11. 综合与探究——代数推理.
定义:对于三个正整数,计算其中任意两个数乘积的算术平方根,若这些算术平方根都是整数,那么称原来这三个数为"漂亮数",这些算术平方根中,最小的整数称为"最小算术平方根",最大的整数称为"最大算术平方根".
例如: 对于 1,4,9 这三个数,$\sqrt{1 × 4} = 2$,$\sqrt{1 × 9} = 3$,$\sqrt{4 × 9} = 6$,这些算术平方根都是整数,因此,1,4,9 这三个数称为"漂亮数",其中"最小算术平方根"是 2,"最大算术平方根"是 6.
问题解决:
(1) 请你通过计算判断 4,16,25 这三个数是不是"漂亮数".
(2) 请你写出两组"漂亮数".(不与前面出现过的"漂亮数"相同)
(3) 已知正整数 9,25,m 是"漂亮数",且$m＞25$,若"最大算术平方根"是"最小算术平方根"的 3 倍,求 m 的值.

11. 解:(1) 因为$\sqrt{4×16}=\sqrt{64}=8$,$\sqrt{16×25}=\sqrt{400}=20$,$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$,8,20,10都是整数,所以4,16,25是"漂亮数".
(2) 1,9,16 4,25,64.理由如下:
$\sqrt{1×9}=\sqrt{9}=3$,$\sqrt{1×16}=\sqrt{16}=4$,$\sqrt{9×16}=\sqrt{144}=12$,所以1,9,16这三个数是"漂亮数";$\sqrt{4×25}=\sqrt{100}=10$,$\sqrt{4×64}=\sqrt{256}=16$,$\sqrt{25×64}=\sqrt{1\ 600}=40$,所以4,25,64这三个数是"漂亮数".
(3) 根据题意,这三个算术平方根为$\sqrt{9×25}=15$,$\sqrt{9m}$,$\sqrt{25m}$. 因为$\sqrt{9m}＞\sqrt{9×25}=15$,$\sqrt{25m}＞\sqrt{25×25}=25$,所以"最小算术平方根"为15,"最大算术平方根"为$\sqrt{25m}$. 因为$\sqrt{25m}=3×15$,所以$25m=(3×15)^2=2\ 025$.解得$m=81$.所以$m$的值为81.

12. 对于数 $a$, 我们规定: 用符号 $[\sqrt{a}]$ 表示不大于$\sqrt{a}$ 的最大整数, 称 $[\sqrt{a}]$ 为 $a$ 的根整数, 例如: $[\sqrt{9}]=3,[\sqrt{10}]=3$.
(1) 仿照以上方法计算: $[\sqrt{16}]=$,
$[\sqrt{48}]=$.
(2) 若 $[\sqrt{x}]=1$, 写出满足题意的 $x$ 的整数值:.
(3) ①若我们对 $a$ 连续求根整数, 直到结果是1为止. 例如: 对10连续求根整数 2 次 $[\sqrt{10}]=3 \to [\sqrt{3}]=1$, 这时候结果为1. 则对有理数137连续求根整数,几次之后结果是1?
②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数:.

12. (1) 4 6
(2) 1或2或3 提示:因为$[\sqrt{x}]=1$,所以$1≤\sqrt{x}＜2$. 因为$1^2=1$,$2^2=4$,所以$1≤ x＜4$,所以$x=1$或$x=2$或$x=3$.
(3) ①解:第一次:$[\sqrt{137}]=11$,第二次:$[\sqrt{11}]=3$,第三次:$[\sqrt{3}]=1$,所以3次之后结果为1.
②255 提示:由上述求解过程可知,进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3. 因为$[\sqrt{15}]=3$,$[\sqrt{16}]=4$,所以进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15. 因为$[\sqrt{255}]=15$,$[\sqrt{256}]=16$,所以进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255,所以只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1,则这个正整数最大值是255.

13. 若记$[x]$表示任意一个数的整数部分，例如：$[4.2]=4,[\sqrt{2}]=1,···,$则$[\sqrt{1}]-[\sqrt{2}]+$$[\sqrt{3}]-[\sqrt{4}]+···+[\sqrt{2\ 021}]-[\sqrt{2\ 022}]+$$[\sqrt{2\ 023}]-[\sqrt{2\ 024}]$(其中“$+$”“$-$”依次相间)的值为.

13. $-22$ 提示:因为$44×44=1\ 936$,$45×45=2\ 025$,且$[\sqrt{n^2}]=n$,…,$[\sqrt{(n+1)^2-1}]=n$,共有$(2n+1)$项,所以$[\sqrt{1}]-[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]-[\sqrt{4}]+\dots+[\sqrt{2\ 021}]-[\sqrt{2\ 022}]+[\sqrt{2\ 023}]-[\sqrt{2\ 024}]=1-1+1-2+2-2+2-2+3-3+3-3+\dots+44-44=(1-2)+(3-4)+\dots+(43-44)=-1-1-\dots-1=-22$.

14. 阅读材料：
$\sqrt{1}$和$\sqrt{4}$为整数，$4-1=3=2×1+1$；
$\sqrt{4}$和$\sqrt{9}$为整数，$9-4=5=2×2+1$；
$\sqrt{9}$和$\sqrt{16}$为整数，$16-9=7=2×3+1$；
$···$
小明发现结论:若$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$为相邻的两个整数,其中$a＜b$,则有$b-a=2\sqrt{a}+1$.并给出了证明：
因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$为相邻的两个整数,所以$\sqrt{a}+1=\sqrt{b}$.等式两边同时平方,得$a+2\sqrt{a}+1=b$.
,得.
请根据以上材料,解决以下问题:
(1) 请补全小明的证明过程.
(2) 若$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+11}$为两个相邻整数,则$a=$.
(3) 若$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+216}$为相差4的两个整数,求$a$的值.

14. (1) 移项 $b-a=2\sqrt{a}+1$
(2) 25 提示:因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+11}$为两个相邻整数,所以$a+11-a=2\sqrt{a}+1$,所以$\sqrt{a}=5$,所以$a=25$.
(3) 解:因为$\sqrt{a}$和$\sqrt{a+216}$为相差4的两个整数,所以$\sqrt{a}+4=\sqrt{a+216}$.等式两边同时平方,得$a+8\sqrt{a}+16=a+216$,所以$\sqrt{a}=25$,所以$a=625$.