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8.体育课是体育教学的基本组织形式,主要使学生掌握体育与保健基础知识、基本技能,实现学生的思想品德教育,提高学生的运动技术水平.新学期开学之际,某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8个篮球,2个足球,则不同的购买方式有 ()
A.6种
B.7种
C.8种
D.5种
A.6种
B.7种
C.8种
D.5种
答案
D 设购买的篮球个数为 $x$，足球个数为 $y$，且 $x,y \in N^{*}$. 根据题意，得
$\begin{cases}x \geq 8, \\y \geq 2, \\120x + 140y \leq 1500\end{cases}$
解得符合题意的有序实数对 $(x,y)$ 分别为 $(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2)$，共 5 种不同的购买方式.
$\begin{cases}x \geq 8, \\y \geq 2, \\120x + 140y \leq 1500\end{cases}$
解得符合题意的有序实数对 $(x,y)$ 分别为 $(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2)$，共 5 种不同的购买方式.
9.月饼是中华传统节日糕点.某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品,已知冰流酥月饼每个售价为$x$元,青红丝月饼每个售价为$y$元,销售数量为$a个或b$个,且$0 ＜ x ＜ y$,$0 ＜ a ＜ b$.销售结果如下:
第一种:冰流酥月饼销售数量为$a$个,青红丝月饼销售数量为$b$个;
第二种:冰流酥月饼销售数量为$b$个,青红丝月饼销售数量为$a$个.
哪一种销售结果的收入更好? 请说明理由.
第一种:冰流酥月饼销售数量为$a$个,青红丝月饼销售数量为$b$个;
第二种:冰流酥月饼销售数量为$b$个,青红丝月饼销售数量为$a$个.
哪一种销售结果的收入更好? 请说明理由.
答案
解：第一种销售结果的收入更好. 理由如下：
由题意，得第一种销售结果的收入 $S_{1} = ax + by$（元），第二种销售结果的收入 $S_{2} = ay + bx$（元），则 $S_{2} - S_{1} = ay + bx - (ax + by) = a(y - x) + b(x - y) = (y - x)(a - b)$. 因为 $x ＜ y,a ＜ b$，所以 $(y - x)(a - b) ＜ 0$，即 $S_{2} ＜ S_{1}$，所以第一种销售结果的收入更好.
由题意，得第一种销售结果的收入 $S_{1} = ax + by$（元），第二种销售结果的收入 $S_{2} = ay + bx$（元），则 $S_{2} - S_{1} = ay + bx - (ax + by) = a(y - x) + b(x - y) = (y - x)(a - b)$. 因为 $x ＜ y,a ＜ b$，所以 $(y - x)(a - b) ＜ 0$，即 $S_{2} ＜ S_{1}$，所以第一种销售结果的收入更好.
10.(一题多解)在$b$g盐水中,有$a$g盐($b ＞ a ＞ 0$),若再添加$m$g盐($m ＞ 0$),则盐水就变咸了(浓度增加了).试根据这一事实提炼一个不等式,并进行证明.
(提示:先列出盐水变化前后表示浓度的代数式,进而列出不等式(组),并利用作差法(方法1)或作商法(方法2)进行证明)
(提示:先列出盐水变化前后表示浓度的代数式,进而列出不等式(组),并利用作差法(方法1)或作商法(方法2)进行证明)
答案
（一题多解）解：方法 1：根据题意，得 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}(b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0)$.
证明：当 $b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0$ 时，
$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}.$
$\because b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0,\therefore b - a ＞ 0,\frac{m(b - a)}{b(b + m)} ＞ 0$，$\therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$.
方法 2：根据题意，得 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}(b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0)$.
证明：易得
$\frac{\frac{a + m}{b + m}}{\frac{a}{b}} = \frac{a + m}{b + m} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b(a + m)}{a(b + m)} = \frac{ab + bm}{ab + am}.$
$\because b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0,\therefore bm ＞ am$，$\therefore ab + bm ＞ ab + am ＞ 0,\therefore \frac{ab + bm}{ab + am} ＞ 1$，即 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$.
证明：当 $b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0$ 时，
$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}.$
$\because b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0,\therefore b - a ＞ 0,\frac{m(b - a)}{b(b + m)} ＞ 0$，$\therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$.
方法 2：根据题意，得 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}(b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0)$.
证明：易得
$\frac{\frac{a + m}{b + m}}{\frac{a}{b}} = \frac{a + m}{b + m} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b(a + m)}{a(b + m)} = \frac{ab + bm}{ab + am}.$
$\because b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0,\therefore bm ＞ am$，$\therefore ab + bm ＞ ab + am ＞ 0,\therefore \frac{ab + bm}{ab + am} ＞ 1$，即 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$.
