1[中]如图，$∠ AOB = α$，$OA_1, OB_1$分别是$∠ AOM$和$∠ MOB$的平分线，$OA_2, OB_2$分别是$∠ A_1OM$和$∠ MOB_1$的平分线，$OA_3, OB_3$分别是$∠ A_2OM$和$∠ MOB_2$的平分线，…，$OA_n, OB_n$分别是$∠ A_{n-1}OM$和$∠ MOB_{n-1}$的平分线，则$∠ A_nOB_n$的度数是（）


A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$

1.C 【解析】因为∠AOB=α，OA₁,OB₁分别是∠AOM和∠MOB的平分线，所以∠A₁OM=1/2∠AOM，∠B₁OM=1/2∠BOM，所以∠A₁OB₁=1/2(∠AOM+∠BOM)=1/2∠AOB=1/2α。因为OA₂,OB₂分别是∠A₁OM和∠MOB₁的平分线，所以∠A₂OM=1/2∠A₁OM，∠B₂OM=1/2∠B₁OM，所以∠A₂OB₂=1/2(∠A₁OM + ∠B₁OM)=1/2∠A₁OB₁=1/2×1/2∠AOB=1/4α=α/2²。因为OA₃,OB₃分别是∠A₂OM和∠MOB₂的平分线，所以∠A₃OM=1/2∠A₂OM，∠B₃OM=1/2∠B₂OM，所以∠A₃OB₃=1/2(∠A₂OM + ∠B₂OM)=1/2∠A₂OB₂=1/2×1/2∠A₁OB₁=1/2×1/2×1/2∠AOB=1/8α=α/2³，…，由此规律得∠AₙOBₙ=α/2ⁿ。故选C。
思路分析
由角平分线的定义推理得
∠A₁OB₁=1/2α,
∠A₂OB₂=α/2²,
∠A₃OB₃=α/2³,
据此规律可解答.
关键点拨
利用角平分线性质逐步代换即可得解.

2[2026河北唐山期中,中]如图,点O为直线AB上一点,以O为顶点的直角∠COD绕点O在直线AB上方旋转(OC,OD均不与直线AB重合),作射线OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD.

(1) 当$∠ AOE = 28°$时, $∠ DOF$ 的度数为;
(2) 在旋转过程中, $∠ EOF$ 的度数始终为.

2.(1)17° (2)135° 【解析】(1) 因为∠COD=90°,所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,所以∠AOE=∠COE = 1/2 ∠AOC, ∠DOF = ∠BOF = 1/2∠BOD,所以∠AOE+∠DOF=1/2(∠AOC+∠BOD) = 45°. 因为∠AOE = 28°, 所以∠DOF=45°-28°=17°,故答案为17°.
(2) 因为∠COD=90°,所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,所以∠AOE = ∠COE = 1/2 ∠AOC, ∠DOF = ∠BOF = 1/2∠BOD,所以∠COE + ∠DOF = 1/2(∠AOC + ∠BOD) = 45°, 所以∠EOF = ∠COD+(∠COE+∠DOF)=90°+45°=135°,故答案为135°.

3[中](1)如图,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=40°$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数；
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°(0＜n＜m＜180)$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)

3.【解】(1)因为∠AOB=120°,OD平分∠AOB,所以∠AOD=∠BOD=1/2∠AOB=60°. 因为OE平分∠AOC,∠AOC=40°,所以∠AOE=1/2∠AOC=20°,所以∠DOE=∠AOD-∠AOE=60°-20°=40°.
(2)若射线OC在∠AOB的内部，如图(1)，因为∠AOB=m°,∠AOC=n°,OD,OE分别平分∠AOB,∠AOC,所以∠DOE=∠AOD-∠AOE=1/2∠AOB - 1/2∠AOC=1/2(m-n)°,所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE=1/2(m-n)°.
若射线OC在∠AOB外部，如图(2)，因为∠AOB=m°,∠AOC=n°,OD,OE分别平分∠AOB,∠AOC,所以∠DOE = ∠AOD + ∠AOE=1/2∠AOB+1/2∠AOC=1/2(n+m)°,所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE=1/2(n+m)°.
综上，∠DOE=1/2(m-n)°或∠DOE=1/2(n+m)°.

4[中]如图，$∠ AOB=126°$，射线OC在$∠ AOB$外，若OM平分$∠ BOC$，ON平分$∠ AOC$，则$∠ MON=$。

4.117° 【解析】因为∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB. 因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,所以∠MOC=1/2∠BOC,∠CON=1/2∠AOC,所以∠MON = ∠MOC + ∠CON = 1/2 ∠BOC + 1/2∠AOC=1/2(∠BOC+∠AOC)=1/2(360°-∠AOB)=180°-1/2∠AOB=180°-1/2×126°=117°,故答案为117°.