7. [2026长春期末]如图,点E,F在BD上,BF = DE,AE = CF,∠AEB = ∠CFD,下列判断错误的是 ()

A.$BE = DF$
B.$△ AEB ≌ △ CFD$
C.$∠ EAB = ∠ OAE$
D.$AE // CF$

∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,
∴BE=DF,选项A正确.在△AEB和△CFD中,BE=DF,∠AEB=∠CFD,AE=CF,
∴△AEB≌△CFD(SAS),选项B正确.
∵△AEB≌△CFD,
∴∠EAB=∠FCD,选项C错误.
∵∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠CFE,
∴AE//CF,选项D正确.

8. 新考法 [2026重庆渝北区期末] 如图，在锐角三角形ABC中，AB = 10，AC = 9，△ABC的面积为30，BD平分∠ABC。若E，F分别是BD，BC上的动点，则CE + EF的最小值是。

解题思路:在AB上截取线段BP,使BP=BF,通过证明△PBE≌△FBE(SAS),得到PE=FE,将CE+EF的最小值转化为CE+EP的最小值.当C,E,P三点共线,且CP⊥AB时,CE+EP取得最小值,即线段CP的长.
如图,在AB上截取BP,使BP=BF,连接PE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠PBE=∠FBE.又
∵BP=BF,BE=BE,
∴△PBE≌△FBE(SAS),
∴PE=FE,
∴CE+EF=CE+EP.连接CP,当C,E,P三点共线,且CP⊥AB时,CE+EP取得最小值(垂线段最短),即线段CP的长.
∵△ABC的面积为30,AB=10,
∴1/2 ×10CP=30,
∴CP=6,
∴CE+EF的最小值为6.

9. [2026 鹤壁外国语中学月考] 如图, 在 $△ AOB$ 和 $△ COD$ 中, $OA = OB, OC = OD, OA ＜ OC, ∠ AOB = ∠ COD = 36°$. 连接 $AC,BD$ 交于点 $M$.
(1)求证: $△ AOC ≌ △ BOD$.
(2)求 $∠ AMD$ 的度数.

(1)证明:
∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD,
∴△AOC≌△BOD(SAS).
(2)解:由(1)中△AOC≌△BOD,可得∠OAC=∠OBD.
由三角形的内角和为180°,
可得∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB.
∵∠OAC=∠OBD,
∴∠AMB=∠AOB=36°.
∵∠AMD+∠AMB=180°,
∴∠AMD=180°-∠AMB=180°-36°=144°.

10. [2025 唐山迁安期中] 如图,已知$AC = DF$,且$AC // DF$,$BC // EF$,$BM + CN = EF - MN$.
(1)若$AB = 5$,$EM = 1$,求$DM$的值.
(2)比较图中阴影部分的面积与四边形$EMNF$的面积的大小.

解:(1)
∵AC//DF,
∴∠C=∠DNM.
∵BC//EF,
∴∠DNM=∠F,
∴∠C=∠F.
∵BM+CN=EF-MN,
∴EF=BM+CN+MN=BC.
在△ABC和△DEF中,
BC=EF,∠C=∠F,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴DE=AB=5,
∵EM=1,
∴DM=DE-EM=5-1=4.
(2)
∵△ABC≌△DEF,
∴S△ABC=S△DEF.
∵S阴影部分=S△ABC-S△DMN,S四边形EMNF=S△DEF-S△DMN,
∴S阴影部分=S四边形EMNF.

11. 几何直观 [2026北京四十三中期中]李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角”条件是否可得到形状唯一确定的三角形。操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以点A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动。图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图。给出下列结论：①当$∠ PAQ = 30°$，$PQ = 6$时，可得到形状唯一确定的$△ PAQ$；②当$∠ PAQ = 90°$，$PQ = 10$时，可得到形状唯一确定的$△ PAQ$；③当$∠ PAQ = 150°$，$PQ = 12$时，可得到形状唯一确定的$△ PAQ$。其中正确的有 ()


A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

①当∠PAQ=30°,PQ=6时,,点Q在AM上的位置有2个,且2个△PAQ的形状不一样,故①错误.②当∠PAQ=90°,PQ=10时,,点Q在AM上的位置有1个,故②正确.③当∠PAQ=150°,PQ=12时,,点Q在AM上的位置有1个,故③正确.