4. 我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题。
下面我们来证明这个逆命题：
已知:如图,CD是△ABC的中线,$CD=\frac{1}{2}AB$。
求证:△ABC为直角三角形。

∵ CD 是$△ABC$ 的中线,$\therefore AD = BD =\frac{1}{2}AB.\because CD =\frac{1}{2}AB$,$\therefore AD=CD=BD$,$\therefore ∠A = ∠ACD$,$∠B = ∠DCB$,在$△ABC$ 中,$∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°$,$\therefore ∠A+∠B+∠A+∠B=180°$,$\therefore ∠A+∠B=90°$,$\therefore ∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°$,$\therefore △ABC$为直角三角形.

5. ★★★ (2026·杭州月考)如图,在$△ ABC$中,点D,E分别是AC,CB上一点,点F是AB的中点,连结DF,EF,EA,且$DF=EF=AF$,设$∠ DFE=x°$,$∠ ACB=y°$,则 ()


A.$y=x$
B.$y=-\frac{1}{2}x+90$
C.$y=-2x+180$
D.$y=-x+90$

B

6. (杭州中考改编)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A＜90°$,点$D$,$E$,$F$分别在边$AB$,$BC$,$CA$上,连结$DE$,$EF$,$FD$,已知点$B$和点$F$关于直线$DE$对称.设$\frac{BC}{AB}=k$,若$AD=DF$,求$\frac{CF}{FA}$(结果用含$k$的代数式表示).

如图,连结BF,
∵ 点 B 和点 F 关于直线 DE 对称,$\therefore DB = DF.\because AD = DF$,$\therefore AD = DB = DF$,$\therefore BF⊥AC$,设$AB=AC=1$,则$BC=k$,设$CF=x$,则$AF=1-x$,由勾股定理得,$AB^2-AF^2=BC^2-CF^2$,$\therefore 1^2-(1-x)^2=k^2-x^2$,$\therefore x=\frac{k^2}{2}$,$\therefore AF=1-x=\frac{2-k^2}{2}$,$\therefore \frac{CF}{FA}=\frac{k^2}{2-k^2}$.