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1. 如果规定符号“⊗”的意义为 $ a \otimes b = \frac{a × b}{a + b} $，则 $ 2 \otimes (-3) $ 的值是（
A.6
B.-6
C.$ \frac{6}{5} $
D.$ -\frac{6}{5} $
A
）A.6
B.-6
C.$ \frac{6}{5} $
D.$ -\frac{6}{5} $
答案
1.A
2. 运算“*”如下：$a*b=3a-2b$，例如$2*3=3×2-2×3=0$，则$(x^2 + y)*(x^2 - y)$的结果是（
A.$5x^2 + y$
B.$5x^2 - y$
C.$x^2 +5y$
D.$x^2 -5y$
C
）A.$5x^2 + y$
B.$5x^2 - y$
C.$x^2 +5y$
D.$x^2 -5y$
答案
2.C
3. 定义一种关于$n$的“$F$”运算:(1)当$n$是奇数时,结果为$3n+5$;(2)当$n$是偶数时,结果是$\frac{n}{2^k}$(其中$k$是使$\frac{n}{2^k}$是奇数的正整数),并且运算重复进行.例如:取$n=58$,第一次经$F$运算是29,第二次经$F$运算是92,第三次经$F$运算是23,第四次经$F$运算是74,$···$.若$n=9$,则第2026次运算的结果是 (
A.$1$
B.$2$
C.$7$
D.$8$
A
)A.$1$
B.$2$
C.$7$
D.$8$
答案
3.A 【点拨】由题意得，当$n=9$时，第一次经$F$运算为$3×9+5=32$，第二次经$F$运算是$\frac{32}{2^5}=1$，第三次经$F$运算是$3×1+5=8$，第四次经$F$运算是$\frac{8}{2^3}=1$……所以从第二次开始运算的结果出现1,8循环，且奇数次是8，偶数次是1.所以第2 026次运算的结果为1.
4.规定“!”是一种数学运算符号，且1! =1，2! =2×1=2，3! =3×2×1=6，4! =4×3×2×1=24，…，则−$\frac{100!}{98!}$=
- 9 900
。答案
4.− 9 900 【点拨】由题意，得 $-\frac{100!}{98!} = -\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}=-100×99=-9\ 900.$
5. 新考法 新定义 请阅读以下材料，并解答下列各题：
定义:若$a+b=n$,则称$a$与$b$是关于整数$n$的“平衡数”.比如:$3+(-4)=-1$,则$3$与$-4$是关于$-1$的“平衡数”;$2+8=10$,则$2$与$8$是关于$10$的“平衡数”.
(1)填空:$-6$与$8$是关于
(2)若$a=2x^2-3(x^2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,判断$a$与$b$是不是关于$1$的“平衡数”,并说明理由.
定义:若$a+b=n$,则称$a$与$b$是关于整数$n$的“平衡数”.比如:$3+(-4)=-1$,则$3$与$-4$是关于$-1$的“平衡数”;$2+8=10$,则$2$与$8$是关于$10$的“平衡数”.
(1)填空:$-6$与$8$是关于
2
的“平衡数”;(2)若$a=2x^2-3(x^2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,判断$a$与$b$是不是关于$1$的“平衡数”,并说明理由.
答案
5.【解】(1)2
(2)$a$与$b$不是关于1的“平衡数”.理由如下：
$a+b=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-(3x-4x-x^2-2)=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6≠1$，
所以$a$与$b$不是关于1的“平衡数”.
(2)$a$与$b$不是关于1的“平衡数”.理由如下：
$a+b=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-(3x-4x-x^2-2)=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6≠1$，
所以$a$与$b$不是关于1的“平衡数”.
6. 真实情境题 航空航天 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得成功，星辰大海，皆是征途。浩瀚宇宙又迎来了新鲜血脉。数学课上，张老师给出一个新定义：已知A，B两个整式，如果$2A+B=30$，那么A叫作B的“神舟式”。
(1)若$A=x+3$，$B=3x-1$，当$x=5$时，求$2A+B$的值，并判断此时A是否为B的“神舟式”；
(2)若$A=-3x+3$，$B=6x+24$，小宁说“无论x的值为多少，A都是B的‘神舟式’”，小宁的说法正确吗？请说明理由。
(1)若$A=x+3$，$B=3x-1$，当$x=5$时，求$2A+B$的值，并判断此时A是否为B的“神舟式”；
(2)若$A=-3x+3$，$B=6x+24$，小宁说“无论x的值为多少，A都是B的‘神舟式’”，小宁的说法正确吗？请说明理由。
答案
6.【解】(1)$2A+B=2(x+3)+3x-1=2x+6+3x-1=5x+5$,当$x=5$时,原式$=5×5+5=30$,所以此时A是B的“神舟式”.
(2)$2A+B=2(-3x+3)+6x+24=-6x+6+6x+24=30$.$2A+B$的值为30,和$x$的取值无关,所以小宁的说法正确.
(2)$2A+B=2(-3x+3)+6x+24=-6x+6+6x+24=30$.$2A+B$的值为30,和$x$的取值无关,所以小宁的说法正确.
7. 用“F”定义一种新运算:对于任意有理数$x$和$y$，$xFy=a^2x^2 -2y +1$（$a$为常数）.例如:$1F2=a^2×1^2 -2×2 +1=a^2 -3$.
(1)当$a=1$时，求$2F(-3)$的值；
(2)若$(-2)F2$的值为5，求$(-4)F8$的值.
(1)当$a=1$时，求$2F(-3)$的值；
(2)若$(-2)F2$的值为5，求$(-4)F8$的值.
答案
7.【解】(1)当$a=1$时,$2F(-3)=1^2×2^2 -2×(-3)+1=11$.
(2)由题意得,$a^2×(-2)^2 -2×2+1=5$,所以$4a^2=8$,所以$a^2=2$,所以$(-4)F8=a^2×(-4)^2 -2×8+1=16a^2-15=32-15=17$.
(2)由题意得,$a^2×(-2)^2 -2×2+1=5$,所以$4a^2=8$,所以$a^2=2$,所以$(-4)F8=a^2×(-4)^2 -2×8+1=16a^2-15=32-15=17$.
