21.(8分)如图,已知$CD⊥AB$于点$D$,$FH⊥AB$于点$F$,$∠1$与$∠2$互补。
(1)判断$DE$与$BC$是否平行,并说明理由。
(2)若$∠2=140°$,$CD$平分$∠ACB$,求$∠AED$的度数。

21.(1)$DE// BC$。理由如下:因为$CD⊥AB$,$FH⊥AB$,所以$CD// FH$,所以$∠2+∠DCB=180°$,因为$∠1$与$∠2$互补,所以$∠1+∠2=180°$,所以$∠1=∠DCB$,所以$DE// BC$。
(2)因为由(1)知$CD// FH$,所以$∠2+∠DCB=180°$,因为$∠2=140°$,所以$∠DCB=40°$,因为$CD$平分$∠ACB$,所以$∠ECB=2∠DCB=80°$,因为$DE// BC$,所以$∠AED=∠ECB=80°$。

【分析】
要判断DE与BC是否平行，需利用平行线的判定定理。已知CD⊥AB、FH⊥AB，根据“垂直于同一直线的两条直线平行”可得CD//FH，结合∠1与∠2互补，通过同角的补角相等得到内错角∠1=∠DCB，从而判定DE//BC。对于第二问，先由CD//FH和∠2的度数求出∠DCB，再利用角平分线定义得到∠ACB的相关角度，最后根据平行线的性质（同位角相等）求出∠AED的度数。
【解析】
(1) $DE// BC$，理由如下：
∵ $CD⊥AB$，$FH⊥AB$（已知），
∴ $CD// FH$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠2 + ∠DCB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ $∠1$与$∠2$互补（已知），即$∠1 + ∠2 = 180°$，
∴ $∠1 = ∠DCB$（同角的补角相等），
∴ $DE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知$CD// FH$，
∴ $∠2 + ∠DCB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠2 = 140°$（已知），
∴ $∠DCB = 180° - 140° = 40°$。
∵ $CD$平分$∠ACB$（已知），
∴ $∠ACB = 2∠DCB = 2×40° = 80°$。
又
∵ $DE// BC$（已证），
∴ $∠AED = ∠ACB = 80°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) $DE// BC$，理由见解析；(2) $∠AED=80°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合平行线的判定与性质、角平分线的定义进行考查，解题关键是熟练运用平行线的相关定理推导角的关系，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6

22.(8分)阅读材料:若两个数的积等于这两个数和的2倍,则称这两个数为“伙伴数”。例如:$(-2)×1=2×(-2+1)$,所以-2和1就是一对“伙伴数”。
请完成下列问题:
(1)若$x$与5是一对“伙伴数”,请求出$x$的值。
(2)若$m$与$n$是一对“伙伴数”,且$m,n$不为0,请判断等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$是否成立?如果成立,请说明理由。
(3)是否存在均为正整数的“伙伴数”?若存在,求出所有符合条件的“伙伴数”;若不存在,说明理由。

22.(1)因为$x$与5是一对“伙伴数”,所以$5x=2(x+5)$,$5x=2x+10$,$5x-2x=10$,$3x=10$,$x=\frac{10}{3}$。
(2)$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$成立。理由如下:因为$m$与$n$是一对“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n}{mn}+\frac{m}{mn}=\frac{m+n}{mn}=\frac{m+n}{2(m+n)}=\frac{1}{2}$,所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$。
(3)设这两个数是$m,n$,因为这两个正整数是“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,$mn=2m+2n$,$mn-2m-2n=0$,$mn-2m-2n+4=4$,$m(n-2)-2(n-2)=4$,$(m-2)(n-2)=4$,所以$m-2=1,n-2=4$或$m-2=4,n-2=1$,或$m-2=n-2=2$,解得$m=3,n=6$或$m=6,n=3$或$m=n=4$,所以均为正整数的“伙伴数”为3,6或6,3或4,4。

【分析】
首先明确“伙伴数”的定义：若两个数a、b满足ab=2(a+b)，则称这两个数为“伙伴数”。解题时需将每个问题的条件转化为该等式，再结合方程求解或代数变形：
1. 第(1)问：x与5是伙伴数，直接代入定义列一元一次方程，解方程得x；
2. 第(2)问：先对分式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分，再利用伙伴数的定义$mn=2(m+n)$代入化简，判断等式是否成立；
3. 第(3)问：设正整数伙伴数为m、n，代入定义得方程，通过因式分解变形为$(m-2)(n-2)=4$，结合正整数的条件找出所有整数解，进而得到符合要求的伙伴数。
【解析】
(1) 因为x与5是一对“伙伴数”，根据定义得：
$5x = 2(x + 5)$
去括号：$5x = 2x + 10$
移项合并同类项：$3x = 10$
解得：$x = \frac{10}{3}$
(2) 等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$成立，理由如下：
因为m与n是一对“伙伴数”，根据定义得：
$mn = 2(m + n)$
对$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}$
将$mn=2(m+n)$代入上式：
$\frac{m + n}{2(m + n)} = \frac{1}{2}$（m、n不为0，故$m+n≠0$，可约去）
因此等式成立。
(3) 设均为正整数的伙伴数为m、n，根据定义得：
$mn = 2(m + n)$
整理方程：
$mn - 2m - 2n = 0$
配方变形：
$mn - 2m - 2n + 4 = 4$
左边因式分解：
$(m - 2)(n - 2) = 4$
因为m、n是正整数，所以$m-2$、$n-2$为整数，且乘积为4，可能的整数对为：
① $m-2=1$，$n-2=4$ → $m=3$，$n=6$；
② $m-2=4$，$n-2=1$ → $m=6$，$n=3$；
③ $m-2=2$，$n-2=2$ → $m=4$，$n=4$；
其他整数对会导致m或n为非正整数，不符合条件，故舍去。
因此符合条件的伙伴数为3和6，6和3，4和4。
【答案】
(1) $x=\frac{10}{3}$；
(2) 等式成立，理由见解析；
(3) 存在，符合条件的伙伴数为3和6、6和3、4和4。
【知识点】
一元一次方程的应用，分式的运算，因式分解的应用
【点评】
本题为新定义型代数题，核心是准确理解“伙伴数”的定义并转化为数学等式，考查学生的阅读理解能力、代数变形能力及分类讨论思想，第三问需通过因式分解求整数解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5