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9. 学校种植园中有4盆相同品种的植物,需要按植物的株高分成两组进行培养,使得同组内植物株高尽量接近,将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组,共有3种情况,计算它们的组内离差平方和结果如下表所示,则4盆植物的最优分组序号是
③
.答案
9.③
解析
【分析】
首先明确本题的核心要求：分组后同组内植物株高尽量接近，也就是要让组内数据的差异尽可能小。我们需要先理解组内离差平方和的含义：它是组内所有数据与本组平均值的差的平方之和，这个数值越小，就代表组内数据的离散程度越小，组内的数值就越接近。接下来只需要对比三个分组对应的组内离差平方和，找到数值最小的那一组，就是符合要求的最优分组。
【解析】
要让同组内植物株高尽量接近，本质是要求分组后组内数据的离散程度最小：
组内离差平方和的统计意义就是反映组内数据的离散程度，离差平方和越小，组内数据的差异越小，同组株高就越接近。
对比三个分组的组内离差平方和：44 ＞ 28 ＞ 16.67，序号③对应的分组的组内离差平方和最小，因此它是最优分组。
【答案】
③
【知识点】
离差平方和，数据离散程度
【点评】
本题结合实际分组场景考察对离差平方和统计意义的理解，无需复杂计算，只要明确离差平方和越小代表组内数据越集中，即可直接得到结果，易错点是混淆离差平方和大小和组内数据集中程度的对应关系。
【难度系数】
0.9
首先明确本题的核心要求：分组后同组内植物株高尽量接近，也就是要让组内数据的差异尽可能小。我们需要先理解组内离差平方和的含义：它是组内所有数据与本组平均值的差的平方之和，这个数值越小，就代表组内数据的离散程度越小，组内的数值就越接近。接下来只需要对比三个分组对应的组内离差平方和，找到数值最小的那一组，就是符合要求的最优分组。
【解析】
要让同组内植物株高尽量接近，本质是要求分组后组内数据的离散程度最小：
组内离差平方和的统计意义就是反映组内数据的离散程度，离差平方和越小，组内数据的差异越小，同组株高就越接近。
对比三个分组的组内离差平方和：44 ＞ 28 ＞ 16.67，序号③对应的分组的组内离差平方和最小，因此它是最优分组。
【答案】
③
【知识点】
离差平方和，数据离散程度
【点评】
本题结合实际分组场景考察对离差平方和统计意义的理解，无需复杂计算，只要明确离差平方和越小代表组内数据越集中，即可直接得到结果，易错点是混淆离差平方和大小和组内数据集中程度的对应关系。
【难度系数】
0.9
10. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小张将一组数据分成了两组$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$，求这两组数据的组内离差平方和.
答案
10. 解:第一组数据: $\overline{x}=\dfrac{2+4}{2}=3$, 离差平方和为 $(2-3)^2+(4-3)^2=2$;
第二组数据: $\overline{x}=\dfrac{8+10+12}{3}=10$, 离差平方和为 $(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$.
故这两组数据的组内离差平方和为 $2+8=10$.
第二组数据: $\overline{x}=\dfrac{8+10+12}{3}=10$, 离差平方和为 $(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$.
故这两组数据的组内离差平方和为 $2+8=10$.
解析
【分析】
要计算两组数据的总组内离差平方和，思路非常清晰：首先明确组内离差平方和的计算规则，对每一个分组，先求出该组数据的算术平均值，再将组内每个数据减去本组均值的差取平方后求和，得到单组的离差平方和，最后把两个分组各自的离差平方和相加，就能得到总的组内离差平方和。我们可以先处理第一组{2,4}，再处理第二组{8,10,12}，最后将两个结果相加即可。
【解析】
第一步：计算第一组数据的离差平方和
第一组数据为{2,4}，先求该组的算术均值：
$\overline{x_1}=\frac{2+4}{2}=3$
第一组的离差平方和为：
$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$
第二步：计算第二组数据的离差平方和
第二组数据为{8,10,12}，先求该组的算术均值：
$\overline{x_2}=\frac{8+10+12}{3}=10$
第二组的离差平方和为：
$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$
第三步：计算总的组内离差平方和
将两组的离差平方和相加，得到总结果：$2+8=10$
【答案】
10
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题是系统聚类中离差平方和法的基础概念计算题，完全围绕组内离差平方和的定义设置考点，没有复杂的变形和陷阱，只要准确理解组内离差平方和的计算逻辑，先分组求均值再算平方和累加，就可以顺利得到结果，属于统计部分的基础送分题。
【难度系数】
0.9
要计算两组数据的总组内离差平方和，思路非常清晰：首先明确组内离差平方和的计算规则，对每一个分组，先求出该组数据的算术平均值，再将组内每个数据减去本组均值的差取平方后求和，得到单组的离差平方和，最后把两个分组各自的离差平方和相加，就能得到总的组内离差平方和。我们可以先处理第一组{2,4}，再处理第二组{8,10,12}，最后将两个结果相加即可。
【解析】
第一步：计算第一组数据的离差平方和
第一组数据为{2,4}，先求该组的算术均值：
$\overline{x_1}=\frac{2+4}{2}=3$
第一组的离差平方和为：
$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$
第二步：计算第二组数据的离差平方和
第二组数据为{8,10,12}，先求该组的算术均值：
$\overline{x_2}=\frac{8+10+12}{3}=10$
第二组的离差平方和为：
$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$
第三步：计算总的组内离差平方和
将两组的离差平方和相加，得到总结果：$2+8=10$
【答案】
10
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题是系统聚类中离差平方和法的基础概念计算题，完全围绕组内离差平方和的定义设置考点，没有复杂的变形和陷阱，只要准确理解组内离差平方和的计算逻辑，先分组求均值再算平方和累加，就可以顺利得到结果，属于统计部分的基础送分题。
【难度系数】
0.9
11. 某环保组织开发了一个 AI 模型,用于识别不同树种的年龄(单位:年),现已收集 6 种树木的年龄数据,并按从小到大的顺序排列为 5,8,12,15,18,35.
工程师需按照组内离差平方和最小的原则将树木分为幼树组和成树组两组.
(1)共有
(2)填写表格(保留整数);
(3)对应分组:
幼树组:
成树组:
工程师需按照组内离差平方和最小的原则将树木分为幼树组和成树组两组.
(1)共有
5
种分组方式;(2)填写表格(保留整数);
(3)对应分组:
幼树组:
$\{5,8,12,15,18\}$
;成树组:
$\{35\}$
.答案
11. (1)5
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
|---------------------------------------|----------------|
| $\{5\},\{8,12,15,18,35\}$ | 433 |
| $\{5,8\},\{12,15,18,35\}$ | 323 |
| $\{5,8,12\},\{15,18,35\}$ | 257 |
| $\{5,8,12,15\},\{18,35\}$ | 203 |
| $\{5,8,12,15,18\},\{35\}$ | 109 |
(3) $\{5,8,12,15,18\}\quad\{35\}$
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
|---------------------------------------|----------------|
| $\{5\},\{8,12,15,18,35\}$ | 433 |
| $\{5,8\},\{12,15,18,35\}$ | 323 |
| $\{5,8,12\},\{15,18,35\}$ | 257 |
| $\{5,8,12,15\},\{18,35\}$ | 203 |
| $\{5,8,12,15,18\},\{35\}$ | 109 |
(3) $\{5,8,12,15,18\}\quad\{35\}$
解析
【分析】
首先梳理清晰解题思路：
1. 第一问：已知6个年龄数据已经按从小到大排序，要分为幼树组和成树组，幼树的年龄必然全部小于成树的年龄，因此分组只能从排序后的数据的间隙处分割，取前k个为幼树组，剩余6-k个为成树组，且每组至少1个元素。6个数据之间共有5个间隙，因此总共有5种合法的分组方式。
2. 第二问：计算每组的组内离差平方和，可使用简化公式：对于任意一组数据，离差平方和=组内所有数据的平方和 - （组内数据和的平方）/组内元素个数，分别计算每一种分组下两个组的离差平方和再相加，结果取整即可。
3. 第三问：对比5种分组的总组内离差平方和，找到数值最小的那一组，就是符合要求的分组。
【解析】
(1) 6个从小到大排列的数据，要分为非空的幼树组和成树组，幼树全部为年龄更小的连续前k个数据，k可取1,2,3,4,5，共5种取值，因此共有5种分组方式。
(2) 分别计算5种分组的组内离差平方和：
① 分组$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$：
第一组仅1个元素，离差平方和为0；第二组和为$8+12+15+18+35=88$，平方和为$8^2+12^2+15^2+18^2+35^2=1982$，离差平方和$=1982 - 88^2/5=433.2$，总离差平方和取整为433。
② 分组$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$：
第一组和为13，平方和为$5^2+8^2=89$，离差平方和$=89 - 13^2/2=4.5$；第二组和为80，平方和为$12^2+15^2+18^2+35^2=1918$，离差平方和$=1918 - 80^2/4=318$，总离差平方和取整为323。
③ 分组$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$：
第一组和为25，平方和为$5^2+8^2+12^2=233$，离差平方和$=233 - 25^2/3≈24.67$；第二组和为68，平方和为$15^2+18^2+35^2=1774$，离差平方和$=1774 - 68^2/3≈232.67$，总离差平方和取整为257。
④ 分组$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$：
第一组和为40，平方和为$5^2+8^2+12^2+15^2=458$，离差平方和$=458 - 40^2/4=58$；第二组和为53，平方和为$18^2+35^2=1549$，离差平方和$=1549 - 53^2/2=144.5$，总离差平方和取整为203。
⑤ 分组$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$：
第二组仅1个元素，离差平方和为0；第一组和为58，平方和为$5^2+8^2+12^2+15^2+18^2=782$，离差平方和$=782 - 58^2/5=109.2$，总离差平方和取整为109。
(3) 对比5个总离差平方和，109是最小值，对应分组幼树组为$\{5,8,12,15,18\}$，成树组为$\{35\}$。
【答案】
(1) 5
(2) 分组依次为$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$对应433；$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$对应323；$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$对应257；$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$对应203；$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$对应109
(3) $\{5,8,12,15,18\}$；$\{35\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序分组
【点评】
本题结合树种年龄分类的实际场景，考察统计基础概念离差平方和的计算，易错点是第一问容易误算分组总数，忽略幼树年龄必然全部小于成树年龄的隐含条件，不需要枚举所有无序二分组合，仅需考虑连续分割的5种情况，计算时使用离差平方和的简化公式可以大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
首先梳理清晰解题思路：
1. 第一问：已知6个年龄数据已经按从小到大排序，要分为幼树组和成树组，幼树的年龄必然全部小于成树的年龄，因此分组只能从排序后的数据的间隙处分割，取前k个为幼树组，剩余6-k个为成树组，且每组至少1个元素。6个数据之间共有5个间隙，因此总共有5种合法的分组方式。
2. 第二问：计算每组的组内离差平方和，可使用简化公式：对于任意一组数据，离差平方和=组内所有数据的平方和 - （组内数据和的平方）/组内元素个数，分别计算每一种分组下两个组的离差平方和再相加，结果取整即可。
3. 第三问：对比5种分组的总组内离差平方和，找到数值最小的那一组，就是符合要求的分组。
【解析】
(1) 6个从小到大排列的数据，要分为非空的幼树组和成树组，幼树全部为年龄更小的连续前k个数据，k可取1,2,3,4,5，共5种取值，因此共有5种分组方式。
(2) 分别计算5种分组的组内离差平方和：
① 分组$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$：
第一组仅1个元素，离差平方和为0；第二组和为$8+12+15+18+35=88$，平方和为$8^2+12^2+15^2+18^2+35^2=1982$，离差平方和$=1982 - 88^2/5=433.2$，总离差平方和取整为433。
② 分组$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$：
第一组和为13，平方和为$5^2+8^2=89$，离差平方和$=89 - 13^2/2=4.5$；第二组和为80，平方和为$12^2+15^2+18^2+35^2=1918$，离差平方和$=1918 - 80^2/4=318$，总离差平方和取整为323。
③ 分组$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$：
第一组和为25，平方和为$5^2+8^2+12^2=233$，离差平方和$=233 - 25^2/3≈24.67$；第二组和为68，平方和为$15^2+18^2+35^2=1774$，离差平方和$=1774 - 68^2/3≈232.67$，总离差平方和取整为257。
④ 分组$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$：
第一组和为40，平方和为$5^2+8^2+12^2+15^2=458$，离差平方和$=458 - 40^2/4=58$；第二组和为53，平方和为$18^2+35^2=1549$，离差平方和$=1549 - 53^2/2=144.5$，总离差平方和取整为203。
⑤ 分组$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$：
第二组仅1个元素，离差平方和为0；第一组和为58，平方和为$5^2+8^2+12^2+15^2+18^2=782$，离差平方和$=782 - 58^2/5=109.2$，总离差平方和取整为109。
(3) 对比5个总离差平方和，109是最小值，对应分组幼树组为$\{5,8,12,15,18\}$，成树组为$\{35\}$。
【答案】
(1) 5
(2) 分组依次为$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$对应433；$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$对应323；$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$对应257；$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$对应203；$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$对应109
(3) $\{5,8,12,15,18\}$；$\{35\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序分组
【点评】
本题结合树种年龄分类的实际场景，考察统计基础概念离差平方和的计算，易错点是第一问容易误算分组总数，忽略幼树年龄必然全部小于成树年龄的隐含条件，不需要枚举所有无序二分组合，仅需考虑连续分割的5种情况，计算时使用离差平方和的简化公式可以大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
12.一家售楼部的6名销售员工10月份销售的住房数量(单位:套)如下:12,10,3,9,6,2,按照“组内离差平方和最小”的原则,将这组数据分成两组.
答案
12. 解: 将数据从小到大排列为 2,3,6,9,10,12,
将这组数据分成两组,共有5种情况,
第一种情况:$\{2\}$ 和 $\{3,6,9,10,12\}$,
第一组1个数据,离差平方和为0,
第二组 5 个数据, 平均数是 $\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为 $(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为 $0+50=50$;
第二种情况:$\{2,3\}$ 和 $\{6,9,10,12\}$,
第一组 2 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为 $(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据, 平均数是 $\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为 $(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$;
第三种情况:$\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$,
第一组 3 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为 $(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据, 平均数是 $\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为 $(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为 $\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$;
第四种情况:$\{2,3,6,9\}$ 和 $\{10,12\}$,
第一组 4 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为 $(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据, 平均数是 $\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为 $(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$;
第五种情况:$\{2,3,6,9,10\}$ 和 $\{12\}$,
第一组 5 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为 $(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组1个数据,离差平方和为0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况, 即 $\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$.
将这组数据分成两组,共有5种情况,
第一种情况:$\{2\}$ 和 $\{3,6,9,10,12\}$,
第一组1个数据,离差平方和为0,
第二组 5 个数据, 平均数是 $\dfrac{3+6+9+10+12}{5}=8$,
离差平方和为 $(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$,
故第一种情况的组内离差平方和为 $0+50=50$;
第二种情况:$\{2,3\}$ 和 $\{6,9,10,12\}$,
第一组 2 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3}{2}=2.5$,
离差平方和为 $(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$,
第二组 4 个数据, 平均数是 $\dfrac{6+9+10+12}{4}=9.25$,
离差平方和为 $(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$,
故第二种情况的组内离差平方和为 $0.5+18.75=19.25$;
第三种情况:$\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$,
第一组 3 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6}{3}=\dfrac{11}{3}$,
离差平方和为 $(2-\dfrac{11}{3})^2+(3-\dfrac{11}{3})^2+(6-\dfrac{11}{3})^2=\dfrac{25}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{49}{9}=\dfrac{26}{3}$,
第二组 3 个数据, 平均数是 $\dfrac{9+10+12}{3}=\dfrac{31}{3}$,
离差平方和为 $(9-\dfrac{31}{3})^2+(10-\dfrac{31}{3})^2+(12-\dfrac{31}{3})^2=\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}=\dfrac{14}{3}$,
故第三种情况的组内离差平方和为 $\dfrac{26}{3}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{40}{3}$;
第四种情况:$\{2,3,6,9\}$ 和 $\{10,12\}$,
第一组 4 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6+9}{4}=5$,
离差平方和为 $(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$,
第二组 2 个数据, 平均数是 $\dfrac{10+12}{2}=11$,
离差平方和为 $(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$,
故第四种情况的组内离差平方和为 $30+2=32$;
第五种情况:$\{2,3,6,9,10\}$ 和 $\{12\}$,
第一组 5 个数据, 平均数是 $\dfrac{2+3+6+9+10}{5}=6$,
离差平方和为 $(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$,
第二组1个数据,离差平方和为0,
故第五种情况的组内离差平方和为 $50+0=50$.
$\because 50＞32＞19.25＞\dfrac{40}{3}$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组为第三种情况, 即 $\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确按组内离差平方和最小原则对数值数据分两组时，最优分组一定是排序后相邻数据的切分组合，不会出现交叉分组的情况，因此第一步先将原始数据从小到大排序，避免无效枚举。2. 6个排序后的数据共有5个可切分的位置，对应5种不同的二分组方案。3. 对每一种分组方案，先分别计算两个组的平均数，再分别计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），将两组的离差平方和相加得到该方案的总组内离差平方和。4. 对比5种方案的总离差平方和，找到数值最小的对应的分组，就是所求的结果。
【解析】
第一步：将原始数据从小到大排序，得到序列：2,3,6,9,10,12
排序后6个数据共有5个相邻切分点，对应全部5种二分组情况，逐一计算总组内离差平方和：
1. 第一种分组：$\{2\}$ 和 $\{3,6,9,10,12\}$
单元素组离差平方和为0；第二组平均数为$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，其离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$，总组内离差平方和为$0+50=50$。
2. 第二种分组：$\{2,3\}$ 和 $\{6,9,10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；第二组平均数为$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$，总组内离差平方和为$0.5+18.75=19.25$。
3. 第三种分组：$\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{25}{9}+\frac{4}{9}+\frac{49}{9}=\frac{26}{3}$；第二组平均数为$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}=\frac{14}{3}$，总组内离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}$。
4. 第四种分组：$\{2,3,6,9\}$ 和 $\{10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$；第二组平均数为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，总组内离差平方和为$30+2=32$。
5. 第五种分组：$\{2,3,6,9,10\}$ 和 $\{12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$；单元素组离差平方和为0，总组内离差平方和为$50+0=50$。
对比所有总离差平方和：$50＞32＞19.25＞\frac{40}{3}$，可知第三种分组的组内离差平方和最小。
【答案】
符合要求的分组为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序数据分组
【点评】
本题属于有序样本最优分组的基础题型，核心是理解组内离差平方和的定义，无需复杂聚类算法，仅需先排序枚举所有合法的相邻二分组，逐一计算对比即可得到结果，解题时要注意小数、分数运算的准确性，避免计算失误导致最终分组判断错误。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：1. 首先明确按组内离差平方和最小原则对数值数据分两组时，最优分组一定是排序后相邻数据的切分组合，不会出现交叉分组的情况，因此第一步先将原始数据从小到大排序，避免无效枚举。2. 6个排序后的数据共有5个可切分的位置，对应5种不同的二分组方案。3. 对每一种分组方案，先分别计算两个组的平均数，再分别计算每组的离差平方和（组内每个数据与组平均数的差的平方之和），将两组的离差平方和相加得到该方案的总组内离差平方和。4. 对比5种方案的总离差平方和，找到数值最小的对应的分组，就是所求的结果。
【解析】
第一步：将原始数据从小到大排序，得到序列：2,3,6,9,10,12
排序后6个数据共有5个相邻切分点，对应全部5种二分组情况，逐一计算总组内离差平方和：
1. 第一种分组：$\{2\}$ 和 $\{3,6,9,10,12\}$
单元素组离差平方和为0；第二组平均数为$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，其离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$，总组内离差平方和为$0+50=50$。
2. 第二种分组：$\{2,3\}$ 和 $\{6,9,10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；第二组平均数为$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$，总组内离差平方和为$0.5+18.75=19.25$。
3. 第三种分组：$\{2,3,6\}$ 和 $\{9,10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{25}{9}+\frac{4}{9}+\frac{49}{9}=\frac{26}{3}$；第二组平均数为$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}=\frac{14}{3}$，总组内离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}$。
4. 第四种分组：$\{2,3,6,9\}$ 和 $\{10,12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$；第二组平均数为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，总组内离差平方和为$30+2=32$。
5. 第五种分组：$\{2,3,6,9,10\}$ 和 $\{12\}$
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$；单元素组离差平方和为0，总组内离差平方和为$50+0=50$。
对比所有总离差平方和：$50＞32＞19.25＞\frac{40}{3}$，可知第三种分组的组内离差平方和最小。
【答案】
符合要求的分组为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序数据分组
【点评】
本题属于有序样本最优分组的基础题型，核心是理解组内离差平方和的定义，无需复杂聚类算法，仅需先排序枚举所有合法的相邻二分组，逐一计算对比即可得到结果，解题时要注意小数、分数运算的准确性，避免计算失误导致最终分组判断错误。
【难度系数】
0.4
13. 现有5个数据:2,4,5,6,10,需将其分成3组(每组至少1个数据),根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分?
答案
13. 解: 由题意, 数据 2,4,5,6,10, 共有 5 个数据, 分成 3 组(每组至少 1 个数据), 只有两种分组形式:$(1,1,3)$ 和 $(1,2,2)$.
$\because$ 离差平方和: 单个数据为 0 , 数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$ 或 $\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$ 时,
第二组数据的平均数为 $\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为 $(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$;
当分组为 $\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$ 时,
第一组数据的平均数为 $\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为 $(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为 $\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为 $(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
$\because$ 离差平方和: 单个数据为 0 , 数据越集中、差值越小,离差平方和越小,
$\therefore$ 可分为 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$ 或 $\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$.
当分组为 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$ 时,
第二组数据的平均数为 $\dfrac{4+5+6}{3}=5$,
离差平方和为 $(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$.
所以组内离差平方和为 $0+2+0=2$;
当分组为 $\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$ 时,
第一组数据的平均数为 $\dfrac{2+4}{2}=3$,
离差平方和为 $(2-3)^2+(4-3)^2=2$,
第二组数据的平均数为 $\dfrac{5+6}{2}=5.5$,
离差平方和为 $(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$,
所以组内离差平方和为 $2+0.5+0=2.5$.
$\because 2＜2.5$,
$\therefore$ 组内离差平方和最小的分组是 $\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$.
解析
【分析】
首先梳理解题思路：第一步，5个数据分为3组且每组至少1个数据，先推导所有可能的元素数量分布，仅存在(1,1,3)和(1,2,2)两种情况；第二步，由于给定数据已经从小到大排序，离差平方和的特性是组内数值越接近、差值越小，计算得到的离差平方和就越小，因此不需要打乱数据顺序分组，仅需考虑相邻数据归为一组的情况即可大幅减少计算量；第三步，单个数据构成的组的离差平方和为0，我们分别计算两类分布下候选分组的总组内离差平方和，对比数值大小，最终选出平方和最小的分组即可。
【解析】
1. 确定分组的元素数量分布
5个数据分3组，每组至少1个数据，仅存在两种元素个数组合：(1,1,3)和(1,2,2)。
2. 筛选候选分组并计算总离差平方和
离差平方和反映组内数据的离散程度，组内数据越集中、数值差越小，离差平方和越小，因此排序后的有序数据仅需考虑相邻数组合的分组：
对应(1,1,3)分布的最优候选分组为$\{2\}, \{4,5,6\}, \{10\}$：
两个单元素组的离差平方和均为0，包含3个元素的组平均数为$\frac{4+5+6}{3}=5$，该组离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$，总组内离差平方和为$0+2+0=2$。
对应(1,2,2)分布的最优候选分组为$\{2,4\}, \{5,6\}, \{10\}$：
单元素组的离差平方和为0，包含2个元素的第一组平均数为$\frac{2+4}{2}=3$，该组离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；包含2个元素的第二组平均数为$\frac{5+6}{2}=5.5$，该组离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$，总组内离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
3. 对比结果
由于$2＜2.5$，因此前者的分组总组内离差平方和更小。
【答案】
满足组内离差平方和最小的分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序样本分组
【点评】
本题考查统计中基于离差平方和最小原则的分组问题，核心是利用排序后相邻数据离散程度更低的特点，避免穷举所有无效分组，大幅简化运算，帮助学生理解离差平方和的实际含义，掌握有序数据最优分组的简化思路。
【难度系数】
0.6
首先梳理解题思路：第一步，5个数据分为3组且每组至少1个数据，先推导所有可能的元素数量分布，仅存在(1,1,3)和(1,2,2)两种情况；第二步，由于给定数据已经从小到大排序，离差平方和的特性是组内数值越接近、差值越小，计算得到的离差平方和就越小，因此不需要打乱数据顺序分组，仅需考虑相邻数据归为一组的情况即可大幅减少计算量；第三步，单个数据构成的组的离差平方和为0，我们分别计算两类分布下候选分组的总组内离差平方和，对比数值大小，最终选出平方和最小的分组即可。
【解析】
1. 确定分组的元素数量分布
5个数据分3组，每组至少1个数据，仅存在两种元素个数组合：(1,1,3)和(1,2,2)。
2. 筛选候选分组并计算总离差平方和
离差平方和反映组内数据的离散程度，组内数据越集中、数值差越小，离差平方和越小，因此排序后的有序数据仅需考虑相邻数组合的分组：
对应(1,1,3)分布的最优候选分组为$\{2\}, \{4,5,6\}, \{10\}$：
两个单元素组的离差平方和均为0，包含3个元素的组平均数为$\frac{4+5+6}{3}=5$，该组离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=2$，总组内离差平方和为$0+2+0=2$。
对应(1,2,2)分布的最优候选分组为$\{2,4\}, \{5,6\}, \{10\}$：
单元素组的离差平方和为0，包含2个元素的第一组平均数为$\frac{2+4}{2}=3$，该组离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；包含2个元素的第二组平均数为$\frac{5+6}{2}=5.5$，该组离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.5$，总组内离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
3. 对比结果
由于$2＜2.5$，因此前者的分组总组内离差平方和更小。
【答案】
满足组内离差平方和最小的分组为$\{2\},\{4,5,6\},\{10\}$
【知识点】
离差平方和计算，有序样本分组
【点评】
本题考查统计中基于离差平方和最小原则的分组问题，核心是利用排序后相邻数据离散程度更低的特点，避免穷举所有无效分组，大幅简化运算，帮助学生理解离差平方和的实际含义，掌握有序数据最优分组的简化思路。
【难度系数】
0.6
