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【变式2】(1)已知$a \geqslant 3$,$M = 2a(a + 1)$,$N = (a + 1)(a + 3)$,则$M$,$N$的大小关系为____;
答案
(1)$M \geq N$ (2)$a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + ab^{2}$ (1)$\because M - N = 2a(a + 1) - (a + 1)(a + 3) = (a - 1)^{2} - 4$，且 $a \geq 3$，$\therefore (a - 1)^{2} - 4 \geq (3 - 1)^{2} - 4 = 0,\therefore M \geq N$.
(2)已知$a,b$均为正实数,则$a^{3} + b^{3}与a^{2}b + ab^{2}$的大小关系为____.
答案
(2)$\because a^{3} + b^{3} - (a^{2}b + ab^{2}) = (a^{3} - a^{2}b) + (b^{3} - ab^{2}) = (a - b)(a^{2} - b^{2}) = (a - b)^{2}(a + b)$，且 $a,b$ 均为正实数，$\therefore a + b ＞ 0.\because (a - b)^{2} \geq 0,\therefore a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + ab^{2}$.
1.下列说法正确的是 ()
A.某人月收入$x$不高于2000元可表示为“$x ＜ 2000$”
B.变量$y不超过a$可表示为“$y \leqslant a$”
C.变量$x至少为a$可表示为“$x ＞ a$”
D.小明的身高为$x$cm,小华的身高为$y$cm,则小明比小华矮表示为“$x ＞ y$”
A.某人月收入$x$不高于2000元可表示为“$x ＜ 2000$”
B.变量$y不超过a$可表示为“$y \leqslant a$”
C.变量$x至少为a$可表示为“$x ＞ a$”
D.小明的身高为$x$cm,小华的身高为$y$cm,则小明比小华矮表示为“$x ＞ y$”
答案
B 对于 A，某人月收入 $x$ 不高于 2000 元可表示为“$x \leq 2000$”，故 A 错误；对于 B，变量 $y$ 不超过 $a$ 可表示为“$y \leq a$”，故 B 正确；对于 C，变量 $x$ 至少为 $a$ 可表示为“$x \geq a$”，故 C 错误；对于 D，小明的身高为 $x cm$，小华的身高为 $y cm$，则小明比小华矮表示为“$x ＜ y$”，故 D 错误.
2.某公司运输一批木材,总质量为600吨,车队有两种类型的货车,$A$型货车载质量为30吨,$B$型货车载质量为24吨,设派出$A型货车x$辆,$B型货车y$辆,则运输方案应满足的关系式是 ()
A.$5x + 4y ＜ 100$
B.$5x + 4y \geqslant 100$
C.$5x + 4y ＞ 100$
D.$5x + 4y \leqslant 100$
A.$5x + 4y ＜ 100$
B.$5x + 4y \geqslant 100$
C.$5x + 4y ＞ 100$
D.$5x + 4y \leqslant 100$
答案
B 根据题意，货车总载质量应该大于或等于木材的总质量，即 $30x + 24y \geq 600$. 化简，得 $5x + 4y \geq 100$.
3.设$a = x^{2} + y^{2}$,$b = 2(x + y - 1)$,则$a,b$的大小关系为 ()
A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a \geqslant b$
D.$a \leqslant b$
A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a \geqslant b$
D.$a \leqslant b$
答案
C 由 $a = x^{2} + y^{2},b = 2(x + y - 1)$，得 $a - b = x^{2} + y^{2} - 2(x + y - 1) = (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 0$，所以 $a \geq b$.
4.(多选)若正实数$x,y满足x ＞ y$,则有下列结论:①$xy ＜ y^{2}$;②$x^{2} ＞ y^{2}$;③$\frac{x}{y} ＞ 1$;④$\frac{1}{x} ＜ \frac{1}{x - y}$.其中正确的结论为 ()
A.①
B.②
C.③
D.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
BCD 依题意，正实数 $x,y$ 满足 $x ＞ y$，则 $x - y ＞ 0$. 若 $x = 2,y = 1$，则 $xy = 2,y^{2} = 1,xy ＞ y^{2}$，所以①错误. $x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y) ＞ 0$，则 $x^{2} ＞ y^{2}$，所以②正确. 由于 $x ＞ y ＞ 0$，所以 $\frac{x}{y} ＞ 1$，所以③正确. $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - y} = \frac{x - y - x}{x(x - y)} = \frac{-y}{x(x - y)} ＜ 0$，所以 $\frac{1}{x} ＜ \frac{1}{x - y}$，所以④正确.
5.已知$P = 3a - 1$,$Q = 2a + a^{2}$,则$P$____$Q$.(填“$＞$”或“$＜$”)
答案
$＜$ 因为 $P = 3a - 1,Q = 2a + a^{2}$，所以 $Q - P = 2a + a^{2} - (3a - 1) = a^{2} - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，所以 $Q ＞ P$，即 $P ＜ Q$.
6.在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm,人跑开的速度为每秒4m,距离爆破点150m以外(含150m)为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区,导火索的长度$x$(单位:cm)应满足的不等式为____.
答案
$4 \times \frac{x}{0.5} \geq 150$ 因为导火索的长度为 $x$，所以导火索燃烧的时间为 $\frac{x}{0.5}s$，人在此时间内跑的路程为 $(4 \times \frac{x}{0.5})m$. 由题意，得 $4 \times \frac{x}{0.5} \geq 150$.
7.(教材改编题)比较下列各组中两式的大小:
(1)$(x + 5)(x + 7)与(x + 6)^{2}$;
(2)$a + b^{2} + 1与a + b$;
(3)当$0 ＜ a ＜ 1$,$0 ＜ b ＜ 1$时,$ab与a + b - 1$.
(1)$(x + 5)(x + 7)与(x + 6)^{2}$;
(2)$a + b^{2} + 1与a + b$;
(3)当$0 ＜ a ＜ 1$,$0 ＜ b ＜ 1$时,$ab与a + b - 1$.
答案
解：(1) 因为 $(x + 5)(x + 7) - (x + 6)^{2} = x^{2} + 12x + 35 - (x^{2} + 12x + 36) = -1 ＜ 0$，所以 $(x + 5)(x + 7) ＜ (x + 6)^{2}$.
(2) 因为 $a + b^{2} + 1 - (a + b) = b^{2} + 1 - b = (b - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，所以 $a + b^{2} + 1 ＞ a + b$.
(3) 因为 $ab - (a + b - 1) = ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$，且 $0 ＜ a ＜ 1,0 ＜ b ＜ 1$，所以 $a - 1 ＜ 0,b - 1 ＜ 0$，所以 $(a - 1)(b - 1) ＞ 0$，所以 $ab ＞ a + b - 1$.
(2) 因为 $a + b^{2} + 1 - (a + b) = b^{2} + 1 - b = (b - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，所以 $a + b^{2} + 1 ＞ a + b$.
(3) 因为 $ab - (a + b - 1) = ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$，且 $0 ＜ a ＜ 1,0 ＜ b ＜ 1$，所以 $a - 1 ＜ 0,b - 1 ＜ 0$，所以 $(a - 1)(b - 1) ＞ 0$，所以 $ab ＞ a + b - 1$.
