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1. 某水果店记录了连续的5天内某种水果的日销量(单位:kg):12,15,13,16,14,则该组数据的离差平方和为（
A.10
B.14
C.20
D.28
A
）A.10
B.14
C.20
D.28
答案
1.A
解析
【分析】
要计算该组数据的离差平方和，首先明确离差平方和的定义：所有数据与该组数据算术平均值的差值的平方之和。解题可分为三步：第一步先求出这5个日销量数据的算术平均数；第二步逐个计算每个数据与平均数的差值，再对差值做平方运算；第三步将所有平方后的结果累加，得到的总和就是离差平方和，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算该组数据的平均数$\bar{x}$
5个数据的总和为：$12+15+13+16+14=70$
数据总个数$n=5$，因此算术平均数：
$\bar{x}=\frac{70}{5}=14$
2. 逐项计算每个数据与均值的离差的平方：
$(12-14)^2=(-2)^2=4$
$(15-14)^2=1^2=1$
$(13-14)^2=(-1)^2=1$
$(16-14)^2=2^2=4$
$(14-14)^2=0^2=0$
3. 累加所有离差的平方得到离差平方和：
$4+1+1+4+0=10$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计学基础概念计算题，核心考察对离差平方和定义的掌握，计算量很小，易错点是容易将离差平方和与方差混淆，误将最终结果除以数据个数得到错误值，只要牢记离差平方和不需要额外做除法，直接累加平方项即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要计算该组数据的离差平方和，首先明确离差平方和的定义：所有数据与该组数据算术平均值的差值的平方之和。解题可分为三步：第一步先求出这5个日销量数据的算术平均数；第二步逐个计算每个数据与平均数的差值，再对差值做平方运算；第三步将所有平方后的结果累加，得到的总和就是离差平方和，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算该组数据的平均数$\bar{x}$
5个数据的总和为：$12+15+13+16+14=70$
数据总个数$n=5$，因此算术平均数：
$\bar{x}=\frac{70}{5}=14$
2. 逐项计算每个数据与均值的离差的平方：
$(12-14)^2=(-2)^2=4$
$(15-14)^2=1^2=1$
$(13-14)^2=(-1)^2=1$
$(16-14)^2=2^2=4$
$(14-14)^2=0^2=0$
3. 累加所有离差的平方得到离差平方和：
$4+1+1+4+0=10$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计学基础概念计算题，核心考察对离差平方和定义的掌握，计算量很小，易错点是容易将离差平方和与方差混淆，误将最终结果除以数据个数得到错误值，只要牢记离差平方和不需要额外做除法，直接累加平方项即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
B
）A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要先明确组内离差平方和的统计含义：它是组内所有数据与本组均值的离差的平方和，直接衡量组内数据的离散程度。接下来结合统计分组的核心逻辑思考：分组的本质是把特征相近的数据归为同一组，特征差异大的数据分到不同组，要求组内离差平方和最小，就是要让组内数据的离散程度尽可能低，同时对应组间的差异尽可能大。之后再逐一排查其余错误选项，排除不符合逻辑的描述，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先明确核心指标含义：组内离差平方和代表组内数据围绕本组均值的波动大小，要求该值最小，意味着组内数据的离散程度尽可能小，也就是同组内数据差异尽可能小，对应的不同组的数据特征区分度就越高，组间数据差异尽可能大，符合统计分组的核心目标。
2. 逐一排除错误选项：
选项A：组内离差平方和的大小和每组的数据量没有直接关联，无法实现让每组数据量相等的效果，描述错误。
选项C：追求组内离差平方和最小不会降低计算的复杂度，也不是该要求的设计目的，描述错误。
选项D：分组的意义就是让不同组的特征存在区分，若组间均值相等分组就失去作用，该描述本身不符合分组逻辑，错误。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组；离差平方和
【点评】
本题属于统计学基础概念考察题，核心是考察学生对分组逻辑和离差平方和统计意义的理解，难度较低，需要学生准确区分组内差异、组间差异的设计目标，避免对分组相关性质产生概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先明确组内离差平方和的统计含义：它是组内所有数据与本组均值的离差的平方和，直接衡量组内数据的离散程度。接下来结合统计分组的核心逻辑思考：分组的本质是把特征相近的数据归为同一组，特征差异大的数据分到不同组，要求组内离差平方和最小，就是要让组内数据的离散程度尽可能低，同时对应组间的差异尽可能大。之后再逐一排查其余错误选项，排除不符合逻辑的描述，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先明确核心指标含义：组内离差平方和代表组内数据围绕本组均值的波动大小，要求该值最小，意味着组内数据的离散程度尽可能小，也就是同组内数据差异尽可能小，对应的不同组的数据特征区分度就越高，组间数据差异尽可能大，符合统计分组的核心目标。
2. 逐一排除错误选项：
选项A：组内离差平方和的大小和每组的数据量没有直接关联，无法实现让每组数据量相等的效果，描述错误。
选项C：追求组内离差平方和最小不会降低计算的复杂度，也不是该要求的设计目的，描述错误。
选项D：分组的意义就是让不同组的特征存在区分，若组间均值相等分组就失去作用，该描述本身不符合分组逻辑，错误。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组；离差平方和
【点评】
本题属于统计学基础概念考察题，核心是考察学生对分组逻辑和离差平方和统计意义的理解，难度较低，需要学生准确区分组内差异、组间差异的设计目标，避免对分组相关性质产生概念混淆。
【难度系数】
0.8
3. 将数据 34,23,21,56,61,57,83,25 分成两组,以便找到组内离差平方和最小的分组方法,那么分法有（
A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种
B
）A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种
答案
3.B
解析
【分析】
要找到组内离差平方和最小的二分分组，首先要明确核心性质：单变量数据集的最小组内离差平方和分组，一定是将数据排序后的连续子序列分组，不可能出现数值穿插的分组，否则组内离差平方和会更大。我们先把给定的全部数据从小到大排序，再统计相邻数据之间的合法切分位置总数，每个切分位置就对应一种符合要求的分组，即可得到总数量。
【解析】
步骤1：将题目给出的8个原始数据从小到大排序，得到有序序列：21,23,25,34,56,57,61,83。
步骤2：由于要划分出两个非空组，且最优分组必须是排序后的连续两段，因此切分位置只能选在相邻两个数据之间。
步骤3：8个有序数据的相邻间隔总共有8-1=7个，每个间隔对应唯一的一种满足组内离差平方和最小的分组方式，因此符合要求的分法共7种。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，有序样本分组
【点评】
本题不需要实际计算各组的离差平方和，重点考察对最小组内离差平方和二分性质的理解，跳出“枚举所有子集分组”的错误思路，利用连续切分的规律即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
要找到组内离差平方和最小的二分分组，首先要明确核心性质：单变量数据集的最小组内离差平方和分组，一定是将数据排序后的连续子序列分组，不可能出现数值穿插的分组，否则组内离差平方和会更大。我们先把给定的全部数据从小到大排序，再统计相邻数据之间的合法切分位置总数，每个切分位置就对应一种符合要求的分组，即可得到总数量。
【解析】
步骤1：将题目给出的8个原始数据从小到大排序，得到有序序列：21,23,25,34,56,57,61,83。
步骤2：由于要划分出两个非空组，且最优分组必须是排序后的连续两段，因此切分位置只能选在相邻两个数据之间。
步骤3：8个有序数据的相邻间隔总共有8-1=7个，每个间隔对应唯一的一种满足组内离差平方和最小的分组方式，因此符合要求的分法共7种。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，有序样本分组
【点评】
本题不需要实际计算各组的离差平方和，重点考察对最小组内离差平方和二分性质的理解，跳出“枚举所有子集分组”的错误思路，利用连续切分的规律即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
4. 若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需
（
A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
（
B
）A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
答案
4.B
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确核心考察的是组内离差平方和的计算规则，先回忆相关定义：组内离差平方和是用来衡量所有分组内部数据整体离散程度的统计量，当把排序后的全量数据划分为多个组时，总组内离差平方和需要把每一个分组自身的组内离差平方和全部累加，才能反映所有组内部的总离散情况。之后逐个比对选项，排除不符合定义的错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
第一步：明确总组内离差平方和的定义，将全部数据划分为若干组后，总组内离差平方和的计算逻辑是：先分别计算每一个组内部所有数据与该组均值的离差平方和，再将所有分组的计算结果相加，得到的总和就是总组内离差平方和。
第二步：逐一分析选项：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，遗漏了第二组的组内离散情况，不符合总组内离差平方和的计算要求，错误。
选项B：计算两组离差平方和的总和，完全符合总组内离差平方和的计算规则，正确。
选项C：最大值与最小值的差是极差的计算方法，和离差平方和的计算逻辑完全无关，错误。
选项D：计算两组离差平方和的平均数，得到的是平均每组的组内离差平方和，并非题目要求的总组内离差平方和，错误。
【答案】B
【知识点】
组内离差平方和，离散程度统计
【点评】
本题属于统计学基础概念考察题，核心是区分组内离差平方和、极差等不同统计量的计算逻辑，易错点是混淆总组内离差平方和与单组离差平方和、平均组内离差平方和的差异，准确识记概念即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要明确核心考察的是组内离差平方和的计算规则，先回忆相关定义：组内离差平方和是用来衡量所有分组内部数据整体离散程度的统计量，当把排序后的全量数据划分为多个组时，总组内离差平方和需要把每一个分组自身的组内离差平方和全部累加，才能反映所有组内部的总离散情况。之后逐个比对选项，排除不符合定义的错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
第一步：明确总组内离差平方和的定义，将全部数据划分为若干组后，总组内离差平方和的计算逻辑是：先分别计算每一个组内部所有数据与该组均值的离差平方和，再将所有分组的计算结果相加，得到的总和就是总组内离差平方和。
第二步：逐一分析选项：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，遗漏了第二组的组内离散情况，不符合总组内离差平方和的计算要求，错误。
选项B：计算两组离差平方和的总和，完全符合总组内离差平方和的计算规则，正确。
选项C：最大值与最小值的差是极差的计算方法，和离差平方和的计算逻辑完全无关，错误。
选项D：计算两组离差平方和的平均数，得到的是平均每组的组内离差平方和，并非题目要求的总组内离差平方和，错误。
【答案】B
【知识点】
组内离差平方和，离散程度统计
【点评】
本题属于统计学基础概念考察题，核心是区分组内离差平方和、极差等不同统计量的计算逻辑，易错点是混淆总组内离差平方和与单组离差平方和、平均组内离差平方和的差异，准确识记概念即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
5. 在引体向上测试中,5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12. 要使个数相差较小的同学分在一组,如下表是4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则,把这5名同学引体向上的个数分为两组,下列分组正确的是（
A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
根据组内离差平方和最小原则,把这5名同学引体向上的个数分为两组,下列分组正确的是（
B
）A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
答案
5.B
解析
【分析】
这道题的核心判定规则是“组内离差平方和最小”，解题时不需要自行计算离差平方和，首先直接从给定的表格中提取4种分组对应的组内离差平方和的数值，再对比这四个数值的大小，找到其中最小的数值，该数值对应的分组就是符合要求的分组，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先从表格中读取所有分组对应的组内离差平方和：
1. 分组$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$，对应组内离差平方和为18.8
2. 分组$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$，对应组内离差平方和为6.7
3. 分组$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$，对应组内离差平方和为14.7
4. 分组$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$，对应组内离差平方和为22.8
对比四个数值大小：$6.7 ＜ 14.7 ＜ 18.8 ＜ 22.8$，最小的组内离差平方和为6.7，对应的分组就是$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组，离差平方和
【点评】
本题结合实际体育测试场景考查统计概念的应用，没有设置复杂计算，重点考查学生对题目给定规则的理解能力和数据读取对比能力，引导学生理解统计量的实际意义，区分不同分组的组内数据差异程度。
【难度系数】
0.9
这道题的核心判定规则是“组内离差平方和最小”，解题时不需要自行计算离差平方和，首先直接从给定的表格中提取4种分组对应的组内离差平方和的数值，再对比这四个数值的大小，找到其中最小的数值，该数值对应的分组就是符合要求的分组，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先从表格中读取所有分组对应的组内离差平方和：
1. 分组$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$，对应组内离差平方和为18.8
2. 分组$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$，对应组内离差平方和为6.7
3. 分组$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$，对应组内离差平方和为14.7
4. 分组$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$，对应组内离差平方和为22.8
对比四个数值大小：$6.7 ＜ 14.7 ＜ 18.8 ＜ 22.8$，最小的组内离差平方和为6.7，对应的分组就是$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组，离差平方和
【点评】
本题结合实际体育测试场景考查统计概念的应用，没有设置复杂计算，重点考查学生对题目给定规则的理解能力和数据读取对比能力，引导学生理解统计量的实际意义，区分不同分组的组内数据差异程度。
【难度系数】
0.9
6. 若一组数据 $x_{1},x_{2},··· ,x_{10}$ 的方差为 16 , 则这组数据的离差平方和为
160
.答案
6.160
解析
【分析】
我们首先要回忆方差的核心定义：方差是一组数据的离差平方和除以数据的总个数得到的结果。题目已经给出这组数据共10个，方差为16，只需要对方差的定义公式做简单变形，用方差乘以数据总个数，就能直接求出离差平方和，解题时要注意区分总体方差和样本方差的计算规则，本题给出的是整组数据的方差，属于总体方差，分母为数据总个数n，不需要使用n-1计算。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据总体方差的定义，有：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$就是该组数据的离差平方和，已知数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，对公式变形可得：
离差平方和$=n · s^2 = 10 × 16 = 160$
【答案】
160
【知识点】
方差定义，离差平方和
【点评】
本题是统计学的基础概念类题目，无复杂运算，核心考察对方差定义的理解，易错点是误将本题的总体方差当作样本方差，错用分母为n-1的公式算出错误结果144，只要准确区分两类方差的适用场景就可以轻松得分。
【难度系数】
0.8
我们首先要回忆方差的核心定义：方差是一组数据的离差平方和除以数据的总个数得到的结果。题目已经给出这组数据共10个，方差为16，只需要对方差的定义公式做简单变形，用方差乘以数据总个数，就能直接求出离差平方和，解题时要注意区分总体方差和样本方差的计算规则，本题给出的是整组数据的方差，属于总体方差，分母为数据总个数n，不需要使用n-1计算。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据总体方差的定义，有：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$就是该组数据的离差平方和，已知数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，对公式变形可得：
离差平方和$=n · s^2 = 10 × 16 = 160$
【答案】
160
【知识点】
方差定义，离差平方和
【点评】
本题是统计学的基础概念类题目，无复杂运算，核心考察对方差定义的理解，易错点是误将本题的总体方差当作样本方差，错用分母为n-1的公式算出错误结果144，只要准确区分两类方差的适用场景就可以轻松得分。
【难度系数】
0.8
7. 把数据 0,6,8,2,10 按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.0 为一组，2,6,8,10 为一组
B.0,2 为一组，6,8,10 为一组
C.0,2,6 为一组，8,10 为一组
D.0,2,6,8 为一组，10 为一组
B
）A.0 为一组，2,6,8,10 为一组
B.0,2 为一组，6,8,10 为一组
C.0,2,6 为一组，8,10 为一组
D.0,2,6,8 为一组，10 为一组
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心思路：组内离差平方和的定义是每组内所有数据与该组均值的差的平方和，总组内离差平方和是两个分组的离差平方和相加。对于已经按从小到大排序的数值序列，要得到最小的组内离差平方和，最优分组必然是连续的有序分段，因此我们只需要分别计算四个选项对应的总组内离差平方和，对比数值大小，找到最小值对应的选项即可。
【解析】
我们逐一计算每个选项的总组内离差平方和：
1. 选项A：
第一组仅含数据0，组内离差平方和$S_1=0$；
第二组数据为2,6,8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{2+6+8+10}{4}=6.5$，
组内离差平方和$S_2=(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$，
总组内离差平方和$S_A=0+35=35$。
2. 选项B：
第一组数据为0,2，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2}{2}=1$，
组内离差平方和$S_1=(0-1)^2+(2-1)^2=1+1=2$；
第二组数据为6,8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{6+8+10}{3}=8$，
组内离差平方和$S_2=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=4+0+4=8$，
总组内离差平方和$S_B=2+8=10$。
3. 选项C：
第一组数据为0,2,6，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2+6}{3}=\frac{8}{3}$，
组内离差平方和$S_1=(0-\frac{8}{3})^2+(2-\frac{8}{3})^2+(6-\frac{8}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}\approx18.67$；
第二组数据为8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{8+10}{2}=9$，
组内离差平方和$S_2=(8-9)^2+(10-9)^2=1+1=2$，
总组内离差平方和$S_C\approx18.67+2=20.67$。
4. 选项D：
第一组数据为0,2,6,8，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2+6+8}{4}=4$，
组内离差平方和$S_1=(0-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2+(8-4)^2=16+4+4+16=40$；
第二组仅含数据10，组内离差平方和$S_2=0$，
总组内离差平方和$S_D=40+0=40$。
对比四个结果：$S_B=10$是最小值，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和计算；有序数据分段
【点评】
本题核心考察组内离差平方和的基础定义与计算，不需要复杂的推导，只要掌握离差平方和的计算规则，逐个验证选项即可得到正确结果，同时也隐含了“有序数据最优分组必然是连续分段”的统计思想，是聚类分析里有序样本分割的基础入门题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心思路：组内离差平方和的定义是每组内所有数据与该组均值的差的平方和，总组内离差平方和是两个分组的离差平方和相加。对于已经按从小到大排序的数值序列，要得到最小的组内离差平方和，最优分组必然是连续的有序分段，因此我们只需要分别计算四个选项对应的总组内离差平方和，对比数值大小，找到最小值对应的选项即可。
【解析】
我们逐一计算每个选项的总组内离差平方和：
1. 选项A：
第一组仅含数据0，组内离差平方和$S_1=0$；
第二组数据为2,6,8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{2+6+8+10}{4}=6.5$，
组内离差平方和$S_2=(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$，
总组内离差平方和$S_A=0+35=35$。
2. 选项B：
第一组数据为0,2，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2}{2}=1$，
组内离差平方和$S_1=(0-1)^2+(2-1)^2=1+1=2$；
第二组数据为6,8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{6+8+10}{3}=8$，
组内离差平方和$S_2=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=4+0+4=8$，
总组内离差平方和$S_B=2+8=10$。
3. 选项C：
第一组数据为0,2,6，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2+6}{3}=\frac{8}{3}$，
组内离差平方和$S_1=(0-\frac{8}{3})^2+(2-\frac{8}{3})^2+(6-\frac{8}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}\approx18.67$；
第二组数据为8,10，组均值$\bar{x}_2=\frac{8+10}{2}=9$，
组内离差平方和$S_2=(8-9)^2+(10-9)^2=1+1=2$，
总组内离差平方和$S_C\approx18.67+2=20.67$。
4. 选项D：
第一组数据为0,2,6,8，组均值$\bar{x}_1=\frac{0+2+6+8}{4}=4$，
组内离差平方和$S_1=(0-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2+(8-4)^2=16+4+4+16=40$；
第二组仅含数据10，组内离差平方和$S_2=0$，
总组内离差平方和$S_D=40+0=40$。
对比四个结果：$S_B=10$是最小值，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和计算；有序数据分段
【点评】
本题核心考察组内离差平方和的基础定义与计算，不需要复杂的推导，只要掌握离差平方和的计算规则，逐个验证选项即可得到正确结果，同时也隐含了“有序数据最优分组必然是连续分段”的统计思想，是聚类分析里有序样本分割的基础入门题型。
【难度系数】
0.7
8. 已知一组数据 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ 的方差等于 6 , 则另一组数据 $x_{1}+2,x_{2}+2,x_{3}+2,x_{4}+2,x_{5}+2$ 的方差等于
6
，离差平方和等于30
.答案
8.6 30
解析
【分析】
我们可以结合方差的性质和定义逐步推导解题：第一步先判断数据整体平移后方差的变化规律：设原数据的平均数为$\overline{x}$，给每个数据都加2后，新数据的平均数也会对应加2，此时每个新数据与新平均数的差值和原数据与原平均数的差值完全相等，因此方差不会发生改变，直接得到第一空的结果。第二步再根据方差的定义：方差等于所有数据的离差平方和除以数据总个数，反过来用方差乘以数据的总个数，就能算出对应的离差平方和，得到第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=6$
对于新数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$，其平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i+2)=\overline{x}+2$
代入方差公式计算新数据的方差：
$s'^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 [(x_i+2)-\overline{x}']^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=s^2=6$
再根据方差和离差平方和的关系，可得离差平方和为：
$\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=5× s^2=5×6=30$
【答案】
6 30
【知识点】
方差的性质，方差的定义
【点评】
本题属于统计部分的基础题，核心考察方差的平移不变性，容易出现的误区是误以为数据整体加常数后方差也同步加该常数，需要牢记：仅当数据做倍数缩放时方差才会按倍数的平方缩放，整体加减常数不会改变方差的大小，结合方差和离差平方和的数量关系即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
我们可以结合方差的性质和定义逐步推导解题：第一步先判断数据整体平移后方差的变化规律：设原数据的平均数为$\overline{x}$，给每个数据都加2后，新数据的平均数也会对应加2，此时每个新数据与新平均数的差值和原数据与原平均数的差值完全相等，因此方差不会发生改变，直接得到第一空的结果。第二步再根据方差的定义：方差等于所有数据的离差平方和除以数据总个数，反过来用方差乘以数据的总个数，就能算出对应的离差平方和，得到第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=6$
对于新数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$，其平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i+2)=\overline{x}+2$
代入方差公式计算新数据的方差：
$s'^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 [(x_i+2)-\overline{x}']^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=s^2=6$
再根据方差和离差平方和的关系，可得离差平方和为：
$\sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2=5× s^2=5×6=30$
【答案】
6 30
【知识点】
方差的性质，方差的定义
【点评】
本题属于统计部分的基础题，核心考察方差的平移不变性，容易出现的误区是误以为数据整体加常数后方差也同步加该常数，需要牢记：仅当数据做倍数缩放时方差才会按倍数的平方缩放，整体加减常数不会改变方差的大小，结合方差和离差平方和的数量关系即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
