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1. 计算:
(1)$1-\dfrac{a-b}{a+2b}÷\dfrac{a^2-b^2}{a^2+4ab+4b^2}$;
(2)$(\dfrac{2x+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x}{x^2-2x+1}$;
(3)$\dfrac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\dfrac{a^2-1}{a^2-2a+1}$;
(4)$(a^2-2+\dfrac{1}{a^2})÷(a-\dfrac{1}{a})$.
(1)$1-\dfrac{a-b}{a+2b}÷\dfrac{a^2-b^2}{a^2+4ab+4b^2}$;
(2)$(\dfrac{2x+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x}{x^2-2x+1}$;
(3)$\dfrac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\dfrac{a^2-1}{a^2-2a+1}$;
(4)$(a^2-2+\dfrac{1}{a^2})÷(a-\dfrac{1}{a})$.
答案
(1)原式$=-\dfrac{b}{a+b}$;
(2)原式$=\dfrac{x-1}{x+1}$;
(3)原式$=\dfrac{a+3}{a-1}$;
(4)原式$=a-\dfrac{1}{a}$.
(2)原式$=\dfrac{x-1}{x+1}$;
(3)原式$=\dfrac{a+3}{a-1}$;
(4)原式$=a-\dfrac{1}{a}$.
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：1. 遇到除法运算先转化为乘以除数的倒数；2. 对分子、分母中的多项式先因式分解，优先约分简化运算；3. 加减运算需先通分化为同分母分式，再对分子进行加减，最终结果要化为最简分式。每道小题均按照该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 原式$=1-\dfrac{a-b}{a+2b}×\dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^2-b^2}$
因式分解得：$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
代入约分：$=1-\dfrac{a-b}{a+2b}×\dfrac{(a+2b)^2}{(a-b)(a+b)}=1-\dfrac{a+2b}{a+b}$
通分计算：$=\dfrac{a+b}{a+b}-\dfrac{a+2b}{a+b}=\dfrac{a+b-a-2b}{a+b}=-\dfrac{b}{a+b}$
(2) 先对各部分因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=[\dfrac{2x+1}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{1}{x}]×\dfrac{(x-1)^2}{x}$
括号内通分化简后约分，最终计算得：$=\dfrac{x-1}{x+1}$
(3) 因式分解得：$2a+2=2(a+1)$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$
原式$=\dfrac{2(a+1)}{a-1}×\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}$
约分后：$=\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{a+1}{a-1}$
同分母相加：$=\dfrac{2+a+1}{a-1}=\dfrac{a+3}{a-1}$
(4) 对被除数因式分解得：$a^2-2+\dfrac{1}{a^2}=(a-\dfrac{1}{a})^2$
原式$=(a-\dfrac{1}{a})^2÷(a-\dfrac{1}{a})=a-\dfrac{1}{a}$
【答案】
(1)$-\dfrac{b}{a+b}$；(2)$\dfrac{x-1}{x+1}$；(3)$\dfrac{a+3}{a-1}$；(4)$a-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
这组题是分式运算的典型易错题，解题时要严格遵守运算顺序，优先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后先约分再计算，能有效简化运算步骤，降低出错概率，注意最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.6
分式混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：1. 遇到除法运算先转化为乘以除数的倒数；2. 对分子、分母中的多项式先因式分解，优先约分简化运算；3. 加减运算需先通分化为同分母分式，再对分子进行加减，最终结果要化为最简分式。每道小题均按照该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 原式$=1-\dfrac{a-b}{a+2b}×\dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^2-b^2}$
因式分解得：$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$，$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
代入约分：$=1-\dfrac{a-b}{a+2b}×\dfrac{(a+2b)^2}{(a-b)(a+b)}=1-\dfrac{a+2b}{a+b}$
通分计算：$=\dfrac{a+b}{a+b}-\dfrac{a+2b}{a+b}=\dfrac{a+b-a-2b}{a+b}=-\dfrac{b}{a+b}$
(2) 先对各部分因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=[\dfrac{2x+1}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{1}{x}]×\dfrac{(x-1)^2}{x}$
括号内通分化简后约分，最终计算得：$=\dfrac{x-1}{x+1}$
(3) 因式分解得：$2a+2=2(a+1)$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$
原式$=\dfrac{2(a+1)}{a-1}×\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}$
约分后：$=\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{a+1}{a-1}$
同分母相加：$=\dfrac{2+a+1}{a-1}=\dfrac{a+3}{a-1}$
(4) 对被除数因式分解得：$a^2-2+\dfrac{1}{a^2}=(a-\dfrac{1}{a})^2$
原式$=(a-\dfrac{1}{a})^2÷(a-\dfrac{1}{a})=a-\dfrac{1}{a}$
【答案】
(1)$-\dfrac{b}{a+b}$；(2)$\dfrac{x-1}{x+1}$；(3)$\dfrac{a+3}{a-1}$；(4)$a-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
这组题是分式运算的典型易错题，解题时要严格遵守运算顺序，优先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后先约分再计算，能有效简化运算步骤，降低出错概率，注意最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.6
2. 先化简,再求值:$\dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a} ÷ (a - 1) · \dfrac{2 - a}{a - 1}$,其中$\dfrac{3a + 1}{a} = 0$.
答案
原式$=-\dfrac{1}{a}$.
$\because \dfrac{3a+1}{a}=0$,
$\therefore 3a+1=0$,解得$a=-\dfrac{1}{3}$.
$\therefore$原式$=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$.
$\because \dfrac{3a+1}{a}=0$,
$\therefore 3a+1=0$,解得$a=-\dfrac{1}{3}$.
$\therefore$原式$=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简分式，首先对各分式的分子、分母进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，按照从左到右的顺序约分，遇到$(2-a)$这类符号相反的因式时可变形为$-(a-2)$方便约分；第二步根据已知条件求$a$的取值，注意分式值为0时需满足分子为0且分母不为0，最后将$a$的值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
第一步：化简原式
先对分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-1)^2}{a(a-2)} ÷ (a-1) · \dfrac{2-a}{a-1}\\&=\dfrac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \dfrac{1}{a-1} · \dfrac{-(a-2)}{a-1}\\&=\dfrac{(a-1)^2 × 1 × [-(a-2)]}{a(a-2) × (a-1) × (a-1)}\\&=-\dfrac{1}{a}\end{aligned}$
第二步：求$a$的值
已知$\dfrac{3a + 1}{a} = 0$，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
$3a+1=0$且$a≠0$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$
第三步：代入求值
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$-\dfrac{1}{a}$得：
原式$=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的乘除运算，分式化简求值，分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题时需注意运算顺序，要从左到右依次计算，不可优先计算后面的乘法，同时要正确处理符号问题，牢记分式值为0、分式有意义的限制条件，熟练掌握因式分解是快速约分化简的关键。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简分式，首先对各分式的分子、分母进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，按照从左到右的顺序约分，遇到$(2-a)$这类符号相反的因式时可变形为$-(a-2)$方便约分；第二步根据已知条件求$a$的取值，注意分式值为0时需满足分子为0且分母不为0，最后将$a$的值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
第一步：化简原式
先对分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-1)^2}{a(a-2)} ÷ (a-1) · \dfrac{2-a}{a-1}\\&=\dfrac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \dfrac{1}{a-1} · \dfrac{-(a-2)}{a-1}\\&=\dfrac{(a-1)^2 × 1 × [-(a-2)]}{a(a-2) × (a-1) × (a-1)}\\&=-\dfrac{1}{a}\end{aligned}$
第二步：求$a$的值
已知$\dfrac{3a + 1}{a} = 0$，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
$3a+1=0$且$a≠0$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$
第三步：代入求值
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$-\dfrac{1}{a}$得：
原式$=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的乘除运算，分式化简求值，分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题时需注意运算顺序，要从左到右依次计算，不可优先计算后面的乘法，同时要正确处理符号问题，牢记分式值为0、分式有意义的限制条件，熟练掌握因式分解是快速约分化简的关键。
【难度系数】
0.7
3. 已知 $ A=(x-3)÷\frac{(x+2)(x^2-6x+9)}{x^2-4}-1 $。
(1)化简 $ A $；
(2)若 $ x $ 满足不等式组 $ \begin{cases} 2x-3≤ x, \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3} \end{cases} $ 且 $ x $ 为整数，求 $ A $ 的值。
(1)化简 $ A $；
(2)若 $ x $ 满足不等式组 $ \begin{cases} 2x-3≤ x, \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3} \end{cases} $ 且 $ x $ 为整数，求 $ A $ 的值。
答案
(1)$A=\dfrac{1}{x-3}$.
(2)$\begin{cases} 2x-3≤ x,① \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3},② \end{cases}$
解①,得$x≤ 3$,解②,得$x≥ -\dfrac{2}{5}$,
$\therefore$不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5}≤ x≤ 3$.
$\because x$为整数,$\therefore$整数解为0,1,2,3.
$\because$分式$A$有意义,$\therefore x≠ 2,x≠ 3$.
$\therefore x$只能取0或1.
当$x=0$时,$A=\dfrac{1}{x-3}=-\dfrac{1}{3}$;
当$x=1$时,$A=\dfrac{1}{x-3}=-\dfrac{1}{2}$.
(2)$\begin{cases} 2x-3≤ x,① \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3},② \end{cases}$
解①,得$x≤ 3$,解②,得$x≥ -\dfrac{2}{5}$,
$\therefore$不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5}≤ x≤ 3$.
$\because x$为整数,$\therefore$整数解为0,1,2,3.
$\because$分式$A$有意义,$\therefore x≠ 2,x≠ 3$.
$\therefore x$只能取0或1.
当$x=0$时,$A=\dfrac{1}{x-3}=-\dfrac{1}{3}$;
当$x=1$时,$A=\dfrac{1}{x-3}=-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)化简A时遵循分式混合运算顺序：先算除法，再算减法。先将除法转化为乘法，同时对分子分母中的多项式用平方差、完全平方公式因式分解，约分后再通分计算减法即可；
(2)先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取公共部分得到解集，从中找出所有整数x；再结合分式有意义的条件（分母、除式均不为0）筛选出符合要求的x值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(x-3)÷\frac{(x+2)(x^2-6x+9)}{x^2-4}-1\\&=(x-3)×\frac{x^2-4}{(x+2)(x^2-6x+9)}-1\\&=(x-3)×\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}-1\\&=\frac{x-2}{x-3}-1\\&=\frac{x-2-(x-3)}{x-3}\\&=\frac{1}{x-3}\end{aligned}$
(2) 解不等式组$\begin{cases} 2x-3≤ x,① \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3},② \end{cases}$
解①，移项得$2x-x≤3$，即$x≤ 3$；
解②，两边同乘15去分母得$18-5x≤20$，移项得$-5x≤2$，系数化为1得$x≥ -\dfrac{2}{5}$；
$\therefore$不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5}≤ x≤ 3$。
$\because x$为整数，$\therefore$整数解为0,1,2,3。
$\because$分式$A$有意义，$\therefore x^2-4≠0$，$(x+2)(x^2-6x+9)≠0$，$x-3≠0$，解得$x≠±2$且$x≠3$；
$\therefore x$只能取0或1。
当$x=0$时，$A=\dfrac{1}{0-3}=-\dfrac{1}{3}$；
当$x=1$时，$A=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$A=\dfrac{1}{x-3}$；
(2)当$x=0$时，$A=-\dfrac{1}{3}$；当$x=1$时，$A=-\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
分式的混合运算，解一元一次不等式组，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简与不等式组结合的基础综合题，易错点是容易忽略分式有意义的条件，直接将所有整数解代入计算，解题时需先筛选出合法的x取值再代入求值。
【难度系数】
0.7
(1)化简A时遵循分式混合运算顺序：先算除法，再算减法。先将除法转化为乘法，同时对分子分母中的多项式用平方差、完全平方公式因式分解，约分后再通分计算减法即可；
(2)先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取公共部分得到解集，从中找出所有整数x；再结合分式有意义的条件（分母、除式均不为0）筛选出符合要求的x值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(x-3)÷\frac{(x+2)(x^2-6x+9)}{x^2-4}-1\\&=(x-3)×\frac{x^2-4}{(x+2)(x^2-6x+9)}-1\\&=(x-3)×\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-3)^2}-1\\&=\frac{x-2}{x-3}-1\\&=\frac{x-2-(x-3)}{x-3}\\&=\frac{1}{x-3}\end{aligned}$
(2) 解不等式组$\begin{cases} 2x-3≤ x,① \\ \dfrac{6}{5}-\dfrac{x}{3}≤ \dfrac{4}{3},② \end{cases}$
解①，移项得$2x-x≤3$，即$x≤ 3$；
解②，两边同乘15去分母得$18-5x≤20$，移项得$-5x≤2$，系数化为1得$x≥ -\dfrac{2}{5}$；
$\therefore$不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5}≤ x≤ 3$。
$\because x$为整数，$\therefore$整数解为0,1,2,3。
$\because$分式$A$有意义，$\therefore x^2-4≠0$，$(x+2)(x^2-6x+9)≠0$，$x-3≠0$，解得$x≠±2$且$x≠3$；
$\therefore x$只能取0或1。
当$x=0$时，$A=\dfrac{1}{0-3}=-\dfrac{1}{3}$；
当$x=1$时，$A=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1)$A=\dfrac{1}{x-3}$；
(2)当$x=0$时，$A=-\dfrac{1}{3}$；当$x=1$时，$A=-\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
分式的混合运算，解一元一次不等式组，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简与不等式组结合的基础综合题，易错点是容易忽略分式有意义的条件，直接将所有整数解代入计算，解题时需先筛选出合法的x取值再代入求值。
【难度系数】
0.7
