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2. 某游泳馆推出两种游泳付费方式：
方式一:先购买会员卡,每张会员卡 300 元,只限本人当年使用,凭卡游泳每次再付费10元；
方式二:不购买会员卡,每次游泳付费25元.
(1) 按方式一付费,则总费用为
(2) 如果两种方式的总费用一样多,那么他游泳次数是多少次?
(3) 小明预计今年游泳费为600元,他选择哪种付费方式游泳次数比较多?请加以说明.
方式一:先购买会员卡,每张会员卡 300 元,只限本人当年使用,凭卡游泳每次再付费10元；
方式二:不购买会员卡,每次游泳付费25元.
(1) 按方式一付费,则总费用为
(10x+300)
元;按方式二付费,则总费用为25x
元.(2) 如果两种方式的总费用一样多,那么他游泳次数是多少次?
(3) 小明预计今年游泳费为600元,他选择哪种付费方式游泳次数比较多?请加以说明.
答案
2. （1）(10x+300)；25x. （2）由题意,得10x+300=25x,解得x=20,所以游泳次数是20次. （3）方式一.理由如下:由题意知,当10x+300=600时,x=30;当25x=600时,x=24.因为30＞24,所以选择方式一付费,游泳次数比较多.
解析
【分析】
首先设游泳的次数为$x$次：
（1）按照两种付费规则计算总费用：方式一总费用由固定会员卡费用和每次游泳的浮动费用组成，将两部分相加即可；方式二无固定费用，直接用单次费用乘游泳次数即可得到总费用。
（2）两种付费总费用相等，即第一问得到的两个代数式相等，列出一元一次方程求解就能得到对应的游泳次数。
（3）已知总费用为600元，分别代入两个费用代数式，求出对应可游泳的次数，比较次数大小即可判断哪种方式更划算。
【解析】
设游泳的次数为$x$次：
（1）方式一总费用：会员卡300元加上每次10元的游泳费用，即$10x+300$元；
方式二总费用：每次游泳付费25元，总费用为$25x$元。
（2）根据两种方式总费用相等，列方程：
$10x+300=25x$
移项得：$25x-10x=300$
合并同类项得：$15x=300$
解得：$x=20$
（3）当总费用为600元时：
若选择方式一：$10x+300=600$，解得$x=30$；
若选择方式二：$25x=600$，解得$x=24$；
因为$30＞24$，所以选择方式一可游泳的次数更多。
【答案】
（1）$(10x+300)$；$25x$
（2）游泳次数是20次
（3）选择方式一付费游泳次数比较多
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；方案选择
【点评】
本题结合生活实际的付费场景命题，既考查了代数式的表示方法，也考查了一元一次方程的解法和实际应用能力，能够引导学生用数学思维解决生活中的决策类问题。
【难度系数】
0.8
首先设游泳的次数为$x$次：
（1）按照两种付费规则计算总费用：方式一总费用由固定会员卡费用和每次游泳的浮动费用组成，将两部分相加即可；方式二无固定费用，直接用单次费用乘游泳次数即可得到总费用。
（2）两种付费总费用相等，即第一问得到的两个代数式相等，列出一元一次方程求解就能得到对应的游泳次数。
（3）已知总费用为600元，分别代入两个费用代数式，求出对应可游泳的次数，比较次数大小即可判断哪种方式更划算。
【解析】
设游泳的次数为$x$次：
（1）方式一总费用：会员卡300元加上每次10元的游泳费用，即$10x+300$元；
方式二总费用：每次游泳付费25元，总费用为$25x$元。
（2）根据两种方式总费用相等，列方程：
$10x+300=25x$
移项得：$25x-10x=300$
合并同类项得：$15x=300$
解得：$x=20$
（3）当总费用为600元时：
若选择方式一：$10x+300=600$，解得$x=30$；
若选择方式二：$25x=600$，解得$x=24$；
因为$30＞24$，所以选择方式一可游泳的次数更多。
【答案】
（1）$(10x+300)$；$25x$
（2）游泳次数是20次
（3）选择方式一付费游泳次数比较多
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；方案选择
【点评】
本题结合生活实际的付费场景命题，既考查了代数式的表示方法，也考查了一元一次方程的解法和实际应用能力，能够引导学生用数学思维解决生活中的决策类问题。
【难度系数】
0.8
3. 某校计划购买20张书桌和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书桌每张210元，书架每个70元。A超市的优惠政策为每买一张书桌赠送一个书架，B超市的优惠政策为所有商品打八折。
（1）若规定只能到其中一家超市购买所有商品，什么情况下到A超市购买合算？
（2）若学校想购买20张书桌和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少要准备多少货款？请用计算的结果来验证你的说法。
（1）若规定只能到其中一家超市购买所有商品，什么情况下到A超市购买合算？
（2）若学校想购买20张书桌和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少要准备多少货款？请用计算的结果来验证你的说法。
答案
3. （1）设当购买书架x个时,两家超市付款一样.根据题意,得 210×20+70(x−20)=(210×20+70x)×80%,解得x=40.用特殊值法验证,①当购买30个书架时,A超市需付款210×20+70×10=4 900(元),B超市需付款(210×20+70×30)×80%=5 040(元),
∵4 900＜5 040,
∴当购买30个书架时,到A超市购买合算.②当购买50个书架时,A超市需付款210×20+70×30=6 300(元),B超市需付款(210×20+70×50)×80%=6 160(元),
∵6 160＜6 300,
∴当购买50个书架时,到B超市购买合算.综上可知,当购买书架少于40个且不少于20个时,到A超市购买合算. （2）要分三种方案:① 全部到A超市购买: 210×20+70×80=9 800(元);② 全部到B超市购买:(210×20+70×100)×80%=8 960(元);③ 先到A超市购买20张书桌(赠送20个书架),再到B超市购买80个书架:210×20+70×80×80%=8 680(元).
∵8 680＜8 960＜9 800,
∴学校购买20张书桌和100个书架,且可到两家超市自由选购,至少要准备8 680元货款.
∵4 900＜5 040,
∴当购买30个书架时,到A超市购买合算.②当购买50个书架时,A超市需付款210×20+70×30=6 300(元),B超市需付款(210×20+70×50)×80%=6 160(元),
∵6 160＜6 300,
∴当购买50个书架时,到B超市购买合算.综上可知,当购买书架少于40个且不少于20个时,到A超市购买合算. （2）要分三种方案:① 全部到A超市购买: 210×20+70×80=9 800(元);② 全部到B超市购买:(210×20+70×100)×80%=8 960(元);③ 先到A超市购买20张书桌(赠送20个书架),再到B超市购买80个书架:210×20+70×80×80%=8 680(元).
∵8 680＜8 960＜9 800,
∴学校购买20张书桌和100个书架,且可到两家超市自由选购,至少要准备8 680元货款.
解析
【分析】
（1）要判断到A超市购买合算的情况，首先需要找到两家超市付款金额相等的临界书架数量。设购买书架x个（x≥20），先分别根据A、B超市的优惠规则列出总付款的代数式，令两个代数式相等解出临界值，再通过取值验证判断临界值两侧的优惠情况即可得出结论。
（2）可自由选购时，要优先利用力度最大的优惠降低成本：A超市买1张书桌送1个书架，先在A超市买20张书桌可免费获得20个书架，剩余书架在打八折的B超市购买更划算，同时对比全部在A超市、全部在B超市购买的总费用，取最小值即为最少需要准备的货款。
【解析】
（1）设当购买书架x个（x≥20）时，两家超市付款一样。
根据A、B超市的优惠政策列方程：
$210×20 + 70(x−20) = (210×20 + 70x)×80\%$
解得：$x=40$
通过特殊值验证：
① 当购买30个书架时，A超市需付款：$210×20 + 70×(30-20)=4900$（元）
B超市需付款：$(210×20 + 70×30)×80\%=5040$（元）
∵$4900＜5040$，
∴此时到A超市购买合算。
② 当购买50个书架时，A超市需付款：$210×20 + 70×(50-20)=6300$（元）
B超市需付款：$(210×20 + 70×50)×80\%=6160$（元）
∵$6160＜6300$，
∴此时到B超市购买合算。
（2）分三种方案计算总费用：
① 全部到A超市购买：总费用$=210×20 + 70×(100-20)=9800$（元）
② 全部到B超市购买：总费用$=(210×20 + 70×100)×80\%=8960$（元）
③ 先到A超市买20张书桌（赠送20个书架），剩余80个书架到B超市购买：
总费用$=210×20 + 70×80×80\%=8680$（元）
比较三种方案的费用：$8680＜8960＜9800$。
【答案】
（1）当购买书架数量不少于20个且少于40个时，到A超市购买合算；
（2）至少要准备8680元货款。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案优选问题；打折销售计算
【点评】
本题结合实际购物优惠场景，考查学生的数学建模能力和分类讨论思想，解题核心是准确梳理不同优惠规则下的费用计算逻辑，自由选购类问题需优先使用优惠力度最大的规则，才能实现成本最低。
【难度系数】
0.6
（1）要判断到A超市购买合算的情况，首先需要找到两家超市付款金额相等的临界书架数量。设购买书架x个（x≥20），先分别根据A、B超市的优惠规则列出总付款的代数式，令两个代数式相等解出临界值，再通过取值验证判断临界值两侧的优惠情况即可得出结论。
（2）可自由选购时，要优先利用力度最大的优惠降低成本：A超市买1张书桌送1个书架，先在A超市买20张书桌可免费获得20个书架，剩余书架在打八折的B超市购买更划算，同时对比全部在A超市、全部在B超市购买的总费用，取最小值即为最少需要准备的货款。
【解析】
（1）设当购买书架x个（x≥20）时，两家超市付款一样。
根据A、B超市的优惠政策列方程：
$210×20 + 70(x−20) = (210×20 + 70x)×80\%$
解得：$x=40$
通过特殊值验证：
① 当购买30个书架时，A超市需付款：$210×20 + 70×(30-20)=4900$（元）
B超市需付款：$(210×20 + 70×30)×80\%=5040$（元）
∵$4900＜5040$，
∴此时到A超市购买合算。
② 当购买50个书架时，A超市需付款：$210×20 + 70×(50-20)=6300$（元）
B超市需付款：$(210×20 + 70×50)×80\%=6160$（元）
∵$6160＜6300$，
∴此时到B超市购买合算。
（2）分三种方案计算总费用：
① 全部到A超市购买：总费用$=210×20 + 70×(100-20)=9800$（元）
② 全部到B超市购买：总费用$=(210×20 + 70×100)×80\%=8960$（元）
③ 先到A超市买20张书桌（赠送20个书架），剩余80个书架到B超市购买：
总费用$=210×20 + 70×80×80\%=8680$（元）
比较三种方案的费用：$8680＜8960＜9800$。
【答案】
（1）当购买书架数量不少于20个且少于40个时，到A超市购买合算；
（2）至少要准备8680元货款。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案优选问题；打折销售计算
【点评】
本题结合实际购物优惠场景，考查学生的数学建模能力和分类讨论思想，解题核心是准确梳理不同优惠规则下的费用计算逻辑，自由选购类问题需优先使用优惠力度最大的规则，才能实现成本最低。
【难度系数】
0.6
某校组织若干师生到故宫进行参观活动.若学校只租用45座的客车,则刚好坐满;若只租用60座的客车,则可少租用1辆,且有一辆只坐了15人,其余车辆都坐满.
(1)参加此次活动的师生共有多少人?
下面是解决该问题的两种方法,请选择其中的一种方法完成分析和解答.
(2)若45座的客车每辆租金是1200元,60座的客车每辆租金是1500元,如果两种客车可以混租,请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时,费用最少.
方法一
分析:设该校租用45座的客车需要x辆,则参观总人数可表示为
方法二
分析:设该校参加此次活动的师生共有x人,则租用45座的客车需要
(1)参加此次活动的师生共有多少人?
下面是解决该问题的两种方法,请选择其中的一种方法完成分析和解答.
(2)若45座的客车每辆租金是1200元,60座的客车每辆租金是1500元,如果两种客车可以混租,请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时,费用最少.
方法一
分析:设该校租用45座的客车需要x辆,则参观总人数可表示为
45x
,租用60座的客车$(x-1)$辆,则参观总人数可表示为$60(x-2)+15$
,根据题意列方程:$45x=60(x-2)+15$
.方法二
分析:设该校参加此次活动的师生共有x人,则租用45座的客车需要
$\dfrac{x}{45}$
辆,租用60座的客车需要$\dfrac{x-15}{60}+1$
辆,根据题意列方程:$\dfrac{x}{45}-1=\dfrac{x-15}{60}+1$
.答案
（1）方法一:45x；60(x−2)+15；45x=60(x−2)+15. 方法二:$\dfrac{x}{45}$；$\dfrac{x-15}{60}+1$；$\dfrac{x}{45}-1=\dfrac{x-15}{60}+1$. （2）45座和60座客车各租3辆时费用最少,为8 100元.
解析
【分析】
(1)本题是一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住总人数不变的等量关系，有两种设未知数的思路：
方法一：设租用45座客车的数量为x辆，总人数就是每辆车座位数乘辆数，即45x；租用60座客车时比45座少租1辆，共(x-1)辆，其中1辆仅坐15人，剩下的(x-2)辆全部坐满，总人数就等于坐满的60座车载客量加15，即60(x-2)+15，两个表达式均表示总人数，因此可列等式。
方法二：设总人数为x人，45座客车刚好坐满，因此需要的辆数为总人数除以45，即$\frac{x}{45}$；租用60座客车时，除1辆坐15人外，剩余(x-15)人全部坐满60座车，坐满的60座车辆数为$\frac{x-15}{60}$，因此60座客车总辆数为$\frac{x-15}{60}+1$，且60座比45座少租1辆，据此可列方程。
(2)先求出总人数，再列出所有满足载客量≥总人数的混租方案，计算每种方案的总租金，比较后即可找到费用最少的方案。
【解析】
(1) 选择方法一解答：
首先填空：总人数表示为$\boldsymbol{45x}$，60座客车载客总人数表示为$\boldsymbol{60(x-2)+15}$，列方程$\boldsymbol{45x=60(x-2)+15}$。
解方程：
$\begin{aligned}45x&=60x-120+15\\45x&=60x-105\\15x&=105\\x&=7\end{aligned}$
总人数为$45×7=315$人。
若选择方法二解答：
首先填空：租用45座客车需要$\boldsymbol{\frac{x}{45}}$辆，租用60座客车需要$\boldsymbol{\frac{x-15}{60}+1}$辆，列方程$\boldsymbol{\frac{x}{45}-1=\frac{x-15}{60}+1}$。
解方程：
两边同乘180去分母得：$\begin{aligned}4x-180&=3(x-15)+180\\4x-180&=3x+135\\x&=315\end{aligned}$
即总人数为315人。
(2) 设租45座客车a辆，60座客车b辆（a、b为非负整数），需满足$45a+60b≥315$，总租金$W=1200a+1500b$。
枚举所有可行方案对比费用后，可得a=3、b=3时总租金为$3×1200+3×1500=8100$元，为最低费用。
【答案】
(1) 方法一：$45x$；$60(x-2)+15$；$45x=60(x-2)+15$，参加此次活动的师生共有315人。
方法二：$\dfrac{x}{45}$；$\dfrac{x-15}{60}+1$；$\dfrac{x}{45}-1=\dfrac{x-15}{60}+1$，参加此次活动的师生共有315人。
(2) 45座客车租3辆，60座客车租3辆时费用最少，为8100元。
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式；方案优化
【点评】
本题考查一元一次方程在实际租车场景中的应用，解题关键是找准总人数不变的等量关系列方程，方案优化部分需要全面枚举可行方案再对比费用，易错点是计算60座车辆数时容易忽略仅坐15人的那辆车。
【难度系数】
0.65
(1)本题是一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住总人数不变的等量关系，有两种设未知数的思路：
方法一：设租用45座客车的数量为x辆，总人数就是每辆车座位数乘辆数，即45x；租用60座客车时比45座少租1辆，共(x-1)辆，其中1辆仅坐15人，剩下的(x-2)辆全部坐满，总人数就等于坐满的60座车载客量加15，即60(x-2)+15，两个表达式均表示总人数，因此可列等式。
方法二：设总人数为x人，45座客车刚好坐满，因此需要的辆数为总人数除以45，即$\frac{x}{45}$；租用60座客车时，除1辆坐15人外，剩余(x-15)人全部坐满60座车，坐满的60座车辆数为$\frac{x-15}{60}$，因此60座客车总辆数为$\frac{x-15}{60}+1$，且60座比45座少租1辆，据此可列方程。
(2)先求出总人数，再列出所有满足载客量≥总人数的混租方案，计算每种方案的总租金，比较后即可找到费用最少的方案。
【解析】
(1) 选择方法一解答：
首先填空：总人数表示为$\boldsymbol{45x}$，60座客车载客总人数表示为$\boldsymbol{60(x-2)+15}$，列方程$\boldsymbol{45x=60(x-2)+15}$。
解方程：
$\begin{aligned}45x&=60x-120+15\\45x&=60x-105\\15x&=105\\x&=7\end{aligned}$
总人数为$45×7=315$人。
若选择方法二解答：
首先填空：租用45座客车需要$\boldsymbol{\frac{x}{45}}$辆，租用60座客车需要$\boldsymbol{\frac{x-15}{60}+1}$辆，列方程$\boldsymbol{\frac{x}{45}-1=\frac{x-15}{60}+1}$。
解方程：
两边同乘180去分母得：$\begin{aligned}4x-180&=3(x-15)+180\\4x-180&=3x+135\\x&=315\end{aligned}$
即总人数为315人。
(2) 设租45座客车a辆，60座客车b辆（a、b为非负整数），需满足$45a+60b≥315$，总租金$W=1200a+1500b$。
枚举所有可行方案对比费用后，可得a=3、b=3时总租金为$3×1200+3×1500=8100$元，为最低费用。
【答案】
(1) 方法一：$45x$；$60(x-2)+15$；$45x=60(x-2)+15$，参加此次活动的师生共有315人。
方法二：$\dfrac{x}{45}$；$\dfrac{x-15}{60}+1$；$\dfrac{x}{45}-1=\dfrac{x-15}{60}+1$，参加此次活动的师生共有315人。
(2) 45座客车租3辆，60座客车租3辆时费用最少，为8100元。
【知识点】
一元一次方程的应用；列代数式；方案优化
【点评】
本题考查一元一次方程在实际租车场景中的应用，解题关键是找准总人数不变的等量关系列方程，方案优化部分需要全面枚举可行方案再对比费用，易错点是计算60座车辆数时容易忽略仅坐15人的那辆车。
【难度系数】
0.65
