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【典例1】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$。
(1)画出$BC$，$AC$边上高$AE$，$BD$；
(2)若$AC=2BC$，求$\frac{BD}{AE}$的值。
(1)画出$BC$，$AC$边上高$AE$，$BD$；
(2)若$AC=2BC$，求$\frac{BD}{AE}$的值。
答案
(1)如图所示
；(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD,AE=2BD,$
$\therefore \frac{BD}{AE}=\frac{1}{2}.$
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的高BD=4，P为BC上一点，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，求PE+PF的值。
答案
连接AP，
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ PAC},$
$\therefore \frac{1}{2}AB· PF+\frac{1}{2}AC· PE=\frac{1}{2}AC· BD,$
$\because AB=AC,BD=4,$
$\therefore PE+PF=4.$
变式.如图1,在△ABC中,CA=CB=4,S△ABC=6,点D在AB上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足为E,F,则DE+DF=
3
.答案
提示:连接CD，
$S_{△ ACB}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×4× DE+\frac{1}{2}×4× DF=6,$
$\therefore DE+DF=3.$
【典例3】如图，长方形ABCD面积为96，E为AD的中点，△BCF面积为20，则图中阴影部分的面积为
14
。答案
提示:连接DF,$\therefore S_{△ CDF}=\frac{1}{2}×96=48,\therefore S_{△ ADF}=48-20=28,$
$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2}S_{△ ADF}=14.$
变式.(2026·武汉)如图3,长方形ABCD面积为6,点E在DC的延长线上,连接BE,P为BE中点,则$S_{△ ABP}$的面积为(
A.6
B.3
C.1.5
D.2
C
)A.6
B.3
C.1.5
D.2
答案
提示:$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=3,$
$\because BP=PE,\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=1.5.$
$\because BP=PE,\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=1.5.$
