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1. 已知抛物线经过$(1,0),(3,0),(0,3)$三个点.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)分别在$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2},\frac{5}{2}≤ x≤ 4$的范围内,求该二次函数的最值.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)分别在$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2},\frac{5}{2}≤ x≤ 4$的范围内,求该二次函数的最值.
答案
(1)$y=x^2-4x+3$.
(2)$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
则抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$,抛物线的对称轴为直线$x=2$.当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$时,二次函数在$x=2$处有最小值,最小值为$-1$,无最大值;当$\frac{5}{2}≤x≤4$时,二次函数在$x=\frac{5}{2}$处有最小值,最小值为$-\frac{3}{4}$;二次函数在$x=4$处有最大值,最大值为$3$.
(2)$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
则抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$,抛物线的对称轴为直线$x=2$.当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$时,二次函数在$x=2$处有最小值,最小值为$-1$,无最大值;当$\frac{5}{2}≤x≤4$时,二次函数在$x=\frac{5}{2}$处有最小值,最小值为$-\frac{3}{4}$;二次函数在$x=4$处有最大值,最大值为$3$.
解析
【分析】
(1)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先设交点式求解解析式，也可设一般式代入三个点的坐标，解三元一次方程组得到系数，两种方法都可求出抛物线表达式；(2)求二次函数在给定区间的最值，首先需将抛物线解析式化为顶点式，确定开口方向、对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的增减性分析最值，同时注意开区间无法取到端点值，闭区间可取到端点值。
【解析】
(1) 用交点式求解：
∵抛物线经过x轴上的点(1,0)、(3,0)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$）
将点(0,3)代入解析式得：$3=a×(0-1)×(0-3)$
解得$a=1$
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$
(2) 先将解析式化为顶点式：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$
①当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$时：
对称轴$x=2$在该区间内部，开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，最小值为$-1$；
由于该区间为开区间，两端点均无法取到，因此无最大值。
②当$\frac{5}{2}≤ x≤4$时：
该区间全部在对称轴右侧，开口向上的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，因此：
最小值在左端点$x=\frac{5}{2}$处取得，代入得$y=(\frac{5}{2}-2)^2-1=-\frac{3}{4}$；
最大值在右端点$x=4$处取得，代入得$y=(4-2)^2-1=3$。
【答案】
(1)$y=x^2-4x+3$
(2)在$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$范围内，最小值为$-1$，无最大值；在$\frac{5}{2}≤ x≤ 4$范围内，最小值为$-\frac{3}{4}$，最大值为$3$。
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既考查了利用交点法求二次函数解析式的技巧，又结合区间范围考查了二次函数增减性的应用，解题时需特别注意开区间和闭区间的差异，避免错误判断最值是否存在。
【难度系数】
0.7
(1)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先设交点式求解解析式，也可设一般式代入三个点的坐标，解三元一次方程组得到系数，两种方法都可求出抛物线表达式；(2)求二次函数在给定区间的最值，首先需将抛物线解析式化为顶点式，确定开口方向、对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的增减性分析最值，同时注意开区间无法取到端点值，闭区间可取到端点值。
【解析】
(1) 用交点式求解：
∵抛物线经过x轴上的点(1,0)、(3,0)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$）
将点(0,3)代入解析式得：$3=a×(0-1)×(0-3)$
解得$a=1$
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$
(2) 先将解析式化为顶点式：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$
①当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$时：
对称轴$x=2$在该区间内部，开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，最小值为$-1$；
由于该区间为开区间，两端点均无法取到，因此无最大值。
②当$\frac{5}{2}≤ x≤4$时：
该区间全部在对称轴右侧，开口向上的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，因此：
最小值在左端点$x=\frac{5}{2}$处取得，代入得$y=(\frac{5}{2}-2)^2-1=-\frac{3}{4}$；
最大值在右端点$x=4$处取得，代入得$y=(4-2)^2-1=3$。
【答案】
(1)$y=x^2-4x+3$
(2)在$\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$范围内，最小值为$-1$，无最大值；在$\frac{5}{2}≤ x≤ 4$范围内，最小值为$-\frac{3}{4}$，最大值为$3$。
【知识点】
1. 二次函数解析式的确定
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既考查了利用交点法求二次函数解析式的技巧，又结合区间范围考查了二次函数增减性的应用，解题时需特别注意开区间和闭区间的差异，避免错误判断最值是否存在。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过$O(0,0),M(1,1)$和$N(n,0)(n≠0)$三点.
(1)若该函数图象顶点恰为点$M$,写出此时$n$的值及$y$的最大值;
(2)当$n=-2$时,确定这个二次函数的表达式,并判断此时$y$是否有最大值.
(1)若该函数图象顶点恰为点$M$,写出此时$n$的值及$y$的最大值;
(2)当$n=-2$时,确定这个二次函数的表达式,并判断此时$y$是否有最大值.
答案
(1)由二次函数图象的对称性可知,$n=2$,$y$的最大值为$1$.
(2)由题意,得$\begin{cases}a+b=1,\\4a-2b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$.
$\because a=\frac{1}{3}＞0$,$\therefore y$没有最大值.
(2)由题意,得$\begin{cases}a+b=1,\\4a-2b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3}.\end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$.
$\because a=\frac{1}{3}＞0$,$\therefore y$没有最大值.
解析
【分析】
(1) 解题思路：二次函数与x轴的两个交点O(0,0)、N(n,0)关于对称轴对称，若M(1,1)是顶点，说明对称轴为直线x=1，利用对称轴的中点公式可求n的值；顶点是二次函数的最值点，纵坐标对应最值。
(2) 解题思路：当n=-2时，已知函数经过的三个点坐标，代入原点可得c=0，将剩余两个点坐标代入y=ax²+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解出系数后根据a的正负判断开口方向，即可确定是否存在最大值。
【解析】
(1)
∵二次函数图象过O(0,0)、N(n,0)两点，两点均在x轴上，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+n}{2}$。
又
∵M(1,1)是函数图象的顶点，二次函数顶点在对称轴上，
∴$\frac{n}{2}=1$，解得$n=2$。
顶点为二次函数的最高点，因此y的最大值为顶点的纵坐标1。
(2) 当$n=-2$时，函数过O(0,0)、M(1,1)、N(-2,0)三点，将O(0,0)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$，因此函数解析式可写为$y=ax^2+bx$。
将M(1,1)、N(-2,0)分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b=1\\4a-2b=0\end{cases}$
解这个方程组：由第二个方程得$2a-b=0$，即$b=2a$，代入第一个方程得$a+2a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，则$b=\frac{2}{3}$。
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$。
∵$a=\frac{1}{3}＞0$，二次函数图象开口向上，函数只有最小值，没有最大值。
【答案】
(1) $n=2$，y的最大值为1；
(2) 二次函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$，此时y没有最大值。
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数最值判断
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，解题关键是掌握二次函数对称性、最值与开口方向的关系，以及用待定系数法求解析式的方法，计算时注意系数的符号避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：二次函数与x轴的两个交点O(0,0)、N(n,0)关于对称轴对称，若M(1,1)是顶点，说明对称轴为直线x=1，利用对称轴的中点公式可求n的值；顶点是二次函数的最值点，纵坐标对应最值。
(2) 解题思路：当n=-2时，已知函数经过的三个点坐标，代入原点可得c=0，将剩余两个点坐标代入y=ax²+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解出系数后根据a的正负判断开口方向，即可确定是否存在最大值。
【解析】
(1)
∵二次函数图象过O(0,0)、N(n,0)两点，两点均在x轴上，
∴该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+n}{2}$。
又
∵M(1,1)是函数图象的顶点，二次函数顶点在对称轴上，
∴$\frac{n}{2}=1$，解得$n=2$。
顶点为二次函数的最高点，因此y的最大值为顶点的纵坐标1。
(2) 当$n=-2$时，函数过O(0,0)、M(1,1)、N(-2,0)三点，将O(0,0)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$，因此函数解析式可写为$y=ax^2+bx$。
将M(1,1)、N(-2,0)分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b=1\\4a-2b=0\end{cases}$
解这个方程组：由第二个方程得$2a-b=0$，即$b=2a$，代入第一个方程得$a+2a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，则$b=\frac{2}{3}$。
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$。
∵$a=\frac{1}{3}＞0$，二次函数图象开口向上，函数只有最小值，没有最大值。
【答案】
(1) $n=2$，y的最大值为1；
(2) 二次函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x$，此时y没有最大值。
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数最值判断
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，解题关键是掌握二次函数对称性、最值与开口方向的关系，以及用待定系数法求解析式的方法，计算时注意系数的符号避免出错。
【难度系数】
0.8
[操作探究]已知二次函数的图象以$A(-1,4)$为顶点，且过点$B(2,-5)$.
(1)求该二次函数的关系式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，$A$，$B$两点随图象移至$A'$，$B'$，求$△ OA'B'$的面积.
(1)求该二次函数的关系式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，$A$，$B$两点随图象移至$A'$，$B'$，求$△ OA'B'$的面积.
答案
(1)设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2+4(a≠0)$,将$B(2,-5)$代入,得$9a+4=-5$,解得$a=-1$,$\therefore$该二次函数的关系式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$.
(2)令$x=0$,得$y=3$,因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$.
令$y=0$,得$-x^2-2x+3=0$,
解得$x_1=-3$,$x_2=1$,即抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$,$(1,0)$.
(3)设抛物线与$x$轴的交点为$M,N(M$在$N$的左侧),由(2)知,$M(-3,0)$,$N(1,0)$.
当函数图象向右平移经过原点时,$M$与$O$重合,因此抛物线向右平移了3个单位长度,故$A'(2,4)$,$B'(5,-5)$,$\therefore S_{△ OA'B'}=\frac{1}{2}×(2+5)×9-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×5×5=15$.
(2)令$x=0$,得$y=3$,因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$.
令$y=0$,得$-x^2-2x+3=0$,
解得$x_1=-3$,$x_2=1$,即抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$,$(1,0)$.
(3)设抛物线与$x$轴的交点为$M,N(M$在$N$的左侧),由(2)知,$M(-3,0)$,$N(1,0)$.
当函数图象向右平移经过原点时,$M$与$O$重合,因此抛物线向右平移了3个单位长度,故$A'(2,4)$,$B'(5,-5)$,$\therefore S_{△ OA'B'}=\frac{1}{2}×(2+5)×9-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×5×5=15$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，代入顶点$A(-1,4)$后仅含参数$a$，再将点$B$坐标代入即可求出$a$，得到函数关系式。
(2) 求函数图象与坐标轴交点分两类：①与$y$轴交点：令$x=0$，求对应$y$值即可；②与$x$轴交点：令$y=0$，解关于$x$的一元二次方程，方程的解即为交点横坐标。
(3) 函数平移时所有点的平移规律一致，先找到原函数与$x$轴的左交点，该点平移后与原点重合，即可确定平移的单位长度，进而得到平移后$A'$、$B'$的坐标，再用割补法计算三角形面积即可。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x+1)^2+4(a≠0)$，
将$B(2,-5)$代入得：$9a+4=-5$，
解得$a=-1$，
$\therefore$ 二次函数关系式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
(2) 求与$y$轴交点：令$x=0$，得$y=3$，
$\therefore$ 与$y$轴交点坐标为$(0,3)$；
求与$x$轴交点：令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\therefore$ 与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
(3) 设原抛物线与$x$轴的左交点为$M(-3,0)$，当图象向右平移过原点时，$M$与$O$重合，即图象向右平移了3个单位长度，
根据平移规律得：$A'(2,4)$，$B'(5,-5)$，
$\therefore S_{△ OA'B'}=\frac{1}{2}×(2+5)×9-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×5×5=15$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$（或$y=-(x+1)^2+4$）；
(2) 与$y$轴交点为$(0,3)$，与$x$轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$；
(3) $15$。
【知识点】
二次函数解析式的确定；二次函数与坐标轴的交点；二次函数的平移
【点评】
本题是二次函数综合基础题，依次考查了顶点式的应用、函数与坐标轴交点的求法、平移规律及坐标系内三角形面积的计算，解题时要注意平移规律的正确应用，割补法是计算坐标系内不规则图形面积的常用简便方法，整体注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，代入顶点$A(-1,4)$后仅含参数$a$，再将点$B$坐标代入即可求出$a$，得到函数关系式。
(2) 求函数图象与坐标轴交点分两类：①与$y$轴交点：令$x=0$，求对应$y$值即可；②与$x$轴交点：令$y=0$，解关于$x$的一元二次方程，方程的解即为交点横坐标。
(3) 函数平移时所有点的平移规律一致，先找到原函数与$x$轴的左交点，该点平移后与原点重合，即可确定平移的单位长度，进而得到平移后$A'$、$B'$的坐标，再用割补法计算三角形面积即可。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x+1)^2+4(a≠0)$，
将$B(2,-5)$代入得：$9a+4=-5$，
解得$a=-1$，
$\therefore$ 二次函数关系式为$y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$。
(2) 求与$y$轴交点：令$x=0$，得$y=3$，
$\therefore$ 与$y$轴交点坐标为$(0,3)$；
求与$x$轴交点：令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\therefore$ 与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
(3) 设原抛物线与$x$轴的左交点为$M(-3,0)$，当图象向右平移过原点时，$M$与$O$重合，即图象向右平移了3个单位长度，
根据平移规律得：$A'(2,4)$，$B'(5,-5)$，
$\therefore S_{△ OA'B'}=\frac{1}{2}×(2+5)×9-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×5×5=15$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$（或$y=-(x+1)^2+4$）；
(2) 与$y$轴交点为$(0,3)$，与$x$轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$；
(3) $15$。
【知识点】
二次函数解析式的确定；二次函数与坐标轴的交点；二次函数的平移
【点评】
本题是二次函数综合基础题，依次考查了顶点式的应用、函数与坐标轴交点的求法、平移规律及坐标系内三角形面积的计算，解题时要注意平移规律的正确应用，割补法是计算坐标系内不规则图形面积的常用简便方法，整体注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
