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1. [2026万宁期末] 如图，$AC=DC$，$∠1=∠2$，若添加一个条件用“SAS”判定$△ ABC≌△ DEC$，则添加的条件是（
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$BC=EC$
D.$AB=DE$
C
）A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$BC=EC$
D.$AB=DE$
答案
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE,
∴当BC=EC时,可用“SAS”判定△ABC≌△DEC(“旋转模型”).
2. 跨学科·物理 [2026永州期末] 同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，$AO=CO$，$BO=DO$. 若蜡烛火焰成的像CD的高度为2.5 cm，则蜡烛实际的火焰AB的高度为
2.5
cm.答案
∵∠AOB和∠COD为对顶角,
∴∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD.
∵CD=2.5 cm,
∴AB=2.5 cm.
3. 北师七下教材P104例1 如图，$AB // CD$，并且$AB = CD$，那么$△ ABD$与$△ CDB$全等吗？请说明理由.
答案
解:△ABD≌△CDB.理由如下:
∵AB//CD(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD(已知),∠1=∠2(已证),BD=DB(公共边),
∴△ABD≌△CDB(SAS).
∵AB//CD(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD(已知),∠1=∠2(已证),BD=DB(公共边),
∴△ABD≌△CDB(SAS).
4. 新趋势·尺规作图 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$.
(1)在$AC$上求作一点$E$,使$AB = AE$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)根据(1)中的作图,连接$DE$,求证:$△ ABD ≌ △ AED$.
(1)在$AC$上求作一点$E$,使$AB = AE$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)根据(1)中的作图,连接$DE$,求证:$△ ABD ≌ △ AED$.
答案
(1)解:如图,点E即所求.
(2)证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠EAD.
在△ABD和△AED中,
AB=AE(已作),∠BAD=∠EAD(已证),AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△AED(SAS).
5. 教材P72例2变式 [2026鞍山期末] 如图1是常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图2是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB和CD的长度相等，点O是它们的中点，经测量，$AB=60\ \mathrm{cm}$，$AD=41\ \mathrm{cm}$，则马扎撑开后，两个腿落地点B，C之间的距离是（
A.$41\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$71\ \mathrm{cm}$
D.$82\ \mathrm{cm}$
A
）A.$41\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$71\ \mathrm{cm}$
D.$82\ \mathrm{cm}$
答案
∵AB和CD的长度相等,点O是它们的中点,
∴OA=OB=1/2 AB,OC=OD=1/2 CD.
∵∠AOD=∠BOC,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴BC=AD=41 cm.
6. 如图，A,B,C,D是四个社区服务中心，B,D,C在一条直线上，$BD=DC$，A,C,D之间有道路相连，道路AD与BC垂直，$AC=3\ \mathrm{km}$，A,B之间隔了一个湖泊.现决定在湖泊上造一座斜拉桥EF，测得$AE=1.2\ \mathrm{km}$，$BF=0.7\ \mathrm{km}$，则建造的斜拉桥EF的长至少是多少？
答案
解:
∵AD⊥BC(已知),
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义).
在△ADB和△ADC中,
BD=CD(已知),∠ADB=∠ADC(已证),AD=AD(公共边),
∴△ADB≌△ADC(SAS),
∴AB=AC=3 km(全等三角形的对应边相等),
∴斜拉桥EF的长至少是3-1.2-0.7=1.1(km).
∵AD⊥BC(已知),
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义).
在△ADB和△ADC中,
BD=CD(已知),∠ADB=∠ADC(已证),AD=AD(公共边),
∴△ADB≌△ADC(SAS),
∴AB=AC=3 km(全等三角形的对应边相等),
∴斜拉桥EF的长至少是3-1.2-0.7=1.1(km).
