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1. (教材例题变式)若圆锥侧面展开图的面积是$15π$,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是
（
A.3
B.4
C.5
D.6
（
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. A 解析:设底面半径为R,则底面周长C=2πR,圆锥的侧面展开图的面积$S_{侧}=\frac{1}{2}×2πR×5=15π,∴R=3.$
解析
【分析】
本题考查圆锥侧面积的相关计算，解题思路是：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。已知侧面展开图的面积（即扇形面积）和母线长，设底面半径为$R$，先表示出底面周长（即扇形弧长），再利用扇形面积公式（或圆锥侧面积公式）列出方程，求解即可得到底面半径。
【解析】
设这个圆锥的底面半径为$R$，则圆锥底面的周长$C = 2π R$，圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于底面周长，母线长$l = 5$为扇形的半径。根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{母线长}$，代入已知$S_{侧}=15π$，可得：
$\frac{1}{2}×2π R×5 = 15π$
化简得：$5π R = 15π$
两边同时除以$5π$，解得$R = 3$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算、扇形面积公式
【点评】
本题是教材例题的基础变式题，主要考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是明确圆锥侧面展开图与圆锥各元素的对应关系，解题过程直接，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查圆锥侧面积的相关计算，解题思路是：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。已知侧面展开图的面积（即扇形面积）和母线长，设底面半径为$R$，先表示出底面周长（即扇形弧长），再利用扇形面积公式（或圆锥侧面积公式）列出方程，求解即可得到底面半径。
【解析】
设这个圆锥的底面半径为$R$，则圆锥底面的周长$C = 2π R$，圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于底面周长，母线长$l = 5$为扇形的半径。根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{母线长}$，代入已知$S_{侧}=15π$，可得：
$\frac{1}{2}×2π R×5 = 15π$
化简得：$5π R = 15π$
两边同时除以$5π$，解得$R = 3$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算、扇形面积公式
【点评】
本题是教材例题的基础变式题，主要考查圆锥侧面积公式的应用，解题关键是明确圆锥侧面展开图与圆锥各元素的对应关系，解题过程直接，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. (2025·广安)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$90°$的扇形.若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为（
A.$\dfrac{5}{4}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.5
A
）A.$\dfrac{5}{4}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.5
答案
2. A 解析:设圆锥的底面圆的半径为r. 根据题意,得$2πr=\frac{90π×5}{180}$,解得$r=\frac{5}{4},∴$该圆锥的底面圆的半径为$\frac{5}{4}.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们先设底面圆的半径为$ r $，再分别用弧长公式和圆周长公式表示出扇形弧长与底面周长，根据两者相等列方程求解即可。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $。
圆锥的侧面展开图是圆心角为$ 90° $、母线长为5的扇形，根据弧长公式，扇形弧长为$\frac{nπ l}{180}$（$ n $为圆心角度数，$ l $为母线长），因此该扇形弧长为$\frac{90π × 5}{180}$。
圆锥底面圆的周长为$ 2π r $，由侧面展开扇形弧长等于底面圆周长，可得方程：
$2π r = \frac{90π × 5}{180}$
化简计算：
右边$\frac{450π}{180} = \frac{5π}{2}$，方程变为$2π r = \frac{5π}{2}$，两边同除以$π$得$2r = \frac{5}{2}$，解得$r = \frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础计算，核心是利用“侧面展开扇形弧长等于底面圆周长”的关系，属于常规基础题，需熟练掌握弧长公式与圆周长公式的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们先设底面圆的半径为$ r $，再分别用弧长公式和圆周长公式表示出扇形弧长与底面周长，根据两者相等列方程求解即可。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $。
圆锥的侧面展开图是圆心角为$ 90° $、母线长为5的扇形，根据弧长公式，扇形弧长为$\frac{nπ l}{180}$（$ n $为圆心角度数，$ l $为母线长），因此该扇形弧长为$\frac{90π × 5}{180}$。
圆锥底面圆的周长为$ 2π r $，由侧面展开扇形弧长等于底面圆周长，可得方程：
$2π r = \frac{90π × 5}{180}$
化简计算：
右边$\frac{450π}{180} = \frac{5π}{2}$，方程变为$2π r = \frac{5π}{2}$，两边同除以$π$得$2r = \frac{5}{2}$，解得$r = \frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础计算，核心是利用“侧面展开扇形弧长等于底面圆周长”的关系，属于常规基础题，需熟练掌握弧长公式与圆周长公式的应用。
【难度系数】
0.6
3. 如图,用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计).若该圆锥的底面圆周长为$15π\ \mathrm{cm}$,母线长为$20\ \mathrm{cm}$,则这个扇形的圆心角的度数是（
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$160°$
B
）A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
3. B 解析:设这个扇形的圆心角为$n°. ∵$圆锥的底面圆周长是$15π \ \mathrm{cm},∴$该扇形纸片的弧长为$15π \ \mathrm{cm},∴\frac{nπ×20}{180}=15π$,解得$n=135.$
解析
【分析】
本题的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合扇形弧长公式即可求解。解题时，先明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，再代入弧长公式列方程计算圆心角。
【解析】
设这个扇形的圆心角为$ n° $。
因为用扇形围成无底盖的圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，已知圆锥底面圆周长为$ 15π \ \mathrm{cm} $，所以扇形的弧长为$ 15π \ \mathrm{cm} $。
扇形弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（其中$ R $为扇形半径，本题中扇形半径等于圆锥母线长$ 20\ \mathrm{cm} $），代入已知条件得：
$ \frac{nπ × 20}{180} = 15π $
两边同时除以$ π $，化简得：$ \frac{20n}{180} = 15 $，进一步计算得$ n = 135 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，以及弧长公式的应用，解题关键是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一性质，难度较低。
【难度系数】
0.6
本题的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合扇形弧长公式即可求解。解题时，先明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，再代入弧长公式列方程计算圆心角。
【解析】
设这个扇形的圆心角为$ n° $。
因为用扇形围成无底盖的圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，已知圆锥底面圆周长为$ 15π \ \mathrm{cm} $，所以扇形的弧长为$ 15π \ \mathrm{cm} $。
扇形弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（其中$ R $为扇形半径，本题中扇形半径等于圆锥母线长$ 20\ \mathrm{cm} $），代入已知条件得：
$ \frac{nπ × 20}{180} = 15π $
两边同时除以$ π $，化简得：$ \frac{20n}{180} = 15 $，进一步计算得$ n = 135 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，以及弧长公式的应用，解题关键是牢记“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一性质，难度较低。
【难度系数】
0.6
4. (2024·绥化)用一个圆心角为$126^{\circ }$、半径为 10 cm 的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为
$\dfrac{7}{2}$
cm.答案
4. $\frac{7}{2}$ 解析:扇形的弧长为$\frac{126π×10}{180}=7π(\mathrm{cm})$,故圆锥的底面半径为$7π÷2π=\frac{7}{2}(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确核心关系：扇形作为圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路为：①利用扇形弧长公式计算给定扇形的弧长；②根据圆锥底面周长等于扇形弧长的关系，求出底面圆的半径。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=126°，R=10cm，得弧长 $ l = \frac{126π × 10}{180} = 7π \, \mathrm{cm} $。
2. 求圆锥底面圆半径：圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，设底面圆半径为r，根据圆周长公式 $ C = 2π r $，可得 $ 2π r = 7π $，两边同时除以π，得 $ 2r =7 $，解得 $ r = \frac{7}{2} \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形弧长的关系，属于基础题型，关键是掌握“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心关系，计算过程简单，易得分。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需明确核心关系：扇形作为圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路为：①利用扇形弧长公式计算给定扇形的弧长；②根据圆锥底面周长等于扇形弧长的关系，求出底面圆的半径。
【解析】
1. 计算扇形的弧长：根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=126°，R=10cm，得弧长 $ l = \frac{126π × 10}{180} = 7π \, \mathrm{cm} $。
2. 求圆锥底面圆半径：圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，设底面圆半径为r，根据圆周长公式 $ C = 2π r $，可得 $ 2π r = 7π $，两边同时除以π，得 $ 2r =7 $，解得 $ r = \frac{7}{2} \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形弧长的关系，属于基础题型，关键是掌握“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心关系，计算过程简单，易得分。
【难度系数】
0.7
5. (2024·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
5. $\sqrt{15}$ 解析:设圆锥的母线长为$l \ \mathrm{cm}. ∵$圆锥的底面半径是$1 \ \mathrm{cm},∴$圆锥的底面周长是$2π \ \mathrm{cm}$,即侧面展开图扇形的弧长是$2π \ \mathrm{cm}$,则$\frac{90πl}{180}=2π$,解得$l=4,∴$圆锥的高为$\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
要解决该问题，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长；圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，可通过勾股定理计算高。首先根据底面半径算出底面周长（即侧面扇形弧长），结合已知的圆心角（直角=90°），用弧长公式求出母线长，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \ \mathrm{cm} $。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$ r = 1 \ \mathrm{cm} $，根据圆的周长公式，底面周长为$ 2π r = 2π × 1 = 2π \ \mathrm{cm} $，该周长等于侧面展开图扇形的弧长。
2. 求母线长：侧面展开图圆心角为90°，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），代入弧长$ 2π $得：$ \frac{90π l}{180} = 2π $，化简得$ \frac{π l}{2} = 2π $，两边同除以$ π $，解得$ l = 4 \ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $，代入$ l = 4 $、$ r = 1 $得：$ h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15} \ \mathrm{cm} $。
【答案】
$ \sqrt{15} $
【知识点】
圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥的基础性质，核心是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长”和“圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形”，属于常规基础题型，牢记公式即可解答。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长；圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，可通过勾股定理计算高。首先根据底面半径算出底面周长（即侧面扇形弧长），结合已知的圆心角（直角=90°），用弧长公式求出母线长，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \ \mathrm{cm} $。
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$ r = 1 \ \mathrm{cm} $，根据圆的周长公式，底面周长为$ 2π r = 2π × 1 = 2π \ \mathrm{cm} $，该周长等于侧面展开图扇形的弧长。
2. 求母线长：侧面展开图圆心角为90°，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），代入弧长$ 2π $得：$ \frac{90π l}{180} = 2π $，化简得$ \frac{π l}{2} = 2π $，两边同除以$ π $，解得$ l = 4 \ \mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理$ h = \sqrt{l^2 - r^2} $，代入$ l = 4 $、$ r = 1 $得：$ h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15} \ \mathrm{cm} $。
【答案】
$ \sqrt{15} $
【知识点】
圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥的基础性质，核心是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长”和“圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形”，属于常规基础题型，牢记公式即可解答。
【难度系数】
0.6
6. (2024·黑龙江)若圆锥的底面半径为 3,侧面积为$36π$,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是
$90°$
.答案
6. $90°$ 解析:设圆锥的母线长为$l$,圆锥侧面展开图的圆心角是$n°. ∵$侧面积为$36π,∴π×3×l=36π$,解得$l=12,∴$扇形面积为$36π=\frac{nπ×12^2}{360}$,解得$n=90.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，利用圆锥侧面积公式求出母线长；第二步，结合侧面展开图（扇形）的面积公式计算圆心角。需明确：圆锥侧面积等于其侧面展开后扇形的面积，圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），扇形面积公式为$S=\frac{nπR^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径，此处$R=l$）。
【解析】
设圆锥的母线长为$l$，侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 求母线长：已知圆锥底面半径$r=3$，侧面积$S_{侧}=36π$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入得：
$π×3×l=36π$，两边约去$π$，解得$l=12$。
2. 求圆心角：圆锥侧面展开图为扇形，其面积等于圆锥侧面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπl^2}{360}$，代入$S=36π$、$l=12$得：
$36π=\frac{nπ×12^2}{360}$，化简右边得$\frac{2nπ}{5}$，约去$π$后解得$n=90$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆锥侧面积公式、扇形面积公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的圆心角计算，核心是掌握圆锥侧面积与侧面展开扇形面积的等量关系，属于基础计算题，需熟练运用相关公式。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需分两步推导：第一步，利用圆锥侧面积公式求出母线长；第二步，结合侧面展开图（扇形）的面积公式计算圆心角。需明确：圆锥侧面积等于其侧面展开后扇形的面积，圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），扇形面积公式为$S=\frac{nπR^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径，此处$R=l$）。
【解析】
设圆锥的母线长为$l$，侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 求母线长：已知圆锥底面半径$r=3$，侧面积$S_{侧}=36π$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，代入得：
$π×3×l=36π$，两边约去$π$，解得$l=12$。
2. 求圆心角：圆锥侧面展开图为扇形，其面积等于圆锥侧面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπl^2}{360}$，代入$S=36π$、$l=12$得：
$36π=\frac{nπ×12^2}{360}$，化简右边得$\frac{2nπ}{5}$，约去$π$后解得$n=90$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆锥侧面积公式、扇形面积公式
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的圆心角计算，核心是掌握圆锥侧面积与侧面展开扇形面积的等量关系，属于基础计算题，需熟练运用相关公式。
【难度系数】
0.7
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{ \circ }$，$AC=3$，$BC=4$，以$AC$所在直线为轴，把$△ ABC$旋转一周，得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为
$20π$
.答案
7. $20π$ 解析:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$由已知得,母线长$l=5$,底面圆的半径$r=4,∴$圆锥的侧面积$S=πrl=π×4×5=20π.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确Rt△ABC以AC为轴旋转后形成的圆锥的参数：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再确定圆锥的底面半径和母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
以AC所在直线为轴旋转时，BC旋转形成圆锥的底面圆，故底面半径$r=BC=4$；AB为圆锥的母线，即母线长$l=AB=5$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：$S_{\mathrm{侧}}=π × 4 × 5=20π$。
【答案】
$20π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、旋转体
【点评】
本题考查旋转体的性质与圆锥侧面积的计算，核心是确定旋转后圆锥的底面半径和母线长，需熟练运用勾股定理和圆锥侧面积公式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确Rt△ABC以AC为轴旋转后形成的圆锥的参数：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再确定圆锥的底面半径和母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
以AC所在直线为轴旋转时，BC旋转形成圆锥的底面圆，故底面半径$r=BC=4$；AB为圆锥的母线，即母线长$l=AB=5$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入得：$S_{\mathrm{侧}}=π × 4 × 5=20π$。
【答案】
$20π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、旋转体
【点评】
本题考查旋转体的性质与圆锥侧面积的计算，核心是确定旋转后圆锥的底面半径和母线长，需熟练运用勾股定理和圆锥侧面积公式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD// BC,∠ C=90°,∠ BAD=120°,AB=AD=4,BC=6$,以点 $A$ 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分).
(1)求这个扇形的面积.
(2)若将这个扇形围成一个圆锥,求这个圆锥的底面积.
(1)求这个扇形的面积.
(2)若将这个扇形围成一个圆锥,求这个圆锥的底面积.
答案
(1)过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$,则扇形与$BC$相切于点$E. ∵AD// BC,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°. ∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°,∴BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2,∴AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},∴$扇形的面积为$\frac{120}{360}×π×(2\sqrt{3})^2=4π.$
(2)设圆锥的底面半径为$r$,则$2πr=\frac{120×π×2\sqrt{3}}{180}$,解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3},∴$这个圆锥的底面积为$πr^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4π}{3}.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先确定扇形的圆心角和半径以计算扇形面积，再利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系求圆锥底面积。步骤如下：1. 过点A作辅助线构造直角三角形，求出扇形的半径；2. 根据梯形的平行线性质确定扇形的圆心角；3. 代入扇形面积公式计算第一问；4. 利用扇形弧长等于圆锥底面周长的关系，求出圆锥底面半径，进而计算底面积。
【解析】
(1) 过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$，
$\because AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAD=60°$，
在$Rt△ ABE$中，$AB=4$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore BE=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AE=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore$扇形的半径为$2\sqrt{3}$，圆心角为$120°$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，
得$S=\frac{120}{360}×π×(2\sqrt{3})^2=\frac{1}{3}×π×12=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为$r$，
扇形的弧长$L=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
$\because$圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=L$，
$\therefore 2π r=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
圆锥的底面积$=π r^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=π×\frac{4×3}{9}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1)$4π$；(2)$\frac{4π}{3}$
【知识点】
扇形面积计算、圆锥底面积、梯形性质
【点评】
本题结合梯形、扇形、圆锥的知识点，需通过辅助线构造直角三角形确定扇形半径，再利用扇形与圆锥的关系解题，关键是明确扇形的圆心角和半径，考察几何综合应用能力，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先确定扇形的圆心角和半径以计算扇形面积，再利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系求圆锥底面积。步骤如下：1. 过点A作辅助线构造直角三角形，求出扇形的半径；2. 根据梯形的平行线性质确定扇形的圆心角；3. 代入扇形面积公式计算第一问；4. 利用扇形弧长等于圆锥底面周长的关系，求出圆锥底面半径，进而计算底面积。
【解析】
(1) 过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$，
$\because AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAD=60°$，
在$Rt△ ABE$中，$AB=4$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore BE=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AE=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore$扇形的半径为$2\sqrt{3}$，圆心角为$120°$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，
得$S=\frac{120}{360}×π×(2\sqrt{3})^2=\frac{1}{3}×π×12=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为$r$，
扇形的弧长$L=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
$\because$圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=L$，
$\therefore 2π r=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
圆锥的底面积$=π r^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=π×\frac{4×3}{9}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1)$4π$；(2)$\frac{4π}{3}$
【知识点】
扇形面积计算、圆锥底面积、梯形性质
【点评】
本题结合梯形、扇形、圆锥的知识点，需通过辅助线构造直角三角形确定扇形半径，再利用扇形与圆锥的关系解题，关键是明确扇形的圆心角和半径，考察几何综合应用能力，难度中等。
【难度系数】
0.5
