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1. (2025·张掖期末)如图,已知点B,F,C,E在直线l上,点A,D在直线l异侧,连接AE,BD且AC//DF,AC= DF,∠ABC= ∠DEF.
(1)证明:△ABC≌△DEF;
(2)说明AE,BD的关系.
(1)证明:△ABC≌△DEF;
(2)说明AE,BD的关系.
答案
(1) ∵ $AC // DF$，∴ $∠ACB = ∠DFE$。在 $△ABC$ 和 $△DEF$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ABC = ∠DEF } \\ { ∠ACB = ∠DFE } \\ { AC = DF } \end{array} \right.$，∴ $△ABC ≌ △DEF (AAS)$。
(2) ∵ $△ABC ≌ △DEF$，∴ $AB = DE$。在 $△ABE$ 和 $△DEB$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = DE } \\ { ∠ABE = ∠DEB } \\ { BE = EB } \end{array} \right.$，∴ $△ABE ≌ △DEB (SAS)$，∴ $AE = BD$，$∠AEB = ∠DBE$，∴ $AE // BD$，即 $AE = BD$，$AE // BD$。
(2) ∵ $△ABC ≌ △DEF$，∴ $AB = DE$。在 $△ABE$ 和 $△DEB$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = DE } \\ { ∠ABE = ∠DEB } \\ { BE = EB } \end{array} \right.$，∴ $△ABE ≌ △DEB (SAS)$，∴ $AE = BD$，$∠AEB = ∠DBE$，∴ $AE // BD$，即 $AE = BD$，$AE // BD$。
2. (2024·抚顺校级期中)如图①所示,A,E,F,C在一条直线上,AE= CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB= CD.
(1)请猜想线段EG,FG的数量关系,并说明理由.
(2)若将△DEC的边EC沿CA方向移动,变为图②时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.
(1)请猜想线段EG,FG的数量关系,并说明理由.
(2)若将△DEC的边EC沿CA方向移动,变为图②时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.
答案
(1) $GE = GF$。理由：∵ $DE ⊥ AC$，$BF ⊥ AC$，∴ $∠BFA = ∠DEC = 90 ^ { \circ }$。∵ $AE = CF$，∴ $AE - EF = CF - EF$，即 $AF = CE$。在 $Rt △ABF$ 和 $Rt △CDE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CD } \\ { AF = CE } \end{array} \right.$，∴ $Rt △ABF ≌ Rt △CDE (HL)$，∴ $BF = DE$。在 $△BFG$ 和 $△DEG$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠BGF = ∠DGE } \\ { ∠BFG = ∠DEG = 90 ^ { \circ } } \\ { BF = DE } \end{array} \right.$，∴ $△BFG ≌ △DEG (AAS)$，∴ $GE = GF$。
(2) 结论依然成立。理由：∵ $DE ⊥ AC$，$BF ⊥ AC$，∴ $∠BFA = ∠DEC = 90 ^ { \circ }$。∵ $AE = CF$，∴ $AE + EF = CF + EF$，即 $AF = CE$。在 $Rt △ABF$ 和 $Rt △CDE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CD } \\ { AF = CE } \end{array} \right.$，∴ $Rt △ABF ≌ Rt △CDE (HL)$，∴ $BF = DE$。在 $△BFG$ 和 $△DEG$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠BFG = ∠DEG } \\ { ∠BGF = ∠DGE } \\ { BF = DE } \end{array} \right.$，∴ $△BFG ≌ △DEG (AAS)$，∴ $GE = GF$。
(2) 结论依然成立。理由：∵ $DE ⊥ AC$，$BF ⊥ AC$，∴ $∠BFA = ∠DEC = 90 ^ { \circ }$。∵ $AE = CF$，∴ $AE + EF = CF + EF$，即 $AF = CE$。在 $Rt △ABF$ 和 $Rt △CDE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CD } \\ { AF = CE } \end{array} \right.$，∴ $Rt △ABF ≌ Rt △CDE (HL)$，∴ $BF = DE$。在 $△BFG$ 和 $△DEG$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠BFG = ∠DEG } \\ { ∠BGF = ∠DGE } \\ { BF = DE } \end{array} \right.$，∴ $△BFG ≌ △DEG (AAS)$，∴ $GE = GF$。
3. (2024·咸宁期末)在△ABC中,AB= AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接CE.
(1)如图①,当点D在线段BC上时,如果∠BAC= 90°,那么∠BCE= ______°.
(2)设∠BAC= α,∠BCE=
①如图②,若点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由.
②若点D在直线BC上移动,画图并探究α,β之间有怎样的数量关系?
(1)如图①,当点D在线段BC上时,如果∠BAC= 90°,那么∠BCE= ______°.
(2)设∠BAC= α,∠BCE=
①如图②,若点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由.
②若点D在直线BC上移动,画图并探究α,β之间有怎样的数量关系?
答案
(1) 90 解析：∵ $∠BAC = ∠DAE$，∴ $∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即 $∠BAD = ∠CAE$。在 $△ABD$ 与 $△ACE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = AC } \\ { ∠BAD = ∠CAE } \\ { AD = AE } \end{array} \right.$，∴ $△ABD ≌ △ACE (SAS)$，∴ $∠B = ∠ACE$，∴ $∠B + ∠ACB = ∠ACE + ∠ACB$，∴ $∠BCE = ∠B + ∠ACB$。又∵ $∠BAC = 90 ^ { \circ }$，∴ $∠BCE = 90 ^ { \circ }$。
(2) ① $α + β = 180 ^ { \circ }$。
理由：∵ $∠BAC = ∠DAE$，∴ $∠BAC - ∠DAC = ∠EAD - ∠DAC$，即 $∠BAD = ∠CAE$。在 $△ABD$ 与 $△ACE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = AC } \\ { ∠BAD = ∠CAE } \\ { AD = AE } \end{array} \right.$，∴ $△ABD ≌ △ACE (SAS)$，∴ $∠B = ∠ACE$，∴ $∠B + ∠ACB = ∠ACE + ∠ACB$，∴ $∠B + ∠ACB = β$。∵ $α + ∠B + ∠ACB = 180 ^ { \circ }$，∴ $α + β = 180 ^ { \circ }$。
(2) ① $α + β = 180 ^ { \circ }$。
理由：∵ $∠BAC = ∠DAE$，∴ $∠BAC - ∠DAC = ∠EAD - ∠DAC$，即 $∠BAD = ∠CAE$。在 $△ABD$ 与 $△ACE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AB = AC } \\ { ∠BAD = ∠CAE } \\ { AD = AE } \end{array} \right.$，∴ $△ABD ≌ △ACE (SAS)$，∴ $∠B = ∠ACE$，∴ $∠B + ∠ACB = ∠ACE + ∠ACB$，∴ $∠B + ∠ACB = β$。∵ $α + ∠B + ∠ACB = 180 ^ { \circ }$，∴ $α + β = 180 ^ { \circ }$。
