登录
8.已知$m=(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})×(-2\sqrt{21})$，则有（
A.$5＜m＜6$
B.$4＜m＜5$
C.$3＜m＜4$
D.$6＜m＜7$
A
）A.$5＜m＜6$
B.$4＜m＜5$
C.$3＜m＜4$
D.$6＜m＜7$
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先根据二次根式的乘法运算法则计算m的表达式，第二步将m化简为最简形式，第三步通过比较m平方后的值与相邻正整数平方的大小，估算出m的取值范围，最终匹配正确选项。
【解析】
首先计算m的值：
$\begin{aligned}m&=(-\frac{\sqrt{3}}{3})×(-2\sqrt{21})\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{21}\\&=\frac{2×\sqrt{3×21}}{3}\\&=\frac{2\sqrt{63}}{3}\\&=\frac{2×3\sqrt{7}}{3}\\&=2\sqrt{7}\end{aligned}$
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式便于估算：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$
接下来估算$\sqrt{28}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜28＜36$，
所以$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{28}＜6$，
可得$5＜m＜6$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数大小估算
【点评】
本题属于基础运算题型，解题核心是先正确运用二次根式乘法法则化简得到m的最简形式，再用平方法估算无理数的取值范围，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先根据二次根式的乘法运算法则计算m的表达式，第二步将m化简为最简形式，第三步通过比较m平方后的值与相邻正整数平方的大小，估算出m的取值范围，最终匹配正确选项。
【解析】
首先计算m的值：
$\begin{aligned}m&=(-\frac{\sqrt{3}}{3})×(-2\sqrt{21})\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{21}\\&=\frac{2×\sqrt{3×21}}{3}\\&=\frac{2\sqrt{63}}{3}\\&=\frac{2×3\sqrt{7}}{3}\\&=2\sqrt{7}\end{aligned}$
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式便于估算：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2×7}=\sqrt{28}$
接下来估算$\sqrt{28}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜28＜36$，
所以$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{28}＜6$，
可得$5＜m＜6$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，无理数大小估算
【点评】
本题属于基础运算题型，解题核心是先正确运用二次根式乘法法则化简得到m的最简形式，再用平方法估算无理数的取值范围，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.若2,5,m是某三角形三边的长，则$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}$的结果为（
A.$2m-10$
B.$10-2m$
C.$10$
D.$4$
D
）A.$2m-10$
B.$10-2m$
C.$10$
D.$4$
答案
9.D
解析
【分析】
要计算该二次根式的化简结果，首先需要确定m的取值范围，才能根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号、化简绝对值。已知m是三角形的边长，所以首先利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出m的取值范围，再判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值后合并计算即可。
【解析】
1. 根据三角形三边关系求m的取值范围
已知三角形三边长为2、5、m，因此可得：
$5-2 ＜ m ＜ 5+2$
即 $3 ＜ m ＜ 7$
2. 结合二次根式性质变形原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可变形为：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}=|m-3|+|m-7|$
3. 去绝对值并计算
因为$3＜m＜7$，所以$m-3＞0$，$m-7＜0$，因此：
$|m-3|=m-3$，$|m-7|=7-m$
代入化简得：
原式$=(m-3)+(7-m)=m-3+7-m=4$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、二次根式的性质、绝对值化简
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简计算，是二次根式化简类题型的常见考法。
【难度系数】
0.7
要计算该二次根式的化简结果，首先需要确定m的取值范围，才能根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号、化简绝对值。已知m是三角形的边长，所以首先利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出m的取值范围，再判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值后合并计算即可。
【解析】
1. 根据三角形三边关系求m的取值范围
已知三角形三边长为2、5、m，因此可得：
$5-2 ＜ m ＜ 5+2$
即 $3 ＜ m ＜ 7$
2. 结合二次根式性质变形原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可变形为：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}=|m-3|+|m-7|$
3. 去绝对值并计算
因为$3＜m＜7$，所以$m-3＞0$，$m-7＜0$，因此：
$|m-3|=m-3$，$|m-7|=7-m$
代入化简得：
原式$=(m-3)+(7-m)=m-3+7-m=4$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、二次根式的性质、绝对值化简
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简计算，是二次根式化简类题型的常见考法。
【难度系数】
0.7
10.已知$0＜a＜2$，化简：$a+\sqrt{a^2 -4a +4}=$
2
.答案
10. 2
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的二次三项式，可先利用完全平方公式将其改写为平方形式，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为含绝对值的代数式；接下来根据已知条件$0＜a＜2$判断绝对值内表达式的正负，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
首先对根号内的多项式因式分解：
$a^2 - 4a + 4=(a-2)^2$
因此原式可改写为：
$a+\sqrt{(a-2)^2}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$
已知$0＜a＜2$，可得$a-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-2|=2-a$
将其代入原式计算：
$a+(2-a)=a+2-a=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 二次根式的性质 3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题的核心是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的去号规则，易错点是未结合给定的字母取值范围判断绝对值内式子的正负，错误去绝对值符号导致结果出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察根号内的二次三项式，可先利用完全平方公式将其改写为平方形式，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为含绝对值的代数式；接下来根据已知条件$0＜a＜2$判断绝对值内表达式的正负，依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
首先对根号内的多项式因式分解：
$a^2 - 4a + 4=(a-2)^2$
因此原式可改写为：
$a+\sqrt{(a-2)^2}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$
已知$0＜a＜2$，可得$a-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-2|=2-a$
将其代入原式计算：
$a+(2-a)=a+2-a=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 二次根式的性质 3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题的核心是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的去号规则，易错点是未结合给定的字母取值范围判断绝对值内式子的正负，错误去绝对值符号导致结果出错。
【难度系数】
0.7
11.相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等，正中间那个数叫中心数。在如图所示的“幻方”中，两个空格内所填的实数之积为
6√2
。答案
11. 6√2
解析
【分析】
这是一道结合三阶幻方性质的二次根式计算题，解题思路如下：首先明确三阶幻方的核心性质：所有横向、纵向、对角线上的三个数乘积相等；接下来找到三个数均已知的行，计算出这个相等的公共乘积；再根据公共乘积分别求出两个空格处的实数；最后计算两个实数的积即可得到结果。
【解析】
第一步：计算幻方的公共乘积，观察第一行三个数全部已知，可得：
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
第二步：求第二行中间的数，设该数为$a$，第二行乘积等于公共乘积：
$1 × a × 6 = 6\sqrt{6}$
解得$a = \sqrt{6}$
第三步：求第三行第一个的数，设该数为$b$，第三行乘积等于公共乘积：
$b × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$
解得$b = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
第四步：计算两个空格的乘积：
$a × b = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
1. 三阶幻方的性质
2. 二次根式的运算
【点评】
本题结合趣味幻方性质考查二次根式计算，解题关键是先求出公共乘积，再推导未知数字，属于基础综合应用题，能较好地考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合三阶幻方性质的二次根式计算题，解题思路如下：首先明确三阶幻方的核心性质：所有横向、纵向、对角线上的三个数乘积相等；接下来找到三个数均已知的行，计算出这个相等的公共乘积；再根据公共乘积分别求出两个空格处的实数；最后计算两个实数的积即可得到结果。
【解析】
第一步：计算幻方的公共乘积，观察第一行三个数全部已知，可得：
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
第二步：求第二行中间的数，设该数为$a$，第二行乘积等于公共乘积：
$1 × a × 6 = 6\sqrt{6}$
解得$a = \sqrt{6}$
第三步：求第三行第一个的数，设该数为$b$，第三行乘积等于公共乘积：
$b × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$
解得$b = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
第四步：计算两个空格的乘积：
$a × b = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
1. 三阶幻方的性质
2. 二次根式的运算
【点评】
本题结合趣味幻方性质考查二次根式计算，解题关键是先求出公共乘积，再推导未知数字，属于基础综合应用题，能较好地考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$3\sqrt{5} × (-2\sqrt{10})$；
(2)$2\sqrt{8} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2}$；
(3)$3\sqrt{45} ÷ \sqrt{\frac{1}{5}} × \frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
(4)$4\sqrt{8a^2} ÷ 2\sqrt{\frac{a}{2}} · (-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{a}})$。
(1)$3\sqrt{5} × (-2\sqrt{10})$；
(2)$2\sqrt{8} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2}$；
(3)$3\sqrt{45} ÷ \sqrt{\frac{1}{5}} × \frac{2}{3}\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
(4)$4\sqrt{8a^2} ÷ 2\sqrt{\frac{a}{2}} · (-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{a}})$。
答案
12.解:(1)原式=-(3×2)×√(5×10)=-6√50=-30√2;
(2)原式=4√2 ÷ 1/√2 ×√2=4√2 ×√2 ×√2=8√2;
(3)原式=3×3√5 ÷ √5/5 × 2/3 ×√(8/3)=9√5 ×√5 × 2/3 × 2√6/3=20√6;
(4)原式=4√(2²·2a²) ÷√(4a/2) · (-2/3√(2/a))=8√(2a²) ·√(2/(4a)) · (-2/3√(2/a))=8×(-2/3)·√(2a²·2/(4a)·2/a)=-16/3√2
(2)原式=4√2 ÷ 1/√2 ×√2=4√2 ×√2 ×√2=8√2;
(3)原式=3×3√5 ÷ √5/5 × 2/3 ×√(8/3)=9√5 ×√5 × 2/3 × 2√6/3=20√6;
(4)原式=4√(2²·2a²) ÷√(4a/2) · (-2/3√(2/a))=8√(2a²) ·√(2/(4a)) · (-2/3√(2/a))=8×(-2/3)·√(2a²·2/(4a)·2/a)=-16/3√2
解析
【分析】
本题属于二次根式乘除混合运算题，解题思路如下：①牢记二次根式乘除运算法则：系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最终结果需化为最简二次根式；②运算前先判断符号，负因数的个数决定最终结果的正负；③同级运算按从左到右的顺序计算，带字母的运算要注意隐含条件（根号下的数非负、分母不为0，本题中a＞0）；④可先将各根式化为最简形式再计算，减少后续化简的出错概率。
【解析】
(1) 先确定结果符号为负，再分别计算系数、被开方数的乘积，最后化简：
原式$=-(3×2)×\sqrt{5×10}=-6\sqrt{50}=-6×5\sqrt{2}=-30\sqrt{2}$
(2) 先化简根式，再按从左到右的顺序计算：
原式$=4\sqrt{2} ÷ \frac{1}{\sqrt{2}} ×\sqrt{2}=4\sqrt{2} ×\sqrt{2} ×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
(3) 先将所有根式化为最简，再分别计算系数、被开方数的运算：
原式$=3×3\sqrt{5} ÷ \frac{\sqrt{5}}{5} × \frac{2}{3} ×\sqrt{\frac{8}{3}}=9\sqrt{5} ×\sqrt{5} × \frac{2}{3} × \frac{2\sqrt{6}}{3}=45×\frac{4\sqrt{6}}{9}=20\sqrt{6}$
(4) 先确定结果符号为负，再分别运算系数和被开方数，最后化简：
原式$=8\sqrt{2a^2} ÷ \sqrt{\frac{4a}{2}} · (-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{a}})$
$=8×(-\frac{2}{3})·\sqrt{2a^2·\frac{2}{4a}·\frac{2}{a}}$
$=-\frac{16}{3}\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-30\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{20\sqrt{6}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{16}{3}\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题聚焦二次根式乘除混合运算的基础应用，解题时需注意运算顺序，分开处理系数与被开方数的运算，留意符号判断，带字母的运算要注意隐含的取值范围，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式乘除混合运算题，解题思路如下：①牢记二次根式乘除运算法则：系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最终结果需化为最简二次根式；②运算前先判断符号，负因数的个数决定最终结果的正负；③同级运算按从左到右的顺序计算，带字母的运算要注意隐含条件（根号下的数非负、分母不为0，本题中a＞0）；④可先将各根式化为最简形式再计算，减少后续化简的出错概率。
【解析】
(1) 先确定结果符号为负，再分别计算系数、被开方数的乘积，最后化简：
原式$=-(3×2)×\sqrt{5×10}=-6\sqrt{50}=-6×5\sqrt{2}=-30\sqrt{2}$
(2) 先化简根式，再按从左到右的顺序计算：
原式$=4\sqrt{2} ÷ \frac{1}{\sqrt{2}} ×\sqrt{2}=4\sqrt{2} ×\sqrt{2} ×\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
(3) 先将所有根式化为最简，再分别计算系数、被开方数的运算：
原式$=3×3\sqrt{5} ÷ \frac{\sqrt{5}}{5} × \frac{2}{3} ×\sqrt{\frac{8}{3}}=9\sqrt{5} ×\sqrt{5} × \frac{2}{3} × \frac{2\sqrt{6}}{3}=45×\frac{4\sqrt{6}}{9}=20\sqrt{6}$
(4) 先确定结果符号为负，再分别运算系数和被开方数，最后化简：
原式$=8\sqrt{2a^2} ÷ \sqrt{\frac{4a}{2}} · (-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{a}})$
$=8×(-\frac{2}{3})·\sqrt{2a^2·\frac{2}{4a}·\frac{2}{a}}$
$=-\frac{16}{3}\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-30\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{20\sqrt{6}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{16}{3}\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题聚焦二次根式乘除混合运算的基础应用，解题时需注意运算顺序，分开处理系数与被开方数的运算，留意符号判断，带字母的运算要注意隐含的取值范围，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
