登录
1. 如果两个角的和等于
90°(直角)
，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于$180°$(平角)，就说这两角互补
。答案
1. 90°(直角)；2. 互补
解析
【分析】
这道题考查余角与补角的基本定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆课本中余角和补角的定义内容，对应空缺位置准确填写即可。首先回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°（直角）；再回忆补角的定义：和为180°（平角）的两个角互为补角，简称互补。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；
根据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。
因此第一个空填90°(直角)，第二个空填互补。
【答案】
90°(直角)；互补
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生熟练记忆余角和补角的定义，区分清楚两者对应的角度和即可快速解答，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查余角与补角的基本定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆课本中余角和补角的定义内容，对应空缺位置准确填写即可。首先回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°（直角）；再回忆补角的定义：和为180°（平角）的两个角互为补角，简称互补。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；
根据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。
因此第一个空填90°(直角)，第二个空填互补。
【答案】
90°(直角)；互补
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生熟练记忆余角和补角的定义，区分清楚两者对应的角度和即可快速解答，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2. 余角的性质：
同角(等角)的余角相等
；补角的性质：同角(等角)的补角相等
.答案
1. 同角(等角)的余角相等；2. 同角(等角)的补角相等
解析
【分析】
本题考查余角与补角的性质，解题思路如下：首先回忆余角、补角的定义：两个角的和为90°时，两角互为余角；两个角的和为180°时，两角互为补角。接下来推导性质：若两个角是同一个角的余角，那么二者都等于90°减去这个角，因此大小相等；若两个相等的角分别有余角，它们的余角都等于90°减去这个相等的角，因此也相等，即同角（等角）的余角相等。用同样的逻辑推导补角的性质，即可得到对应结论，直接填写即可。
【解析】
1. 余角性质推导：
互为余角的两个角和为90°，若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，可得∠2=∠3，即同角的余角相等；若∠1=∠4，∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，则∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠4=90°-∠1，可得∠2=∠3，即等角的余角相等，因此余角的性质为：同角(等角)的余角相等。
2. 补角性质推导：
互为补角的两个角和为180°，若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，可得∠2=∠3，即同角的补角相等；若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°，则∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠4=180°-∠1，可得∠2=∠3，即等角的补角相等，因此补角的性质为：同角(等角)的补角相等。
【答案】
同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等
【知识点】
余角的性质、补角的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查余角和补角的核心性质，熟练掌握相关概念和推导逻辑就能准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查余角与补角的性质，解题思路如下：首先回忆余角、补角的定义：两个角的和为90°时，两角互为余角；两个角的和为180°时，两角互为补角。接下来推导性质：若两个角是同一个角的余角，那么二者都等于90°减去这个角，因此大小相等；若两个相等的角分别有余角，它们的余角都等于90°减去这个相等的角，因此也相等，即同角（等角）的余角相等。用同样的逻辑推导补角的性质，即可得到对应结论，直接填写即可。
【解析】
1. 余角性质推导：
互为余角的两个角和为90°，若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，可得∠2=∠3，即同角的余角相等；若∠1=∠4，∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，则∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠4=90°-∠1，可得∠2=∠3，即等角的余角相等，因此余角的性质为：同角(等角)的余角相等。
2. 补角性质推导：
互为补角的两个角和为180°，若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，可得∠2=∠3，即同角的补角相等；若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°，则∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠4=180°-∠1，可得∠2=∠3，即等角的补角相等，因此补角的性质为：同角(等角)的补角相等。
【答案】
同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等
【知识点】
余角的性质、补角的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查余角和补角的核心性质，熟练掌握相关概念和推导逻辑就能准确作答。
【难度系数】
0.9
1. 已知∠A和∠B互为补角，∠B和∠C互为补角.如果∠A=60.4°,那么∠C的度数为（
A.$150°24'$
B.$119°36'$
C.$60°24'$
D.$29°36'$
C
）A.$150°24'$
B.$119°36'$
C.$60°24'$
D.$29°36'$
答案
1. C
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：∠A、∠C都和∠B互为补角，首先回忆补角的相关性质，同角的补角相等，因此可以直接推出∠C和∠A相等；接下来由于选项是度分表示的角度，只需要把∠A的小数部分的度数换算成分，就能匹配到正确选项。
【解析】
解：
∵∠A和∠B互为补角，∠B和∠C互为补角
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°
根据“同角的补角相等”可得：∠C = ∠A = 60.4°
又
∵角度换算进率为1°=60'
∴0.4°=0.4×60'=24'
∴∠C=60°24'
故选：C
【答案】
C
【知识点】
补角的性质；度分秒换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角的性质和角度单位换算，解题核心是掌握同角的补角相等的性质，换算时注意度和分的进率是60，不要误用十进制的进率计算即可。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先梳理已知条件：∠A、∠C都和∠B互为补角，首先回忆补角的相关性质，同角的补角相等，因此可以直接推出∠C和∠A相等；接下来由于选项是度分表示的角度，只需要把∠A的小数部分的度数换算成分，就能匹配到正确选项。
【解析】
解：
∵∠A和∠B互为补角，∠B和∠C互为补角
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°
根据“同角的补角相等”可得：∠C = ∠A = 60.4°
又
∵角度换算进率为1°=60'
∴0.4°=0.4×60'=24'
∴∠C=60°24'
故选：C
【答案】
C
【知识点】
补角的性质；度分秒换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角的性质和角度单位换算，解题核心是掌握同角的补角相等的性质，换算时注意度和分的进率是60，不要误用十进制的进率计算即可。
【难度系数】
0.8
2. 小明将一副三角板摆成如图所示的形状，下列结论中不一定正确的是 （
A.$∠ COA=∠ DOB$
B.$∠ COA$与$∠ DOA$互余
C.$∠ AOD=∠ B$
D.$∠ AOD$与$∠ COB$互补
C
）A.$∠ COA=∠ DOB$
B.$∠ COA$与$∠ DOA$互余
C.$∠ AOD=∠ B$
D.$∠ AOD$与$∠ COB$互补
答案
2. C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确三角板的角度特征：两个三角板的直角顶点重合于O，即∠COD=∠AOB=90°。接下来结合余角（和为90°的两个角互余）、补角（和为180°的两个角互补）的定义和性质，逐一对四个选项进行判断，找出不一定成立的结论即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠COD=∠AOB=90°。
对选项A：
∵∠COA + ∠AOD = ∠COD=90°，∠DOB + ∠AOD = ∠AOB=90°，根据同角的余角相等，可得∠COA=∠DOB，故A一定正确，不符合题意；
对选项B：
∵∠COA + ∠AOD=90°，根据互余的定义，∠COA与∠DOA互余，故B一定正确，不符合题意；
对选项C：∠B是三角板的固定角，为30°，而∠AOD的度数随两个三角板的摆放位置变化，不一定等于30°，故∠AOD=∠B不一定成立，符合题意；
对选项D：∠COB=∠COD + ∠DOB=90°+∠DOB，
∴∠AOD + ∠COB=∠AOD + 90° + ∠DOB=90° + (∠AOD+∠DOB)=90°+90°=180°，根据互补的定义，∠AOD与∠COB互补，故D一定正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角和补角，角的和差运算
【点评】
本题结合三角板的角度特征考查角的相关计算，解题关键是抓住两个直角的公共部分，利用余角、补角的性质推导角度关系，审题时要注意题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确三角板的角度特征：两个三角板的直角顶点重合于O，即∠COD=∠AOB=90°。接下来结合余角（和为90°的两个角互余）、补角（和为180°的两个角互补）的定义和性质，逐一对四个选项进行判断，找出不一定成立的结论即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠COD=∠AOB=90°。
对选项A：
∵∠COA + ∠AOD = ∠COD=90°，∠DOB + ∠AOD = ∠AOB=90°，根据同角的余角相等，可得∠COA=∠DOB，故A一定正确，不符合题意；
对选项B：
∵∠COA + ∠AOD=90°，根据互余的定义，∠COA与∠DOA互余，故B一定正确，不符合题意；
对选项C：∠B是三角板的固定角，为30°，而∠AOD的度数随两个三角板的摆放位置变化，不一定等于30°，故∠AOD=∠B不一定成立，符合题意；
对选项D：∠COB=∠COD + ∠DOB=90°+∠DOB，
∴∠AOD + ∠COB=∠AOD + 90° + ∠DOB=90° + (∠AOD+∠DOB)=90°+90°=180°，根据互补的定义，∠AOD与∠COB互补，故D一定正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角和补角，角的和差运算
【点评】
本题结合三角板的角度特征考查角的相关计算，解题关键是抓住两个直角的公共部分，利用余角、补角的性质推导角度关系，审题时要注意题目要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（
A.∠1+∠2+∠3=90°
B.∠1+∠2−∠3=90°
C.∠2+∠3−∠1=90°
D.∠1−∠2+∠3=90°
D
）A.∠1+∠2+∠3=90°
B.∠1+∠2−∠3=90°
C.∠2+∠3−∠1=90°
D.∠1−∠2+∠3=90°
答案
3. D
解析
【分析】
解题时我们可以以已知的直角为切入点，先把直角拆分成包含∠1、∠2、∠3和中间过渡角的和的形式，通过代换消去中间过渡角，最终推导出∠1、∠2、∠3三者的数量关系。第一步先从∠EOF=90°出发，用∠1表示出∠EOD；第二步结合∠COD=90°，用∠1、∠2表示出中间角∠COB；第三步结合∠AOB=90°，代入∠COB的表达式，整理即可得到结果。
【解析】
∵∠EOF=90°，且∠EOF=∠EOD+∠1，
∴∠EOD=90°−∠1。
又
∵∠COD=90°，且∠COD=∠COB+∠2+∠EOD，
将∠EOD=90°−∠1代入上式得：
∠COB+∠2+90°−∠1=90°，
整理可得：∠COB=∠1−∠2。
再
∵∠AOB=90°，且∠AOB=∠3+∠COB，
将∠COB=∠1−∠2代入上式得：
∠3+∠1−∠2=90°，
即∠1−∠2+∠3=90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角的定义、角的和差计算、等式的性质
【点评】
本题主要考查角的和差关系的应用，解题核心是找到中间过渡角作为桥梁，建立已知直角和待求角之间的联系，通过等量代换消去中间角即可得到结论，推导时要注意等式变形的正确性。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以以已知的直角为切入点，先把直角拆分成包含∠1、∠2、∠3和中间过渡角的和的形式，通过代换消去中间过渡角，最终推导出∠1、∠2、∠3三者的数量关系。第一步先从∠EOF=90°出发，用∠1表示出∠EOD；第二步结合∠COD=90°，用∠1、∠2表示出中间角∠COB；第三步结合∠AOB=90°，代入∠COB的表达式，整理即可得到结果。
【解析】
∵∠EOF=90°，且∠EOF=∠EOD+∠1，
∴∠EOD=90°−∠1。
又
∵∠COD=90°，且∠COD=∠COB+∠2+∠EOD，
将∠EOD=90°−∠1代入上式得：
∠COB+∠2+90°−∠1=90°，
整理可得：∠COB=∠1−∠2。
再
∵∠AOB=90°，且∠AOB=∠3+∠COB，
将∠COB=∠1−∠2代入上式得：
∠3+∠1−∠2=90°，
即∠1−∠2+∠3=90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角的定义、角的和差计算、等式的性质
【点评】
本题主要考查角的和差关系的应用，解题核心是找到中间过渡角作为桥梁，建立已知直角和待求角之间的联系，通过等量代换消去中间角即可得到结论，推导时要注意等式变形的正确性。
【难度系数】
0.7
4. 如图,点O在直线AB上,已知∠1＜∠2,则∠1与$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$之间的关系是
互余
.答案
4. 互余
解析
【分析】
解题时先从图形特征入手，点O在直线AB上，可知∠1和∠2组成平角，和为180°。要判断∠1和$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$的关系，可通过计算两个角的和判断：如果和为90°则互余，和为180°则互补。先利用平角性质得到∠1+∠2=180°，再将两个角相加化简，代入和的数值即可得出结论。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠1+∠2=180°（平角的定义）。
计算∠1与$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$的和：
$\begin{aligned}∠1 + \frac{1}{2}(∠2-∠1) &= ∠1 + \frac{1}{2}∠2 - \frac{1}{2}∠1 \\&= \frac{1}{2}∠1 + \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}(∠1+∠2)\end{aligned}$
将∠1+∠2=180°代入上式，得：
$\frac{1}{2}×180°=90°$
根据余角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余，可知∠1与$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$互余。
【答案】
互余
【知识点】
平角的定义，余角的概念，角的和差运算
【点评】
本题结合几何图形与代数化简考查角的相关性质，解题关键是利用平角得到两角和的定值，通过计算目标角的和判断关系，是余角判定的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先从图形特征入手，点O在直线AB上，可知∠1和∠2组成平角，和为180°。要判断∠1和$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$的关系，可通过计算两个角的和判断：如果和为90°则互余，和为180°则互补。先利用平角性质得到∠1+∠2=180°，再将两个角相加化简，代入和的数值即可得出结论。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠1+∠2=180°（平角的定义）。
计算∠1与$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$的和：
$\begin{aligned}∠1 + \frac{1}{2}(∠2-∠1) &= ∠1 + \frac{1}{2}∠2 - \frac{1}{2}∠1 \\&= \frac{1}{2}∠1 + \frac{1}{2}∠2 \\&= \frac{1}{2}(∠1+∠2)\end{aligned}$
将∠1+∠2=180°代入上式，得：
$\frac{1}{2}×180°=90°$
根据余角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余，可知∠1与$\frac{1}{2}(∠2-∠1)$互余。
【答案】
互余
【知识点】
平角的定义，余角的概念，角的和差运算
【点评】
本题结合几何图形与代数化简考查角的相关性质，解题关键是利用平角得到两角和的定值，通过计算目标角的和判断关系，是余角判定的典型基础题。
【难度系数】
0.8
5. 下列说法正确的是
① 锐角小于它的补角；② $90°$的角叫余角；③ 钝角没有余角，但一定有补角；④ 如果$∠1+∠2+∠3=180°$，那么$∠1$、$∠2$、$∠3$互补；⑤ 互补的两个角一定是一个钝角，一个锐角；⑥ 大于直角的角叫钝角；⑦ 一个钝角与一个锐角的差一定是锐角；⑧ 钝角的一半一定是锐角.
①③⑧
（填序号）.① 锐角小于它的补角；② $90°$的角叫余角；③ 钝角没有余角，但一定有补角；④ 如果$∠1+∠2+∠3=180°$，那么$∠1$、$∠2$、$∠3$互补；⑤ 互补的两个角一定是一个钝角，一个锐角；⑥ 大于直角的角叫钝角；⑦ 一个钝角与一个锐角的差一定是锐角；⑧ 钝角的一半一定是锐角.
答案
5. ①③⑧
解析
【分析】
解决本题首先要明确余角、补角、锐角、钝角的基本定义：互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°，二者均是两个角之间的数量关系；锐角是大于0°小于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。解题时逐一对应定义判断每个说法的正误即可，遇到描述绝对的说法可以通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 锐角是大于0°小于90°的角，它的补角为180°减去这个锐角，结果一定大于90°，因此锐角小于它的补角，该说法正确；
② 余角是两个角之间的关系，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，不能单独说某个90°的角叫余角，该说法错误；
③ 余角要求两个角的和为90°，钝角本身大于90°，因此钝角没有余角；钝角小于180°，因此180°减去钝角的结果为正，钝角一定有补角，该说法正确；
④ 互补是两个角之间的数量关系，仅适用于两个角，三个角的和为180°不能称这三个角互补，该说法错误；
⑤ 互补的两个角还可以都是直角，90°+90°=180°，因此不一定是一个钝角一个锐角，该说法错误；
⑥ 钝角是大于90°且小于180°的角，大于直角（90°）的角还有平角、周角等，并不都是钝角，该说法错误；
⑦ 举反例：170°的钝角减去20°的锐角，差为150°，是钝角，因此差不一定是锐角，该说法错误；
⑧ 钝角的范围是90°＜钝角＜180°，因此它的一半范围是45°＜钝角的一半＜90°，符合锐角的定义，该说法正确。
综上，正确的是①③⑧。
【答案】
①③⑧
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的分类
【点评】
本题核心考查对基础概念的理解，需要注意互余、互补都是仅针对两个角的关系，同时要牢记各类角的取值范围，判断错误说法时可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确余角、补角、锐角、钝角的基本定义：互余是指两个角的和为90°，互补是指两个角的和为180°，二者均是两个角之间的数量关系；锐角是大于0°小于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。解题时逐一对应定义判断每个说法的正误即可，遇到描述绝对的说法可以通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 锐角是大于0°小于90°的角，它的补角为180°减去这个锐角，结果一定大于90°，因此锐角小于它的补角，该说法正确；
② 余角是两个角之间的关系，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，不能单独说某个90°的角叫余角，该说法错误；
③ 余角要求两个角的和为90°，钝角本身大于90°，因此钝角没有余角；钝角小于180°，因此180°减去钝角的结果为正，钝角一定有补角，该说法正确；
④ 互补是两个角之间的数量关系，仅适用于两个角，三个角的和为180°不能称这三个角互补，该说法错误；
⑤ 互补的两个角还可以都是直角，90°+90°=180°，因此不一定是一个钝角一个锐角，该说法错误；
⑥ 钝角是大于90°且小于180°的角，大于直角（90°）的角还有平角、周角等，并不都是钝角，该说法错误；
⑦ 举反例：170°的钝角减去20°的锐角，差为150°，是钝角，因此差不一定是锐角，该说法错误；
⑧ 钝角的范围是90°＜钝角＜180°，因此它的一半范围是45°＜钝角的一半＜90°，符合锐角的定义，该说法正确。
综上，正确的是①③⑧。
【答案】
①③⑧
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的分类
【点评】
本题核心考查对基础概念的理解，需要注意互余、互补都是仅针对两个角的关系，同时要牢记各类角的取值范围，判断错误说法时可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.7
6. 若一个角的余角的 3 倍比这个角的补角多 $12°$，求这个角的度数.
答案
6. 39°
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以用设未知数列方程的方法求解。首先设这个角的度数为x，再根据余角、补角的定义，分别用含x的式子表示出这个角的余角和补角：互余的两个角和为90°，因此这个角的余角是$(90-x)°$；互补的两个角和为180°，因此这个角的补角是$(180-x)°$。最后结合题目给出的“余角的3倍比这个角的补角多12°”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$3(90-x)=(180-x)+12$
展开计算得：$270-3x=192-x$
移项得：$-3x+x=192-270$
合并同类项得：$-2x=-78$
系数化为1得：$x=39$
【答案】
$39°$
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查对余角、补角概念的掌握，以及结合数量关系列方程求解的能力，解题关键是准确用未知数表示对应角的度数，找准等量关系。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以用设未知数列方程的方法求解。首先设这个角的度数为x，再根据余角、补角的定义，分别用含x的式子表示出这个角的余角和补角：互余的两个角和为90°，因此这个角的余角是$(90-x)°$；互补的两个角和为180°，因此这个角的补角是$(180-x)°$。最后结合题目给出的“余角的3倍比这个角的补角多12°”的等量关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$3(90-x)=(180-x)+12$
展开计算得：$270-3x=192-x$
移项得：$-3x+x=192-270$
合并同类项得：$-2x=-78$
系数化为1得：$x=39$
【答案】
$39°$
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查对余角、补角概念的掌握，以及结合数量关系列方程求解的能力，解题关键是准确用未知数表示对应角的度数，找准等量关系。
【难度系数】
0.8
