1. (2024·南通海安期中) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC$ $=90°,AB=BC,D$ 是 $AC$ 上一点, $AE⊥ BD$ 于点 $E,CF⊥ BD$ 于点 $F$.
(1)求证:$CF=BE$;
(2)若 $BD=2AE$,求证:
$∠ EAD=∠ ABE$.

(1)
∵∠ABC=90°,CF⊥BD,AE⊥BD,
∴∠ABE+∠EBC=90°=∠EBC+∠BCF,
∴∠ABE=∠BCF.
又∠AEB=∠BFC=90°,AB=CB,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴CF=BE.
(2)由(1)△ABE≌△BCF,得BF=AE,∠ABE=∠BCF.
又BD=BF+FD=2AE,
∴BF=DF,
又CF⊥BD,
∴CB=CD,
∴CF平分∠ACB.
∵AE⊥BE,CF⊥BE,
∴AE//CF,
∴∠EAD=∠ACF.
∵∠ABE=∠BCF=∠ACF,
∴∠EAD=∠ABE.
归纳总结 本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

2. (2025·常州期末)如图，$B$ 是射线 $AD$ 上一点(不与端点 $A$ 重合)，$OP$ 垂直平分线段 $AB$，$C$ 是射线 $OP$ 上一点(不与端点 $O$ 重合)，连接$AC$，$BC$。$∠ CBD$ 的平分线与 $AC$ 的延长线相交于点 $E$。
(1)若$∠ A=26^{\circ }$,求$∠ CBE$的大小；
(2)若$EC=EB$,求$∠ A$的大小。

(1)
∵OP垂直平分线段AB,
∴AC=BC,
∴∠A=∠CBA=26°,
∴∠CBD=154°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=77°.
(2)设∠A=∠CBA=x°,
∴∠ECB=(2x)°,
∵EC=EB,
∴∠CBE=∠ECB=(2x)°,
∴∠CBD=(4x)°,
∴5x=180,
解得x=36,
∴∠A=36°.
思路引导 (1)根据线段垂直平分线的性质得出AC=BC,进而利用等腰三角形的性质解答即可;(2)根据等腰三角形的性质和平角的定义得出方程解答即可.

3. (2025·苏州草桥中学月考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $E$ 为 $AB$ 上一点, 连接 $CE$,$EC=BC$, 过点 $C$ 作 $CD=AC$, 连接 $DE$, 且 $∠ 1=∠ 2$. 若 $∠ B=75°$, 求 $∠ 3$ 的度数.

∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB.
在△DCE和△ACB中,$\begin{cases} CD=CA, \\ ∠DCE=∠ACB, \\ EC=BC, \end{cases}$
∴△DCE≌△ACB(SAS),
∴∠DEC=∠B=75°.
∵EC=BC,
∴∠CEB=∠B=75°,
∴∠DEB=∠DEC+∠CEB=150°,
∴∠3=180°−∠DEB=30°.

4. (2025·苏州期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC$, $D$ 是边 $BC$ 上的中点, 连接 $AD$, $BM$ 平分 $∠ ABC$, 交 $AC$ 于点 $M$, 过点 $M$ 作 $MN// BC$, 交 $AB$ 于点 $N$.
(1)若 $∠ C=72°$, 求 $∠ BAD$ 的度数;
(2)求证: $NB=NM$.

(1)
∵在△ABC中,AB=AC,D是边BC上的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∴∠ADC=90°.
∵∠C=72°,
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠C=180°−90°−72°=18°,
∴∠BAD=18°.
(2)
∵MN//BC,
∴∠NMB=∠CBM.
∵BM平分∠ABC,
∴∠NBM=∠CBM,
∴∠NBM=∠NMB,
∴NB=NM.