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1. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是(
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{2S}$
D
)A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{2S}$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时按照这两个标准逐一判断每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{4}$：被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），$\sqrt{4}=2$，不符合最简二次根式要求，排除；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合最简二次根式要求，排除；
C. $\sqrt{12}$：被开方数12可分解为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不符合最简二次根式要求，排除；
D. $\sqrt{2S}$：被开方数2S不含分母，且不存在能开得尽方的因数或因式，符合最简二次根式的要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排查选项就能快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时按照这两个标准逐一判断每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{4}$：被开方数4是能开得尽方的数（$4=2^2$），$\sqrt{4}=2$，不符合最简二次根式要求，排除；
B. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数含有分母，可化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合最简二次根式要求，排除；
C. $\sqrt{12}$：被开方数12可分解为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不符合最简二次根式要求，排除；
D. $\sqrt{2S}$：被开方数2S不含分母，且不存在能开得尽方的因数或因式，符合最简二次根式的要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排查选项就能快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形是中心对称图形的个数有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要明确中心对称图形的判定规则：把图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，就是中心对称图形。接下来我们逐个分析四个图形：首先看第一个图形，绕中心旋转180°后各部分能和原图形对应重合，符合要求；第二个图形由5个五边形组成，属于奇数个对称单元，旋转180°后无法和原图形匹配，不符合；第三个图形由3个三角形组成，也是奇数个对称单元，旋转180°后和原图形不重合，不符合；第四个图形绕中心旋转180°后各部分都能和原图形对应重合，符合要求。最后统计符合要求的图形个数即可得到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的就是中心对称图形，对四个图形逐一判断：
1. 第一个图形：绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形；
2. 第二个图形：绕中心旋转180°后，上方的五边形旋转至下方，与原图形下方空缺位置不匹配，无法重合，不是中心对称图形；
3. 第三个图形：绕中心旋转180°后，各三角形位置与原图形不对应，无法重合，不是中心对称图形；
4. 第四个图形：绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形。
综上，中心对称图形共有2个。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题核心是对中心对称图形概念的应用，易错点是容易将中心对称图形和轴对称图形的判定混淆，牢记旋转180°后重合这一核心判定特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确中心对称图形的判定规则：把图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，就是中心对称图形。接下来我们逐个分析四个图形：首先看第一个图形，绕中心旋转180°后各部分能和原图形对应重合，符合要求；第二个图形由5个五边形组成，属于奇数个对称单元，旋转180°后无法和原图形匹配，不符合；第三个图形由3个三角形组成，也是奇数个对称单元，旋转180°后和原图形不重合，不符合；第四个图形绕中心旋转180°后各部分都能和原图形对应重合，符合要求。最后统计符合要求的图形个数即可得到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的就是中心对称图形，对四个图形逐一判断：
1. 第一个图形：绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形；
2. 第二个图形：绕中心旋转180°后，上方的五边形旋转至下方，与原图形下方空缺位置不匹配，无法重合，不是中心对称图形；
3. 第三个图形：绕中心旋转180°后，各三角形位置与原图形不对应，无法重合，不是中心对称图形；
4. 第四个图形：绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形。
综上，中心对称图形共有2个。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题核心是对中心对称图形概念的应用，易错点是容易将中心对称图形和轴对称图形的判定混淆，牢记旋转180°后重合这一核心判定特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 用配方法解方程$x^2 +4x +1=0$，正确的是(
A.$(x+2)^2=3$
B.$(x+2)^2=-5$
C.$(x+2)^2=-3$
D.$(x+4)^2=3$
A
)A.$(x+2)^2=3$
B.$(x+2)^2=-5$
C.$(x+2)^2=-3$
D.$(x+4)^2=3$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆配方法解一元二次方程的步骤：首先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，最后化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：第一步，移项，将常数项1移到等号右边，得$x^2 +4x = -1$；
第二步，配方，一次项系数是4，它的一半是2，平方为$2^2=4$，给等式两边同时加4，得$x^2 +4x +4 = -1 +4$；
第三步，等号左侧根据完全平方公式可写成$(x+2)^2$，右侧计算得3，即$(x+2)^2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的流程就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需回忆配方法解一元二次方程的步骤：首先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，最后化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：第一步，移项，将常数项1移到等号右边，得$x^2 +4x = -1$；
第二步，配方，一次项系数是4，它的一半是2，平方为$2^2=4$，给等式两边同时加4，得$x^2 +4x +4 = -1 +4$；
第三步，等号左侧根据完全平方公式可写成$(x+2)^2$，右侧计算得3，即$(x+2)^2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的流程就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 矩形具有而菱形不具有的性质是(
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
C
)A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先需要分别回忆矩形、菱形的对角线相关性质，再逐个比对选项，排除两类图形共有的性质、仅菱形具有的性质，最终筛选出仅矩形具有而菱形不具有的性质即可。
【解析】
首先明确两类图形的对角线性质：
1. 矩形的对角线性质：对角线互相平分且相等；
2. 菱形的对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
逐一分析选项：
A. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意；
C. 对角线相等是矩形具有、菱形不具有的性质，符合题意；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；特殊平行四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础题，核心考察矩形与菱形性质的区分，解题的关键是熟练掌握常见特殊平行四边形的性质，做题时可通过罗列性质逐一比对的方法避免知识点混淆，平时学习中要注意对易混知识点进行归纳整理。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要分别回忆矩形、菱形的对角线相关性质，再逐个比对选项，排除两类图形共有的性质、仅菱形具有的性质，最终筛选出仅矩形具有而菱形不具有的性质即可。
【解析】
首先明确两类图形的对角线性质：
1. 矩形的对角线性质：对角线互相平分且相等；
2. 菱形的对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
逐一分析选项：
A. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意；
C. 对角线相等是矩形具有、菱形不具有的性质，符合题意；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；菱形的性质；特殊平行四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础题，核心考察矩形与菱形性质的区分，解题的关键是熟练掌握常见特殊平行四边形的性质，做题时可通过罗列性质逐一比对的方法避免知识点混淆，平时学习中要注意对易混知识点进行归纳整理。
【难度系数】
0.8
5. 某企业2019年获利300万元，计划2021年获利507万元.
设这两年的年利润平均增长率为x,应列方程为(
A.$300(1+x)=507$
B.$300(1+x)^2=507$
C.$300(1+x)+300(1+x)^2=507$
D.$300+300(1+x)+300(1+x)^2=507$
设这两年的年利润平均增长率为x,应列方程为(
B
)A.$300(1+x)=507$
B.$300(1+x)^2=507$
C.$300(1+x)+300(1+x)^2=507$
D.$300+300(1+x)+300(1+x)^2=507$
答案
5. B 设这两年的年利润平均增长率为x. 根据题意,得$300(1+x)^2=507$. 故选B.
解析
【分析】
这是一道平均增长率的应用题，解题思路如下：首先明确基期（起始年份2019年）的利润为300万元，年平均增长率为x；其次依次计算后续年份的利润：2020年的利润是在2019年的基础上增长x，即为300(1+x)；2021年的利润是在2020年的基础上再增长x，所以需要用2020年的利润再乘(1+x)；最后根据2021年利润为507万元的已知条件，列出对应等式即可匹配选项。
【解析】
解：已知2019年获利300万元，年利润平均增长率为x。
1. 计算2020年的利润：2020年利润 = 2019年利润×(1+增长率) = $300(1+x)$
2. 计算2021年的利润：2021年利润 = 2020年利润×(1+增长率) = $300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2$
3. 结合2021年获利507万元的条件，可列方程：$300(1+x)^2=507$
因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础典型题，解题核心是准确判断增长的期数，牢记平均增长率的数量关系，避免混淆不同年份的对应利润量。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的应用题，解题思路如下：首先明确基期（起始年份2019年）的利润为300万元，年平均增长率为x；其次依次计算后续年份的利润：2020年的利润是在2019年的基础上增长x，即为300(1+x)；2021年的利润是在2020年的基础上再增长x，所以需要用2020年的利润再乘(1+x)；最后根据2021年利润为507万元的已知条件，列出对应等式即可匹配选项。
【解析】
解：已知2019年获利300万元，年利润平均增长率为x。
1. 计算2020年的利润：2020年利润 = 2019年利润×(1+增长率) = $300(1+x)$
2. 计算2021年的利润：2021年利润 = 2020年利润×(1+增长率) = $300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2$
3. 结合2021年获利507万元的条件，可列方程：$300(1+x)^2=507$
因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础典型题，解题核心是准确判断增长的期数，牢记平均增长率的数量关系，避免混淆不同年份的对应利润量。
【难度系数】
0.8
