3. 徐老师给爱思考的小敏和小洁提出这样一个问题:如图1,在$△ ABC$中,$∠ B = 2∠ C$,AD是$∠ BAC$的平分线.求证:$AB + BD = AC$.
小敏的证明思路:如图2,在AC上截取$AE = AB$,连接DE.
小洁的证明思路:如图3,延长CB至点E,使$BE = AB$,连接AE.
请你任意选择一种思路完成证明.

3 证明:
小敏的证明思路:
如图1,在 AC 上截取 $AE = AB$,连接 DE.
∵ AD 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD = ∠ EAD$.
在$△ ABD$和$△ AED$中,$AB = AE, ∠ BAD = ∠ EAD, AD = AD$,
$\therefore △ ABD≌ △ AED$(SAS),$\therefore BD = DE, ∠ ABD = ∠ AED$.
∵ $∠ AED = ∠ EDC + ∠ C, ∠ B = 2∠ C$,
$\therefore ∠ EDC = ∠ C, \therefore DE = EC$,
$\therefore AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$.

小洁的证明思路:
如图2,延长 CB 至点 E,使 $BE = AB$,连接 AE,则$∠ E = ∠ BAE$.
∵ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE, \therefore ∠ ABC = 2∠ E$.
∵ $∠ ABC = 2∠ C, \therefore ∠ E = ∠ C, \therefore AE = AC$.
∵ AD 是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD = ∠ DAC$.
∵ $∠ ADE = ∠ DAC + ∠ C, ∠ DAE = ∠ BAD + ∠ BAE, ∠ BAE = ∠ E = ∠ C$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ DAE, \therefore AE = DE = AC$,
$\therefore AB + BD = BE + BD = DE = AC$.

4. 如图，$△ ABC$ 的面积为 16，$AD$ 平分 $∠ BAC$，且 $AD ⊥ BD$ 于点 $D$，求 $△ ADC$ 的面积.

4 解:如图,延长 BD 交 AC 于点 E.
∵ AD 平分$∠ BAE, AD ⊥ BD$,
∴ $∠ BAD = ∠ EAD, ∠ ADB = ∠ ADE$.
在$△ ABD$和$△ AED$中,
$∠ BAD = ∠ EAD, AD = AD, ∠ ADB = ∠ ADE$,
∴ $△ ABD≌ △ AED$(ASA),$\therefore BD = DE$,
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ ADE}, S_{△ BDC} = S_{△ CDE}$,
∴ $S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 16 = 8$.

5. [2025 北京十二中期中] 如图，$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，$∠ 1 = ∠ 2$，$CE ⊥ BD$，交 $BD$ 的延长线于点 $E$.
(1)求证: $∠ 1 = ∠ ECA$.
(2)猜想线段 $BD$ 与 $CE$ 之间的数量关系，并证明.

5 (1)证明:
∵ $∠ BAC = 90°, CE ⊥ BD$,
∴ $∠ BAC = ∠ BEC = 90°$.
∵ $∠ BDA = ∠ CDE, \therefore ∠ 2 = ∠ ECA$.
∵ $∠ 1 = ∠ 2, \therefore ∠ 1 = ∠ ECA$.
(2)解:$BD = 2CE$. 证明如下:
如图,延长 BA,CE 交于点 F.
在$△ BEF$和$△ BEC$中,
$∠ BEF = ∠ BEC, BE = BE, ∠ 2 = ∠ 1$,
∴ $△ BEF≌ △ BEC$(ASA),$\therefore CE = FE = \frac{1}{2}CF$.
在$△ ABD$和$△ ACF$中,
$∠ 2 = ∠ ACF, AB = AC, ∠ BAD = ∠ CAF$,
∴ $△ ABD≌ △ ACF$(ASA),$\therefore BD = CF$.
∵ $CE = EF = \frac{1}{2}CF, \therefore BD = 2CE$.

提分大招
利用全等三角形说明边(或角)相等的方法
(1)观察图形,找出要说明的边(或角)在哪两个可能全等的三角形中;(2)分析要说明全等的两个三角形,已知什么条件,还缺什么条件;(3)设法得到所缺条件. 若这样的三角形找不到,则要考虑添加辅助线,构造出全等的三角形.