1[2025 江苏徐州期末,中]如图,若∠BOD = 2∠AOB,OC是∠AOD的平分线,则下列说法:
① ∠BOC = $\frac{1}{3}$∠AOB; ② ∠DOC = 2∠BOC;
③ ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB; ④ ∠COD = 3∠BOC.其中
正确的是 ()

A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

(第1题图) (第2题图)

【解析】设∠AOB=α.因为∠BOD=2∠AOB,OC是∠AOD的平分线,所以∠BOD=2α,∠AOC=∠COD=$\frac{3}{2}$α,所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=$\frac{1}{2}$α,所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠COD=3∠BOC.故③④正确,①②错误,故选B.

2[较难]如图，点O为模拟钟面的圆心，M，O，N在一条直线上，指针OA，OB分别从OM，ON同时出发绕点O转动，OA，OB均顺时针转动，OA每秒转动20°，OB每秒转动10°。设转动时间为t秒，在OB第一次回到初始位置之前，当t=时，直线MN平分∠AOB。

【解析】在OA第一次转到ON处之前,∠AOM=20°t,∠AON=180°-20°t,∠BON=10°t.因为∠AON=∠BON,所以180-20t=10t,解得t=6.OA与OB第一次重合时,20t-10t=180,解得t=18,20t=360,则在OM处重合.在OB从OM处继续转动至第一次回到初始位置之前,OA在MN上方时,直线MN不可能平分∠AOB,所以OA在MN下方,此时,∠BON=180°-10°(t-18),∠AON=20°(t-18)-180°.因为∠AON=∠BON,所以180-10(t-18)=20(t-18)-180,解得t=30.故当t=6或30时,直线MN平分∠AOB.故答案为6或30.

3[2025江苏宿迁期末,较难]如图,已知$∠ AOB=102°$,$∠ COD=30°$,$∠ COD$在$∠ AOB$的内部绕点$O$任意旋转,若$OE$平分$∠ BOC$,则$2∠ AOE+∠ BOD$的度数为.

【解析】因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE.设∠DOE=x°.因为∠COD=30°,所以∠COE=30°-x°,所以∠BOD=30°-2x°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOD-∠DOE-∠COE=42°+2x°,所以∠AOE=∠AOC+∠COE=72°+x°,所以2∠AOE+∠BOD=2×(72°+x°)+30°-2x°=174°,则2∠AOE+∠BOD的度数为174°,故答案为174°.

4[较难]已知$∠ AOB=60°$，$OC$为从$O$点引出的任意一条射线，若$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，则$∠ MON$的度数是。

【解析】因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠CON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC.如图(1),∠MON=∠MOC-∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°;如图(2),∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°-∠AOB)=$\frac{1}{2}$×300°=150°;如图(3),∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°.故答案为30°或150°.

5 核心素养推理能力[较难]爱钻研的琪琪发现将图(1)所示的手表,理解成图(2)所示的数学模型(点A和点D是表带的两端,点A,B,C,D在同一条线段上),可以产生下面的数学问题.

(1)已知表盘直径BC为4 cm,CD=4AB,若B是AC中点,则表带CD= cm.
(2)在某个时刻,分针ON指向表盘上的数字“6”(此时ON与OC重合).时针为OE,表盘显示时间为10:30,如图(3)所示.
①10:30时分针和时针的夹角为°;
②作射线OF,使∠EOF=20°,求此时∠BOF的度数.
(3)在(2)的条件下,自10:30之后,若射线OM始终是∠EON的平分线,在1小时以内,经过分钟后,∠EOM的度数是25°.

(1)因为BC为4 cm,B是AC中点,所以AB=BC=4 cm,所以CD=4AB=16 cm.故答案为16.
(2)①表盘分为12大格,1大格的度数为360°÷12=30°,时针1分钟所走的度数为30°÷60=0.5°,所以从10:00到10:30,时针走的度数为30×0.5°=15°,所以10:30时分针和时针的夹角的度数为4×30°+15°=135°,故答案为135.
②由①知,∠EOC=135°,所以∠BOE=180°-135°=45°.当OF在∠EOB内部时,∠BOF=∠BOE-∠EOF=25°;当OF在∠EOB外部时,∠BOF=∠BOE+∠EOF=65°.
综上,∠BOF的度数为25°或65°.
(3)设经过t分钟后,∠EOM的度数是25°.
因为分针1分钟所走的度数为360°÷60=6°,所以分针与时针1分钟所走度数的差为6°-0.5°=5.5°,
所以∠EON=|135°-5.5°t|.
因为OM平分∠EON,
所以∠EOM=$\frac{|135°-5.5°t|}{2}$=25°.
①$\frac{135°-5.5°t}{2}$=25°,解得t=$\frac{170}{11}$;
②$\frac{5.5°t-135°}{2}$=25°,解得t=$\frac{370}{11}$.
故答案为$\frac{170}{11}$或$\frac{370}{11}$.