点位置；②1面涂色的小立方体：只接触1个外表面，说明在某个面的内部、不挨着棱的位置，每个面仅有1个该类位置；③2面涂色的小立方体：接触2个外表面，说明在棱的位置，但又不是顶点（顶点为3面涂色），即每条棱除去两端顶点的中间位置，再对应计数即可。
【解析】
(1) 3面涂黄色的小立方体位于大正方体的顶点处，正方体共有8个顶点，因此有8个；
(2) 1面涂黄色的小立方体位于每个面的正中心（不接触棱），正方体共有6个面，每个面对应1个，总数为$1×6=6$个；
(3) 2面涂黄色的小立方体位于每条棱除去两端顶点的中间位置，正方体共有12条棱，每条棱对应1个，总数为$1×12=12$个。
【答案】
(1)8个；(2)6个；(3)12个
【知识点】
正方体的特征，立体图形涂色计数
【点评】
本题考查空间想象能力，掌握不同涂色情况对应的小立方体在大正方体中的位置规律即可快速求解，可结合观察实物加深对立体图形结构的理解，避免死记硬背。
【难度系数】
0.7
这是3×3×3大正方体的表面涂色计数问题，可结合正方体结构特征分类思考：①3面涂色的小立方体：只有同时接触大正方体3个外表面的位置才会3面涂色，正方体的顶点刚好同时属于3个面，对应顶点位置；②1面涂色的小立方体：只接触1个外表面，说明在某个面的内部、不挨着棱的位置，每个面仅有1个该类位置；③2面涂色的小立方体：接触2个外表面，说明在棱的位置，但又不是顶点（顶点为3面涂色），即每条棱除去两端顶点的中间位置，再对应计数即可。
【解析】
(1) 3面涂黄色的小立方体位于大正方体的顶点处，正方体共有8个顶点，因此有8个；
(2) 1面涂黄色的小立方体位于每个面的正中心（不接触棱），正方体共有6个面，每个面对应1个，总数为$1×6=6$个；
(3) 2面涂黄色的小立方体位于每条棱除去两端顶点的中间位置，正方体共有12条棱，每条棱对应1个，总数为$1×12=12$个。
【答案】
(1)8个；(2)6个；(3)12个
【知识点】
正方体的特征，立体图形涂色计数
【点评】
本题考查空间想象能力，掌握不同涂色情况对应的小立方体在大正方体中的位置规律即可快速求解，可结合观察实物加深对立体图形结构的理解，避免死记硬背。
【难度系数】
0.7
14. 对于如图所示的四个平面图形①②③④,我们规定:如图形③,它的顶点为A,B,C,D,E,共5个,区域为AED,ABE,BEC,CED,共4个,边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA,共8条。
(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下表:
(2)观察上表,请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系。
(3)若有一个平面图形满足(2)中归纳所得的数量关系,它共有9个区域,且从每一个顶点出发都有3条边,则这个平面图形共有多少条边？
(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下表:
(2)观察上表,请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系。
(3)若有一个平面图形满足(2)中归纳所得的数量关系,它共有9个区域,且从每一个顶点出发都有3条边,则这个平面图形共有多少条边？
答案
14. 解：(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下表：
|图形|顶点数|边数|区域数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|4|6|3|
|②|6|9|4|
|③|5|8|4|
|④|10|15|6|
(2)由表格得,顶点数+区域数=边数+1。
(3)设顶点数为$x$,则边数为$\frac{3}{2}x$。
根据题意可知,$x+9=\frac{3}{2}x+1$,
解得$x=16$,所以$\frac{3}{2}x=24$,
所以这个平面图形共有24条边。
|图形|顶点数|边数|区域数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|4|6|3|
|②|6|9|4|
|③|5|8|4|
|④|10|15|6|
(2)由表格得,顶点数+区域数=边数+1。
(3)设顶点数为$x$,则边数为$\frac{3}{2}x$。
根据题意可知,$x+9=\frac{3}{2}x+1$,
解得$x=16$,所以$\frac{3}{2}x=24$,
所以这个平面图形共有24条边。
解析
【分析】
(1) 首先明确题目中顶点、边、区域的定义：顶点是图形的所有交点，边是连接两个相邻顶点的独立线段，区域是被边分隔出的封闭部分，按顺序逐一计数即可得到图形①②④的对应数值，计数时可做好标记避免漏数、多数。
(2) 将表格中每组的顶点数、区域数、边数进行加减运算，尝试寻找通用的等量关系，验证所有图形都满足的关系即为归纳结论。
(3) 先梳理边数和顶点数的关系：每条边连接2个顶点，若每个顶点连3条边，总边数会被每个顶点各计算1次，相当于重复计算了2次，因此边数=（顶点数×3）÷2；再结合(2)得到的数量关系，设顶点数为未知数列一元一次方程求解即可得到边数。
【解析】
(1) 根据定义逐个计数，填入表格如下：
|图形|顶点数|边数|区域数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|4|6|3|
|②|6|9|4|
|③|5|8|4|
|④|10|15|6|
(2) 代入各组数据验证：
①：$4+3=7$，$6+1=7$，即顶点数+区域数=边数+1；
②：$6+4=10$，$9+1=10$，满足上述关系；
③：$5+4=9$，$8+1=9$，满足上述关系；
④：$10+6=16$，$15+1=16$，满足上述关系；
因此归纳得数量关系：$\mathrm{顶点数}+\mathrm{区域数}=\mathrm{边数}+1$。
(3) 设该平面图形的顶点数为$x$，
因为每个顶点出发有3条边，且每条边连接2个顶点，总边数被重复计算了2次，所以边数为$\frac{3}{2}x$，
已知区域数为9，代入(2)的关系式得：
$x + 9 = \frac{3}{2}x + 1$
移项得：$9 - 1 = \frac{3}{2}x - x$
合并同类项得：$8 = \frac{1}{2}x$
解得：$x=16$
则边数为$\frac{3}{2} × 16 = 24$。
【答案】
(1) ①顶点数4，边数6，区域数3；②顶点数6，边数9，区域数4；④顶点数10，边数15，区域数6（表格内容见解析）；
(2) $\mathrm{顶点数}+\mathrm{区域数}=\mathrm{边数}+1$；
(3) $24$条。
【知识点】
几何图形计数；规律探究；一元一次方程应用
【点评】
本题以平面图形的基础要素计数为切入点，逐步引导学生归纳通用数量关系，最后结合方程解决问题，既考查了细致的观察计数能力，又锻炼了归纳推理和方程思想的应用能力，解题时需注意第三问计算边数时要避免重复计数的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确题目中顶点、边、区域的定义：顶点是图形的所有交点，边是连接两个相邻顶点的独立线段，区域是被边分隔出的封闭部分，按顺序逐一计数即可得到图形①②④的对应数值，计数时可做好标记避免漏数、多数。
(2) 将表格中每组的顶点数、区域数、边数进行加减运算，尝试寻找通用的等量关系，验证所有图形都满足的关系即为归纳结论。
(3) 先梳理边数和顶点数的关系：每条边连接2个顶点，若每个顶点连3条边，总边数会被每个顶点各计算1次，相当于重复计算了2次，因此边数=（顶点数×3）÷2；再结合(2)得到的数量关系，设顶点数为未知数列一元一次方程求解即可得到边数。
【解析】
(1) 根据定义逐个计数，填入表格如下：
|图形|顶点数|边数|区域数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|4|6|3|
|②|6|9|4|
|③|5|8|4|
|④|10|15|6|
(2) 代入各组数据验证：
①：$4+3=7$，$6+1=7$，即顶点数+区域数=边数+1；
②：$6+4=10$，$9+1=10$，满足上述关系；
③：$5+4=9$，$8+1=9$，满足上述关系；
④：$10+6=16$，$15+1=16$，满足上述关系；
因此归纳得数量关系：$\mathrm{顶点数}+\mathrm{区域数}=\mathrm{边数}+1$。
(3) 设该平面图形的顶点数为$x$，
因为每个顶点出发有3条边，且每条边连接2个顶点，总边数被重复计算了2次，所以边数为$\frac{3}{2}x$，
已知区域数为9，代入(2)的关系式得：
$x + 9 = \frac{3}{2}x + 1$
移项得：$9 - 1 = \frac{3}{2}x - x$
合并同类项得：$8 = \frac{1}{2}x$
解得：$x=16$
则边数为$\frac{3}{2} × 16 = 24$。
【答案】
(1) ①顶点数4，边数6，区域数3；②顶点数6，边数9，区域数4；④顶点数10，边数15，区域数6（表格内容见解析）；
(2) $\mathrm{顶点数}+\mathrm{区域数}=\mathrm{边数}+1$；
(3) $24$条。
【知识点】
几何图形计数；规律探究；一元一次方程应用
【点评】
本题以平面图形的基础要素计数为切入点，逐步引导学生归纳通用数量关系，最后结合方程解决问题，既考查了细致的观察计数能力，又锻炼了归纳推理和方程思想的应用能力，解题时需注意第三问计算边数时要避免重复计数的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
