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25. (5分)小明想研究密度计是怎样测液体密度的。
(1)小明利用圆筒自制一个密度计,为了能较好地反映不同液体密度之间的差异,他应该选甲图中
①密度计漂浮在水中,测得此时浸入水中的深度$h_0 = 10\ \mathrm{cm}$。
②密度计漂浮在酒精($\rho_{酒精}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$)中,测得此时浸入液体的深度$h_1 = \_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
③若适当增大圆筒的配重,制作的密度计所能测量液体密度的最小值
(2)如图乙是实验室常用的玻璃密度计,它是一根密闭的玻璃管,AB部分粗细均匀,其上标有密度刻度,A、B两点分别是最上面和最下面的刻度位置;BC部分粗细不均匀。如果把密度计放入水中,静止后,水面恰好与A处刻度相平。
①用此密度计
②若该密度计的质量为$m$,AB部分的长度为$L$,B处以下不规则部分的体积为$V$,则AB部分的横截面积$S = $
(1)小明利用圆筒自制一个密度计,为了能较好地反映不同液体密度之间的差异,他应该选甲图中
(c)
[选填“(a)”“(b)”或“(c)”]圆筒。①密度计漂浮在水中,测得此时浸入水中的深度$h_0 = 10\ \mathrm{cm}$。
②密度计漂浮在酒精($\rho_{酒精}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$)中,测得此时浸入液体的深度$h_1 = \_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
③若适当增大圆筒的配重,制作的密度计所能测量液体密度的最小值
变大
(选填“变小”“不变”或“变大”)。(2)如图乙是实验室常用的玻璃密度计,它是一根密闭的玻璃管,AB部分粗细均匀,其上标有密度刻度,A、B两点分别是最上面和最下面的刻度位置;BC部分粗细不均匀。如果把密度计放入水中,静止后,水面恰好与A处刻度相平。
①用此密度计
不能
(选填“能”或“不能”)测酒精的密度。②若该密度计的质量为$m$,AB部分的长度为$L$,B处以下不规则部分的体积为$V$,则AB部分的横截面积$S = $
$\dfrac{m-\rho_水 V}{\rho_水 L}$
。(水的密度用$\rho_{水}$表示)答案
25. (1)(c) ②12.5 ③变大 (2)①不能 ②$\dfrac{m-\rho_水 V}{\rho_水 L}$
【点拨】本题考查密度计的工作原理、物体的浮沉条件、阿基米德原理的应用,以及密度计的设计与参数分析。
【解析】(1)为使浸入深度变化明显,应选横截面积小的圆筒,因为横截面积越小的粗细均匀的物体,在不同液体中漂浮时,浸入液体的深度变化越大,越能直观、准确地测量和比较液体密度,故选(c)。
②根据阿基米德原理F浮=ρ液gV排,当密度计漂浮时,浮力等于重力,密度计的重力不变,所以浮力也不变。设密度计的横截面积为S,根据漂浮条件,可得ρ水gSh₀=ρ酒精gSh₁,即h₁=(ρ水/ρ酒精)h₀=(1.0 g/cm³ / 0.8 g/cm³)×10 cm=12.5 cm。
③若适当增大圆筒中配重的质量,密度计的重力变大,则漂浮时受到的浮力变大,根据F浮=ρ液gV排可知,在V排不变时,液体的密度变大,所以密度计所能测量液体密度的最小值变大;
(2)①如果把密度计放入水中,静止后,水面恰好与A处刻度相平,此时排开液体的体积达到最大值,若测量酒精的密度,根据浮力不变,由于酒精密度小于水的密度,所以需要排开的液体体积更大,无法实现此要求,则不能测酒精密度。
②若该密度计的质量为m,AB部分的长度为L,B处以下不规则部分的体积为V,根据F浮=G=mg,则mg=ρ水g(V+SL),解得S=(m-ρ水V)/(ρ水L)。
【点拨】本题考查密度计的工作原理、物体的浮沉条件、阿基米德原理的应用,以及密度计的设计与参数分析。
【解析】(1)为使浸入深度变化明显,应选横截面积小的圆筒,因为横截面积越小的粗细均匀的物体,在不同液体中漂浮时,浸入液体的深度变化越大,越能直观、准确地测量和比较液体密度,故选(c)。
②根据阿基米德原理F浮=ρ液gV排,当密度计漂浮时,浮力等于重力,密度计的重力不变,所以浮力也不变。设密度计的横截面积为S,根据漂浮条件,可得ρ水gSh₀=ρ酒精gSh₁,即h₁=(ρ水/ρ酒精)h₀=(1.0 g/cm³ / 0.8 g/cm³)×10 cm=12.5 cm。
③若适当增大圆筒中配重的质量,密度计的重力变大,则漂浮时受到的浮力变大,根据F浮=ρ液gV排可知,在V排不变时,液体的密度变大,所以密度计所能测量液体密度的最小值变大;
(2)①如果把密度计放入水中,静止后,水面恰好与A处刻度相平,此时排开液体的体积达到最大值,若测量酒精的密度,根据浮力不变,由于酒精密度小于水的密度,所以需要排开的液体体积更大,无法实现此要求,则不能测酒精密度。
②若该密度计的质量为m,AB部分的长度为L,B处以下不规则部分的体积为V,根据F浮=G=mg,则mg=ρ水g(V+SL),解得S=(m-ρ水V)/(ρ水L)。
解析
【分析】
本题围绕密度计的工作原理展开，核心是利用“密度计漂浮时浮力等于自身重力”的浮沉条件，结合阿基米德原理分析排开液体体积与液体密度的关系。解题时需明确：漂浮状态下浮力不变，排开体积与液体密度成反比；横截面积影响浸入深度的变化幅度，配重影响测量密度的范围。
【解析】
(1)①要让密度计在不同液体中浸入深度变化明显，需选横截面积小的圆筒，横截面积越小，排开体积变化时深度变化越显著，故选横截面积最小的(c)。
②密度计在水和酒精中均漂浮，浮力等于重力，即$F_{浮水}=F_{浮酒精}=G$。根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，设密度计横截面积为$S$，则$\rho_{水}gSh_0=\rho_{酒精}gSh_1$，约去$gS$得：$h_1=\frac{\rho_{水}}{\rho_{酒精}}h_0=\frac{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}×10\ \mathrm{cm}=12.5\ \mathrm{cm}$。
③增大配重后，密度计重力变大，漂浮时浮力$F_{浮}=G$变大。密度计能测量的最小液体密度对应最大排开体积，此时$\rho_{最小}=\frac{G}{gV_{排最大}}$，$G$变大、$V_{排最大}$不变，故最小密度变大。
(2)①密度计放入水中时，水面与A处刻度相平，说明排开体积已达该密度计的最大测量排开体积。酒精密度小于水，测酒精时需更大排开体积，超出测量范围，故不能测酒精密度。
②密度计漂浮时，$mg=F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，排开体积$V_{排}=V + SL$（$V$为B处以下体积，$SL$为AB部分浸入体积），约去$g$得：$m=\rho_{水}(V + SL)$，整理得$S=\frac{m - \rho_{水}V}{\rho_{水}L}$。
【答案】
(1)①(c)；②12.5；③变大；(2)①不能；②$\dfrac{m-\rho_水 V}{\rho_水 L}$
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题考查密度计的工作原理，结合阿基米德原理和浮沉条件综合应用，需理解漂浮时浮力与重力的关系，以及排开体积、液体密度的定量联系，是基础知识点的典型应用。
【难度系数】
0.6
本题围绕密度计的工作原理展开，核心是利用“密度计漂浮时浮力等于自身重力”的浮沉条件，结合阿基米德原理分析排开液体体积与液体密度的关系。解题时需明确：漂浮状态下浮力不变，排开体积与液体密度成反比；横截面积影响浸入深度的变化幅度，配重影响测量密度的范围。
【解析】
(1)①要让密度计在不同液体中浸入深度变化明显，需选横截面积小的圆筒，横截面积越小，排开体积变化时深度变化越显著，故选横截面积最小的(c)。
②密度计在水和酒精中均漂浮，浮力等于重力，即$F_{浮水}=F_{浮酒精}=G$。根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，设密度计横截面积为$S$，则$\rho_{水}gSh_0=\rho_{酒精}gSh_1$，约去$gS$得：$h_1=\frac{\rho_{水}}{\rho_{酒精}}h_0=\frac{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}×10\ \mathrm{cm}=12.5\ \mathrm{cm}$。
③增大配重后，密度计重力变大，漂浮时浮力$F_{浮}=G$变大。密度计能测量的最小液体密度对应最大排开体积，此时$\rho_{最小}=\frac{G}{gV_{排最大}}$，$G$变大、$V_{排最大}$不变，故最小密度变大。
(2)①密度计放入水中时，水面与A处刻度相平，说明排开体积已达该密度计的最大测量排开体积。酒精密度小于水，测酒精时需更大排开体积，超出测量范围，故不能测酒精密度。
②密度计漂浮时，$mg=F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，排开体积$V_{排}=V + SL$（$V$为B处以下体积，$SL$为AB部分浸入体积），约去$g$得：$m=\rho_{水}(V + SL)$，整理得$S=\frac{m - \rho_{水}V}{\rho_{水}L}$。
【答案】
(1)①(c)；②12.5；③变大；(2)①不能；②$\dfrac{m-\rho_水 V}{\rho_水 L}$
【知识点】
密度计原理、阿基米德原理、物体浮沉条件
【点评】
本题考查密度计的工作原理，结合阿基米德原理和浮沉条件综合应用，需理解漂浮时浮力与重力的关系，以及排开体积、液体密度的定量联系，是基础知识点的典型应用。
【难度系数】
0.6
26. (5分)小明在测牛奶的密度时进行如下操作：
(1)把天平放在水平桌面上,游码归零,发现指针如图甲所示,此时应将平衡螺母向
(2)调平后小明进行了以下操作:
①测出空烧杯的质量为51.8 g；
②量筒中的牛奶液面如图乙；
③将部分牛奶倒入烧杯后,量筒液面的位置如图丙；
④如图丁,测出烧杯和倒入牛奶的总质量为
⑤牛奶的密度为
倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁上,测量结果
(3)小明又用电子秤和一个密度均匀的土豆(土豆密度为$\rho_0$),及其他辅助器材测量浓盐水密度:
①用电子秤测出杯子和浓盐水的质量为$m_1$；
②把土豆轻放入浓盐水中漂浮如图己,电子秤示数为$m_2$,用记号笔记下液面在土豆上的位置；
③取出土豆,擦干后用刀沿记号将土豆切成$a、b$两块,测出$a$块的质量为$m_3$。则浓盐水密度的表达式为$\rho_浓=$
(1)把天平放在水平桌面上,游码归零,发现指针如图甲所示,此时应将平衡螺母向
左
调节,使横梁平衡。(2)调平后小明进行了以下操作:
①测出空烧杯的质量为51.8 g；
②量筒中的牛奶液面如图乙；
③将部分牛奶倒入烧杯后,量筒液面的位置如图丙；
④如图丁,测出烧杯和倒入牛奶的总质量为
72.4
g；⑤牛奶的密度为
1.03
g/cm³。倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁上,测量结果
偏小
(选填“偏大”“偏小”或“仍准确”)。(3)小明又用电子秤和一个密度均匀的土豆(土豆密度为$\rho_0$),及其他辅助器材测量浓盐水密度:
①用电子秤测出杯子和浓盐水的质量为$m_1$；
②把土豆轻放入浓盐水中漂浮如图己,电子秤示数为$m_2$,用记号笔记下液面在土豆上的位置；
③取出土豆,擦干后用刀沿记号将土豆切成$a、b$两块,测出$a$块的质量为$m_3$。则浓盐水密度的表达式为$\rho_浓=$
$\dfrac{m_2-m_1}{m_2-m_1-m_3}\rho_0$
。(用已知和测量的物理量符号表示)答案
26. (1)左 (2)④72.4 ⑤1.03 偏小 (3)③$\dfrac{m_2-m_1}{m_2-m_1-m_3}\rho_0$
【点拨】本题考查测量牛奶密度的实验,涉及阿基米德原理、二力平衡条件的应用。
【解析】(1)由图甲可知,天平指针偏向分度盘的右侧,为使天平水平平衡,应向左调节平衡螺母;
(2)④由图乙、丙可知,倒入烧杯内的牛奶的体积为V=50 mL-30 mL=20 mL=20 cm³,由图丁可知,测出烧杯和倒入牛奶的总质量为m总=50 g+20 g+2.4 g=72.4 g;
⑤则烧杯内牛奶的质量为m=m总-m杯=72.4 g-51.8 g=20.6 g,所以牛奶的密度为ρ=m/V=20.6 g/20 cm³=1.03 g/cm³;倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁上,从而测得倒入烧杯中牛奶的体积偏大,由ρ=m/V可知测得牛奶的密度偏小;
(3)由①②可知土豆的质量为m=m₂-m₁。③取出土豆,擦干后用刀沿记号将土豆切成a、b两块,测出a块的质量m₃,则b块的质量m_b=m-m₃=m₂-m₁-m₃,因为土豆密度均匀,b块的体积即土豆排开浓盐水的体积,V排=V_b=m_b/ρ₀=(m₂-m₁-m₃)/ρ₀,土豆受到的浮力F浮=G=(m₂-m₁)g,由F浮=ρ液gV排得,浓盐水的密度ρ浓=F浮/(V排g)=(m₂-m₁)/(m₂-m₁-m₃) ρ₀。
【点拨】本题考查测量牛奶密度的实验,涉及阿基米德原理、二力平衡条件的应用。
【解析】(1)由图甲可知,天平指针偏向分度盘的右侧,为使天平水平平衡,应向左调节平衡螺母;
(2)④由图乙、丙可知,倒入烧杯内的牛奶的体积为V=50 mL-30 mL=20 mL=20 cm³,由图丁可知,测出烧杯和倒入牛奶的总质量为m总=50 g+20 g+2.4 g=72.4 g;
⑤则烧杯内牛奶的质量为m=m总-m杯=72.4 g-51.8 g=20.6 g,所以牛奶的密度为ρ=m/V=20.6 g/20 cm³=1.03 g/cm³;倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁上,从而测得倒入烧杯中牛奶的体积偏大,由ρ=m/V可知测得牛奶的密度偏小;
(3)由①②可知土豆的质量为m=m₂-m₁。③取出土豆,擦干后用刀沿记号将土豆切成a、b两块,测出a块的质量m₃,则b块的质量m_b=m-m₃=m₂-m₁-m₃,因为土豆密度均匀,b块的体积即土豆排开浓盐水的体积,V排=V_b=m_b/ρ₀=(m₂-m₁-m₃)/ρ₀,土豆受到的浮力F浮=G=(m₂-m₁)g,由F浮=ρ液gV排得,浓盐水的密度ρ浓=F浮/(V排g)=(m₂-m₁)/(m₂-m₁-m₃) ρ₀。
解析
【分析】
1. 天平调平：使用天平前游码归零，指针偏向分度盘右侧，说明右侧偏重，需向左调节平衡螺母使横梁平衡。
2. 牛奶密度测量：采用“剩余法”，通过量筒两次示数差确定倒出牛奶的体积，测量烧杯和倒出牛奶的总质量后减去空烧杯质量得到倒出牛奶的质量，再用密度公式计算；误差分析时，牛奶粘在量筒壁会导致测得的倒出体积偏大，根据密度公式可知测量结果偏小。
3. 浓盐水密度测量：利用土豆漂浮时浮力等于重力，排开盐水的体积等于土豆b块的体积（土豆密度均匀，b块体积可通过质量和密度ρ₀计算），结合阿基米德原理推导浓盐水密度表达式。
【解析】
(1) 天平调平时，指针偏向分度盘右侧，说明天平右侧较重，应向左调节平衡螺母，使横梁平衡。
(2) ④ 量筒中倒出牛奶的体积：$V = 50\ \mathrm{mL} - 30\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{cm}^3$；烧杯和倒入牛奶的总质量：$m_{\mathrm{总}} = 50\ \mathrm{g} + 20\ \mathrm{g} + 2.4\ \mathrm{g} = 72.4\ \mathrm{g}$。
⑤ 倒出牛奶的质量：$m = m_{\mathrm{总}} - m_{\mathrm{杯}} = 72.4\ \mathrm{g} - 51.8\ \mathrm{g} = 20.6\ \mathrm{g}$；牛奶密度：$\rho = \frac{m}{V} = \frac{20.6\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 1.03\ \mathrm{g/cm}^3$；倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁，导致测得的倒出体积偏大，由$\rho = \frac{m}{V}$可知，测量结果偏小。
(3) 土豆漂浮时，浮力等于重力，即$F_{\mathrm{浮}} = G = (m_2 - m_1)g$；土豆b块的质量：$m_b = (m_2 - m_1) - m_3$，因土豆密度均匀，b块体积（即排开浓盐水的体积）：$V_{\mathrm{排}} = V_b = \frac{m_b}{\rho_0} = \frac{m_2 - m_1 - m_3}{\rho_0}$；根据阿基米德原理$F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{浓}}gV_{\mathrm{排}}$，代入得：$\rho_{\mathrm{浓}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{gV_{\mathrm{排}}} = \frac{(m_2 - m_1)g}{g · \frac{m_2 - m_1 - m_3}{\rho_0}} = \frac{m_2 - m_1}{m_2 - m_1 - m_3}\rho_0$。
【答案】
(1)左；(2)④72.4；⑤1.03；偏小；(3)③$\dfrac{m_2-m_1}{m_2-m_1-m_3}\rho_0$
【知识点】
密度的测量、天平的使用、阿基米德原理
【点评】
本题综合考查力学实验的核心知识点，涵盖天平调节、密度测量、误差分析及浮力公式推导，需学生掌握实验原理与操作细节，注重逻辑推导能力，是典型的力学综合题型。
【难度系数】
0.5
1. 天平调平：使用天平前游码归零，指针偏向分度盘右侧，说明右侧偏重，需向左调节平衡螺母使横梁平衡。
2. 牛奶密度测量：采用“剩余法”，通过量筒两次示数差确定倒出牛奶的体积，测量烧杯和倒出牛奶的总质量后减去空烧杯质量得到倒出牛奶的质量，再用密度公式计算；误差分析时，牛奶粘在量筒壁会导致测得的倒出体积偏大，根据密度公式可知测量结果偏小。
3. 浓盐水密度测量：利用土豆漂浮时浮力等于重力，排开盐水的体积等于土豆b块的体积（土豆密度均匀，b块体积可通过质量和密度ρ₀计算），结合阿基米德原理推导浓盐水密度表达式。
【解析】
(1) 天平调平时，指针偏向分度盘右侧，说明天平右侧较重，应向左调节平衡螺母，使横梁平衡。
(2) ④ 量筒中倒出牛奶的体积：$V = 50\ \mathrm{mL} - 30\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{mL} = 20\ \mathrm{cm}^3$；烧杯和倒入牛奶的总质量：$m_{\mathrm{总}} = 50\ \mathrm{g} + 20\ \mathrm{g} + 2.4\ \mathrm{g} = 72.4\ \mathrm{g}$。
⑤ 倒出牛奶的质量：$m = m_{\mathrm{总}} - m_{\mathrm{杯}} = 72.4\ \mathrm{g} - 51.8\ \mathrm{g} = 20.6\ \mathrm{g}$；牛奶密度：$\rho = \frac{m}{V} = \frac{20.6\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 1.03\ \mathrm{g/cm}^3$；倒牛奶时部分牛奶粘在量筒壁，导致测得的倒出体积偏大，由$\rho = \frac{m}{V}$可知，测量结果偏小。
(3) 土豆漂浮时，浮力等于重力，即$F_{\mathrm{浮}} = G = (m_2 - m_1)g$；土豆b块的质量：$m_b = (m_2 - m_1) - m_3$，因土豆密度均匀，b块体积（即排开浓盐水的体积）：$V_{\mathrm{排}} = V_b = \frac{m_b}{\rho_0} = \frac{m_2 - m_1 - m_3}{\rho_0}$；根据阿基米德原理$F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{浓}}gV_{\mathrm{排}}$，代入得：$\rho_{\mathrm{浓}} = \frac{F_{\mathrm{浮}}}{gV_{\mathrm{排}}} = \frac{(m_2 - m_1)g}{g · \frac{m_2 - m_1 - m_3}{\rho_0}} = \frac{m_2 - m_1}{m_2 - m_1 - m_3}\rho_0$。
【答案】
(1)左；(2)④72.4；⑤1.03；偏小；(3)③$\dfrac{m_2-m_1}{m_2-m_1-m_3}\rho_0$
【知识点】
密度的测量、天平的使用、阿基米德原理
【点评】
本题综合考查力学实验的核心知识点，涵盖天平调节、密度测量、误差分析及浮力公式推导，需学生掌握实验原理与操作细节，注重逻辑推导能力，是典型的力学综合题型。
【难度系数】
0.5
