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12. 观察下列图形与等式的关系.
第1个图形：
→$2^2 -1^2=2+1=3$； 第2个图形：
→$3^2 -2^2=3+2=5$；
第3个图形：
→$4^2 -3^2=4+3=7$； 第4个图形：
→$5^2 -4^2=5+4=9$；……
根据图形与等式的关系,解决下列问题.
(1)第5个图形中空白部分小正方形的个数是
(2)用含$n$的等式表示第$n$个图形中空白部分小正方形的个数反映的规律：
(3)运用上述规律计算：$(2026^2 -2025^2 +2024^2 -2023^2 +\dots +2^2 -1^2)×\frac{1}{1013}$.
第1个图形：
→$2^2 -1^2=2+1=3$； 第2个图形：→$3^2 -2^2=3+2=5$；第3个图形：
→$4^2 -3^2=4+3=7$； 第4个图形：→$5^2 -4^2=5+4=9$；……根据图形与等式的关系,解决下列问题.
(1)第5个图形中空白部分小正方形的个数是
11
,第6个图形中空白部分小正方形的个数满足的算式是$7^2-6^2=7+6=13$
；(2)用含$n$的等式表示第$n$个图形中空白部分小正方形的个数反映的规律：
$(n+1)^2-n^2=n+1+n=2n+1$
；(3)运用上述规律计算：$(2026^2 -2025^2 +2024^2 -2023^2 +\dots +2^2 -1^2)×\frac{1}{1013}$.
答案
(3)原式$=(2026+2025+2024+2023+\dots+2+1)×\frac{1}{1013}=\frac{2026×(2026+1)}{2}×\frac{1}{1013}=2027$
探究实践
图案规律观察与归纳探究
观察是智慧的起点,归纳是思维的升华. 请认真观察下列这组图案的排列特征,尝试从形状、数量、位置等维度寻找共同规律,完成以下探究任务:
【观察思考】
第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 ……
【规律发现】
请用含n的式子填空:
(1)第n个图案中“◎”的个数为
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$,第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$,第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$,第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$,……,第n个图案中“★”的个数可表示为
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律,求正整数n,使得连续的正整数之和$1+2+3+…+n$等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
图案规律观察与归纳探究
观察是智慧的起点,归纳是思维的升华. 请认真观察下列这组图案的排列特征,尝试从形状、数量、位置等维度寻找共同规律,完成以下探究任务:
【观察思考】
第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 ……
【规律发现】
请用含n的式子填空:
(1)第n个图案中“◎”的个数为
$3n$
;(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$,第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$,第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$,第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$,……,第n个图案中“★”的个数可表示为
$\frac{n(n+1)}{2}$
;【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律,求正整数n,使得连续的正整数之和$1+2+3+…+n$等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
答案
(3)$\frac{n(n+1)}{2}=2×3n$,解得 $n=11$,即第 11 个图形符合条件.
