教材P140 复习题T1 变式 在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，以 $Rt△ ABC$ 的三边为边分别向外作图。

(1) 如图1，以 $Rt△ ABC$ 的三边为边向外作正方形，若正方形网格的边长为1，则 $S_1, S_2, S_3$ 之间的关系为 。
(2) 如图2，先以图1中两个较小正方形的边为边向外作直角三角形，再以所作直角三角形的直角边为边向外作正方形，重复上述步骤若干次，可得到一棵勾股树。若图1中的 $S_1 = 13$，求操作10次后图形中所有正方形的面积和。
(3) 如图3，以 $Rt△ ABC$ 的三边为直径向外作半圆，若 $BC = a, AC = b, AB = c$，则 $S_1, S_2, S_3$ 之间的关系还成立吗？并说明理由。
(4) 如图4，以 $Rt△ ABC$ 的三边为直径在AB的同侧作半圆，若阴影部分的面积为8，求 $△ ABC$ 的面积。
(5) 在华东师大版八上教材第140页第2题的探究中，发现以 $Rt△ ABC$ 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形时(如图5)，也满足 $S_1 = S_2 + S_3$。若 $S_3 = 16, S_1 = 25$，求AC的长。
(6) 在直线 $l$ 上依次摆放着七个正方形(如图6)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正放置的四个正方形的面积依次是 $S_1, S_2, S_3, S_4$，求 $S_1 + S_2 + S_3 + S_4$ 的值。

(1) $S_1 = S_2 + S_3$
(2) 根据题意得,
题图1中所有正方形的面积和为$13 + 13 = 13 × 2 = 26$.
重复题中步骤1次,
得图形中所有正方形的面积和为$13 + 13 + 13 = 13 × 3 = 39$.
...
重复题中步骤$n$次,
得图形中所有正方形的面积和为$13 × (n + 2)$.
当$n = 10$时,图形中所有正方形的面积和为$13 × (10 + 2) = 156$.
(3)成立.理由如下:
根据圆的面积公式可得$S_1 = \frac{1}{2} π × (\frac{1}{2} AB)^2 = \frac{π}{8} AB^2$,
$S_2 = \frac{1}{2} π × (\frac{1}{2} AC)^2 = \frac{π}{8} AC^2$,$S_3 = \frac{1}{2} π × (\frac{1}{2} BC)^2 = \frac{π}{8} BC^2$,
$\therefore S_2 + S_3 = \frac{π}{8} (AC^2 + BC^2) = \frac{π}{8} AB^2$,$\therefore S_1 = S_2 + S_3$.
(4)根据(3)可得,以$AB$为直径的半圆面积为$\frac{π}{8} AB^2$,
以$AC$为直径的半圆面积为$\frac{π}{8} AC^2$,
以$BC$为直径的半圆面积为$\frac{π}{8} BC^2$,
$\because$ 题图4阴影部分的面积为8,
$\therefore \frac{π}{8} AC^2 + \frac{π}{8} BC^2 - (\frac{π}{8} AB^2 - S_{△ ABC}) = 8$,
$\therefore \frac{π}{8} (AC^2 + BC^2 - AB^2) + S_{△ ABC} = 8$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,
根据勾股定理,得$AB^2 = AC^2 + BC^2$,
$\therefore AC^2 + BC^2 - AB^2 = 0$,$\therefore S_{△ ABC} = 8$.
(5)根据题意,得$S_{△ ACH} = S_2 = S_1 - S_3 = 25 - 16 = 9$,
$\because CH = AH$,$\therefore \frac{1}{2} AH · HC = \frac{1}{2} AH^2 = 9$,$\therefore AH^2 = 18$,
$\therefore AC^2 = AH^2 + CH^2 = 18 + 18 = 36$,
$\therefore AC$的长为6.
(6)如图,利用“AAS”容易证明$\mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE$,
$\therefore BC = ED$,$\therefore AC^2 + ED^2 = AC^2 + BC^2 = AB^2$,$\therefore S_1 + S_2 = 1$.
同理$S_3 + S_4 = 3$. $\therefore S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 3 = 4$.