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1 [2024 江苏苏州质检，中]用一条直线$m$将如图(1)的直角铁皮分成面积相等的两部分.图(2)、图(3)分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是(
A.甲正确，乙不正确
B.甲不正确，乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确
C
)A.甲正确，乙不正确
B.甲不正确，乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确
答案
1. C 【解析】题图(2)中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积之和的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲作法正确；题图(3)中，直线m经过大长方形和图形外添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的图形的面积都是大长方形面积的一半减去添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙作法正确.故选C.
2 [2025 江苏南京期末，中]如图，长方形$ABCD$被分割成两个完全相同的小长方形和三个正方形后仍是中心对称图形.若已知长方形$ABCD$的周长，则能够求出长度的线段是(
A.$AE$
B.$ED$
C.$EF$
D.$FG$
B
)A.$AE$
B.$ED$
C.$EF$
D.$FG$
答案
2. B 【解析】因为长方形ABCD被分割成两个完全相同的小长方形和三个正方形后仍是中心对称图形，所以两个大正方形的边长相等，两个长方形的形状和大小均相同.设两个大正方形的边长为y，小正方形的边长为x，所以小长方形的长和宽分别为y+x，y - x，所以长方形ABCD的长和宽分别为2y+x，2y - x.因为长方形ABCD的周长已知，设为m，所以2(2y+x+2y - x)=m，解得y=$\frac{1}{8}$m，所以两个大正方形的边长为$\frac{1}{8}$m，所以能够求出长度的线段是ED，故选B.
3 [2024 江苏南京期中，中]如图，点$A$，$B$，$C$在数轴上对应的数分别为$1$，$3$，$5$，点$P$在数轴上对应的数是$-2$，点$P$关于点$A$的对称点为$P_1$，点$P_1$关于点$B$的对称点为$P_2$，点$P_2$关于点$C$的对称点为$P_3$，点$P_3$关于点$A$的对称点为$P_4$，$···$，则$P_1P_{2024}$的长度为
]
2
.]答案
3. 2 【解析】由题意得点P关于点A的对称点P₁表示的数是4，点P₁关于点B的对称点P₂表示的数是2，点P₂关于点C的对称点P₃表示的数是8，点P₃关于点A的对称点P₄表示的数是 - 6，点P₄关于点B的对称点P₅表示的数是12，点P₅关于点C的对称点P₆表示的数是 - 2，点P₆关于点A的对称点P₇表示的数是4，…，所以Pₙ(n为正整数)表示的数每6个为一循环.因为2024÷6=337……2，所以P₂₀₂₄表示的数为2，所以P₁P₂₀₂₄=2.
4 [2024 湖北武汉调研，中]如图，有任意四边形$ABCD$，$A'$，$B'$，$C'$，$D'$分别是$A$，$B$，$C$，$D$关于$B$，$C$，$D$，$A$的对称点，设四边形$ABCD$的面积为$S$，四边形$A'B'C'D'$的面积为$S'$，则$\frac{S'}{S}$的值为
]
5
.]答案
4. 5 【解析】如图所示，连接A'C，BD，AC.由对称得C是BB'的中点，所以$S_{△A'BC}=S_{△A'B'C}$，同理，$S_{△A'BC}=S_{△ABC}$，所以$S_{△A'BB'}=2S_{△ABC}$，同理，$S_{△AA'D'}=2S_{△ABD}$，$S_{△C'D'D}=2S_{△ACD}$，$S_{△B'CC}=2S_{△BCD}$，所以$S_{△A'BB'}+S_{△AA'D'}+S_{△C'D'D}+S_{△B'CC}=2(S_{△ABC}+S_{△ABD}+S_{△ACD}+S_{△BCD})=4S$，所以S'=4S+S=5S，所以$\frac{S'}{S}=5$.
5 核心素养 应用意识 [2025 江苏常州期中，较难]在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角(旋转角大于$0^{\circ}$小于或等于$180^{\circ}$).例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转$90^{\circ}$后能与自身重合(如图(1))，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为$90$度.
(1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为$120^{\circ}$的是
①等边三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形.
(2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为$72^{\circ}$，并且满足既是轴对称图形，又是中心对称图形：
(3)2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图(2))，设直角三角形的较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$.
①此正方形会标是旋转对称图形吗？
②根据图(2)猜想$a^2$，$b^2$，$c^2$之间的数量关系，并说明理由；
③若图(2)中大正方形的面积是$25$，小正方形的面积是$4$，现将四个直角三角形按如图(3)所示重新摆放得到一个大正方形，那么这个大正方形的面积为
]
(1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为$120^{\circ}$的是
①③
(写出所有正确结论的序号).①等边三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形.
(2)写出一个多边形，它是旋转对称图形，有一个旋转角为$72^{\circ}$，并且满足既是轴对称图形，又是中心对称图形：
正十边形(答案不唯一)
.(3)2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图(2))，设直角三角形的较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$.
①此正方形会标是旋转对称图形吗？
是
；(填“是”或“不是”)②根据图(2)猜想$a^2$，$b^2$，$c^2$之间的数量关系，并说明理由；
③若图(2)中大正方形的面积是$25$，小正方形的面积是$4$，现将四个直角三角形按如图(3)所示重新摆放得到一个大正方形，那么这个大正方形的面积为
46
.]
答案
5. 【解】(1)①$\frac{360°}{3}=120°$，则等边三角形是旋转对称图形，它有一个旋转角为120°；
②$\frac{360°}{4}=90°$，90°×2=180°，则正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°或180°；
③$\frac{360°}{6}=60°$，60°×2=120°，则正六边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为120°；
④$\frac{360°}{8}=45°$，45°×2=90°，45°×3=135°，则正八边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为45°或90°或135°.故答案为①③.
(2)$\frac{360°}{10}=36°$，36°×2=72°，则正十边形是有一个旋转角为72°的旋转对称图形，满足既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为正十边形(答案不唯一).
(3)①根据旋转对称图形的定义可知，此正方形会标是旋转对称图形，故答案为是.
②a²，b²，c²之间的数量关系为a²+b²=c².
理由：大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×$\frac{1}{2}$ab+(b - a)²=a²+b²，即a²+b²=c²，所以a²，b²，c²之间的数量关系为a²+b²=c².
③由题图(2)中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，得a²+b²=25，(b - a)²=4，所以a² - 2ab+b²=4，所以2ab=21，所以题图(3)中大正方形的面积为(a+b)²=a²+2ab+b²=25+21=46，故答案为46.
②$\frac{360°}{4}=90°$，90°×2=180°，则正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°或180°；
③$\frac{360°}{6}=60°$，60°×2=120°，则正六边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为120°；
④$\frac{360°}{8}=45°$，45°×2=90°，45°×3=135°，则正八边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为45°或90°或135°.故答案为①③.
(2)$\frac{360°}{10}=36°$，36°×2=72°，则正十边形是有一个旋转角为72°的旋转对称图形，满足既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为正十边形(答案不唯一).
(3)①根据旋转对称图形的定义可知，此正方形会标是旋转对称图形，故答案为是.
②a²，b²，c²之间的数量关系为a²+b²=c².
理由：大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×$\frac{1}{2}$ab+(b - a)²=a²+b²，即a²+b²=c²，所以a²，b²，c²之间的数量关系为a²+b²=c².
③由题图(2)中大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，得a²+b²=25，(b - a)²=4，所以a² - 2ab+b²=4，所以2ab=21，所以题图(3)中大正方形的面积为(a+b)²=a²+2ab+b²=25+21=46，故答案为46.
