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6. 如图4,正三角形和矩形具有一条公共边,矩形内有一个正方形,其四个顶点都在矩形的边上,正三角形和正方形的面积分别是$2\sqrt{3}$和2,则图中阴影部分的面积是
2
.答案
6.2 提示:设正三角形的边长为a,则$\frac{1}{2}a^2×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$ 解得$a=2\sqrt{2}.$ 则图中阴影部分的面积为$2\sqrt{2}×\sqrt{2}-2=2.$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积=矩形面积-正方形面积，因此需要先求出矩形的长和宽：1. 矩形的长与正三角形的边长相等，可通过正三角形的面积公式列方程求出边长；2. 矩形的宽与内部正方形的边长相等，可通过正方形的面积求出边长；最后代入面积和差公式计算即可。
【解析】
解：设正三角形的边长为$ a $，
正三角形的面积公式为$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，已知正三角形面积为$ 2\sqrt{3} $，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3} $
两边同时除以$ \sqrt{3} $得：$ \frac{1}{4}a^2=2 $，解得$ a^2=8 $，即$ a=2\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
已知正方形面积为2，设正方形边长为$ b $，则$ b^2=2 $，解得$ b=\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
由图可知，矩形的长等于正三角形的边长$ 2\sqrt{2} $，矩形的宽等于正方形的边长$ \sqrt{2} $，因此矩形面积为：
$ 2\sqrt{2} × \sqrt{2}=4 $
阴影部分面积=矩形面积-正方形面积，即：
$ 4-2=2 $
【答案】
2
【知识点】
正三角形面积计算、二次根式运算、面积和差计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是理清各图形边长之间的联系，熟练运用特殊图形的面积公式，结合二次根式的运算即可求出结果。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积=矩形面积-正方形面积，因此需要先求出矩形的长和宽：1. 矩形的长与正三角形的边长相等，可通过正三角形的面积公式列方程求出边长；2. 矩形的宽与内部正方形的边长相等，可通过正方形的面积求出边长；最后代入面积和差公式计算即可。
【解析】
解：设正三角形的边长为$ a $，
正三角形的面积公式为$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，已知正三角形面积为$ 2\sqrt{3} $，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3} $
两边同时除以$ \sqrt{3} $得：$ \frac{1}{4}a^2=2 $，解得$ a^2=8 $，即$ a=2\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
已知正方形面积为2，设正方形边长为$ b $，则$ b^2=2 $，解得$ b=\sqrt{2} $（边长为正数，舍去负根）。
由图可知，矩形的长等于正三角形的边长$ 2\sqrt{2} $，矩形的宽等于正方形的边长$ \sqrt{2} $，因此矩形面积为：
$ 2\sqrt{2} × \sqrt{2}=4 $
阴影部分面积=矩形面积-正方形面积，即：
$ 4-2=2 $
【答案】
2
【知识点】
正三角形面积计算、二次根式运算、面积和差计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是理清各图形边长之间的联系，熟练运用特殊图形的面积公式，结合二次根式的运算即可求出结果。
【难度系数】
0.7
7.若$x=-3$,求$|x-\sqrt{(1+x)^2}|$的值.
答案
7. 将x=-3代入,得$|-3-\sqrt{(1-3)^2}|=|-3-2|=5.$
解析
【分析】
本题属于代数式求值题型，解题思路清晰：首先将x的取值代入原式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（结果为非负数）化简根号部分，接着计算绝对值内的算式，最后根据绝对值的性质去掉外层绝对值即可得到结果。解题时要注意二次根式开方结果一定是非负的，不能直接将$\sqrt{(1+x)^2}$化简为$1+x$，避免出错。
【解析】
解：将$x=-3$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=|-3-\sqrt{(1-3)^2}|\\&=|-3-\sqrt{(-2)^2}|\\&=|-3-\sqrt{4}|\\&=|-3-2|\\&=|-5|\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的运算；代数式求值
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的基础计算题，易错点是忽略二次根式的非负性，错误将$\sqrt{(1+x)^2}$直接化简为$1+x$导致计算错误，解题时可以先计算根号内的结果再开方，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题属于代数式求值题型，解题思路清晰：首先将x的取值代入原式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（结果为非负数）化简根号部分，接着计算绝对值内的算式，最后根据绝对值的性质去掉外层绝对值即可得到结果。解题时要注意二次根式开方结果一定是非负的，不能直接将$\sqrt{(1+x)^2}$化简为$1+x$，避免出错。
【解析】
解：将$x=-3$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=|-3-\sqrt{(1-3)^2}|\\&=|-3-\sqrt{(-2)^2}|\\&=|-3-\sqrt{4}|\\&=|-3-2|\\&=|-5|\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
二次根式的化简；绝对值的运算；代数式求值
【点评】
本题是二次根式与绝对值结合的基础计算题，易错点是忽略二次根式的非负性，错误将$\sqrt{(1+x)^2}$直接化简为$1+x$导致计算错误，解题时可以先计算根号内的结果再开方，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
8. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=\sqrt{3} \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$\sqrt{3}x = y+a$的一组解，求$(a+1)(a-1)+7$的值。
答案
8.
∵ $\begin{cases} x=2, \\ y=\sqrt{3} \end{cases}$是关于x,y的二元一次方程$\sqrt{3}x=y+a$的一组解,
∴ $2\sqrt{3}=\sqrt{3}+a.$
∴ $a=\sqrt{3}.$
∴ $(a+1)(a-1)+7=a^2-1+7=3-1+7=9.$
∵ $\begin{cases} x=2, \\ y=\sqrt{3} \end{cases}$是关于x,y的二元一次方程$\sqrt{3}x=y+a$的一组解,
∴ $2\sqrt{3}=\sqrt{3}+a.$
∴ $a=\sqrt{3}.$
∴ $(a+1)(a-1)+7=a^2-1+7=3-1+7=9.$
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程的解的含义：方程的解能使方程左右两边相等，因此第一步先将已知的x、y的值代入二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；接下来观察待求的代数式，可以先利用平方差公式对代数式化简，再将a的值代入化简后的式子计算，既能简化计算过程，也能减少计算出错的概率。
【解析】
∵ $\begin{cases} x=2, \\ y=\sqrt{3} \end{cases}$是关于x,y的二元一次方程$\sqrt{3}x=y+a$的一组解，
∴ 将$x=2$，$y=\sqrt{3}$代入方程得：$2\sqrt{3}=\sqrt{3}+a$，
解得：$a=\sqrt{3}$。
对代数式$(a+1)(a-1)+7$利用平方差公式化简：
$(a+1)(a-1)+7=a^2-1+7=a^2+6$，
将$a=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=(\sqrt{3})^2+6=3+6=9$。
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程的解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，融合了方程解的应用、整式乘法公式以及二次根式的计算，解题核心是先利用方程解的性质求出参数a的值，再结合公式简化代数式的计算，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二元一次方程的解的含义：方程的解能使方程左右两边相等，因此第一步先将已知的x、y的值代入二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；接下来观察待求的代数式，可以先利用平方差公式对代数式化简，再将a的值代入化简后的式子计算，既能简化计算过程，也能减少计算出错的概率。
【解析】
∵ $\begin{cases} x=2, \\ y=\sqrt{3} \end{cases}$是关于x,y的二元一次方程$\sqrt{3}x=y+a$的一组解，
∴ 将$x=2$，$y=\sqrt{3}$代入方程得：$2\sqrt{3}=\sqrt{3}+a$，
解得：$a=\sqrt{3}$。
对代数式$(a+1)(a-1)+7$利用平方差公式化简：
$(a+1)(a-1)+7=a^2-1+7=a^2+6$，
将$a=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
原式$=(\sqrt{3})^2+6=3+6=9$。
【答案】
9
【知识点】
二元一次方程的解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，融合了方程解的应用、整式乘法公式以及二次根式的计算，解题核心是先利用方程解的性质求出参数a的值，再结合公式简化代数式的计算，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
