4[2025北京西城区质检,中]如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=108°,BD平分∠ABC交AC于点D,求证:AB=AD+BC(用2种方法证明).

方法1(截长法):如图(1),在 AB 上截取 $BE=BC$,连接 ED. $\because CA=CB,\therefore ∠ A=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=36°$. 又 $\because BD$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=18°$. 又 $\because BE=BC,BD=BD,\therefore △ CBD≌ △ EBD(SAS),\therefore ∠ BED=∠ ACB=108°,\therefore ∠ AED=72°,\therefore ∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=72°=∠ AED,\therefore AD=AE,\therefore AB=AE+BE=AD+BC$.
方法2(补短法):如图(2),延长 BC 至点 F,使 $BF=AB$,连接 FD. $\because BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD=∠ FBD$. 又 $\because BD=BD,\therefore △ ABD≌ △ FBD(SAS),\therefore AD=FD,∠ F=∠ A$. 由方法1知 $∠ A=36°,\therefore ∠ F=36°,\therefore ∠ FDC=∠ ACB-∠ F=72°$. 又 $\because ∠ FCD=180°-∠ ACB=72°$,$\therefore ∠ FCD=∠ FDC,\therefore FC=FD=AD,\therefore AB=FB=FC+BC=AD+BC$.

5[2025山西大同质检,中]如图,点D是△ABC的三个内角的平分线AD,BD,CD的交点,且AB+BD=AC.求证:∠ABC=2∠ACB(用2种方法证明).

方法1(截长法):如图(1),在 AC 上截取 AE,使 $AE=AB$,连接 DE,则 $AB+CE=AE+CE=AC=AB+BD$,$\therefore CE=BD$. $\because AD,BD,CD$ 分别平分 $∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$,$\therefore ∠ DAB=∠ DAE,∠ ABC=2∠ ABD,∠ ACB=2∠ ACD$. 又 $\because AD=AD,\therefore △ ABD≌ △ AED(SAS),\therefore BD=DE,∠ ABD=∠ AED,\therefore DE=CE,\therefore ∠ EDC=∠ ECD,\therefore ∠ ABD=∠ AED=∠ EDC+∠ ECD=2∠ ECD=∠ ACB$,$\therefore ∠ ABC=2∠ ACB$.
方法2(补短法):如图(2),延长 AB 到点 E,使 $BE=BD$,连接 DE,则 $AE=AB+BE=AB+BD=AC$,$∠ E=∠ BDE$,$\therefore ∠ ABD=∠ E+∠ BDE=2∠ E$. 又 $\because AD,BD,CD$ 分别平分 $∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$,$\therefore ∠ DAE=∠ DAC$,$∠ ABC=2∠ ABD,∠ ACB=2∠ ACD$. 又 $\because AD=AD$,$\therefore △ AED≌ △ ACD(SAS)$,$\therefore ∠ E=∠ ACD$,$\therefore ∠ ABD=2∠ ACD=∠ ACB$,$\therefore ∠ ABC=2∠ ACB$.

6[2025河南周口期末,中]如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC交BC于D,BE⊥AD于E,求证:BE=$\frac{1}{2}(AC-AB)$.

如图,延长 BE 交 AC 于点 F,则 $∠ AEB=∠ AEF=90°$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAE=∠ FAE$. 在 $△ ABE$ 和 $△ AFE$ 中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AEF, \\AE=AE, \\∠ BAE=∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(ASA),\therefore ∠ ABF=∠ AFB,AB=AF,BE=EF$. $\because ∠ C+∠ CBF=∠ AFB=∠ ABF$,$∠ ABF+∠ CBF=∠ ABC=3∠ C$,$\therefore ∠ C+2∠ CBF=3∠ C$,$\therefore ∠ CBF=∠ C$,$\therefore BF=CF$,$\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF$. $\because CF=AC-AF=AC-AB$,$\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.

7[2025河北秦皇岛期末,中]如图,△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD,若∠ABC+∠ACD=180°,CD=4,则BC的长为.

8 【解析】延长 AB,CD 交于点 E,如图. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ EAD=∠ CAD$. $\because CD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE=∠ ADC=90°$. 在 $△ ADE$ 和 $△ ADC$ 中,
$\begin{cases}∠ EAD=∠ CAD, \\AD=AD, \\∠ ADE=∠ ADC,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ ADC$,$\therefore ∠ E=∠ ACD$,$DE=CD=4$,$\therefore CE=8$.
$\because ∠ ABC+∠ ACD=180°$,$∠ ABC+∠ CBE=180°$,$\therefore ∠ E=∠ ACD=∠ CBE$,$\therefore BC=CE=8$.

8[2025福建泉州期中,中]如图,△ABC中,BC=10,AC-AB=4,AD是∠BAC的平分线,D在BC下方,且CD⊥AD,连接BD,求$S_{△ BDC}$的最大值.

如图,延长 CD,AB 交于点 E. $\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,$CD⊥ AD$,$\therefore ∠ EAD=∠ CAD$,$∠ ADE=90°=∠ ADC$.
又 $\because AD=AD$,$\therefore △ EAD≌ △ CAD(ASA)$,$\therefore AE=AC$,$DE=CD$,$\therefore BD$ 为 $△ BCE$ 的中线,则 $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}$. $\because AC-AB=4$,$\therefore BE=AE-AB=4$,$\therefore$ 当 $BE⊥ BC$ 时,$S_{△ BCE}$ 最大,即 $S_{△ BCD}$ 最大,此时 $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× \frac{1}{2}× 10× 4=10$.