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1. 若$x= -1是关于x的方程x+2k-3= 0$的解,则$k$的值是 ( )
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
D
解析
将$x = -1$代入方程$x + 2k - 3 = 0$，得$-1 + 2k - 3 = 0$。
化简得$2k - 4 = 0$。
移项得$2k = 4$。
解得$k = 2$。
D
化简得$2k - 4 = 0$。
移项得$2k = 4$。
解得$k = 2$。
D
2. 下列各方程,变形正确的是 ( )
A.$-\frac{x}{3}= 1化为x= -\frac{1}{3}$
B.$1-[x-(2-x)]= x化为3x= -1$
C.$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}= 1化为3x-2x+2= 1$
D.$\frac{x-3}{5}-\frac{x+4}{2}= 1化为2(x-3)-5(x+4)= 10$
A.$-\frac{x}{3}= 1化为x= -\frac{1}{3}$
B.$1-[x-(2-x)]= x化为3x= -1$
C.$\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}= 1化为3x-2x+2= 1$
D.$\frac{x-3}{5}-\frac{x+4}{2}= 1化为2(x-3)-5(x+4)= 10$
答案
D
解析
A. $-\frac{x}{3}=1$，两边同乘$-3$得$x=-3$，变形错误。
B. $1-[x-(2-x)]=x$，去括号得$1-(x-2+x)=x$，即$1-(2x-2)=x$，$1-2x+2=x$，移项合并得$-3x=-3$，变形错误。
C. $\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1$，两边同乘6得$3x - 2(x - 1)=6$，即$3x - 2x + 2=6$，变形错误。
D. $\frac{x-3}{5}-\frac{x+4}{2}=1$，两边同乘10得$2(x - 3)-5(x + 4)=10$，变形正确。
D
B. $1-[x-(2-x)]=x$，去括号得$1-(x-2+x)=x$，即$1-(2x-2)=x$，$1-2x+2=x$，移项合并得$-3x=-3$，变形错误。
C. $\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1$，两边同乘6得$3x - 2(x - 1)=6$，即$3x - 2x + 2=6$，变形错误。
D. $\frac{x-3}{5}-\frac{x+4}{2}=1$，两边同乘10得$2(x - 3)-5(x + 4)=10$，变形正确。
D
3. 小林同学解关于$x的方程3m+2x= 4$时,不小心将$+2x看成了-2x$,得到方程的解是$x= 1$,那么原方程正确的解是 ( )
A.$x= 2$
B.$x= -1$
C.$x= \frac{2}{3}$
D.$x= 5$
A.$x= 2$
B.$x= -1$
C.$x= \frac{2}{3}$
D.$x= 5$
答案
B
解析
小林同学误将方程$3m + 2x = 4$看成$3m - 2x = 4$，且此时方程的解为$x = 1$。
把$x = 1$代入$3m - 2x = 4$，得：
$\begin{aligned}3m - 2×1 &= 4\\3m - 2 &= 4\\3m &= 4 + 2\\3m &= 6\\m &= 2\end{aligned}$
将$m = 2$代入原方程$3m + 2x = 4$，得：
$\begin{aligned}3×2 + 2x &= 4\\6 + 2x &= 4\\2x &= 4 - 6\\2x &= -2\\x &= -1\end{aligned}$
原方程正确的解是$x = -1$。
B
把$x = 1$代入$3m - 2x = 4$，得：
$\begin{aligned}3m - 2×1 &= 4\\3m - 2 &= 4\\3m &= 4 + 2\\3m &= 6\\m &= 2\end{aligned}$
将$m = 2$代入原方程$3m + 2x = 4$，得：
$\begin{aligned}3×2 + 2x &= 4\\6 + 2x &= 4\\2x &= 4 - 6\\2x &= -2\\x &= -1\end{aligned}$
原方程正确的解是$x = -1$。
B
4. 已知关于$x的方程x-\frac{4-ax}{6}= \frac{x+4}{3}-1$的解是正整数,则符合条件的所有整数$a$的积是 ( )
A.$12$
B.$36$
C.$-4$
D.$-12$
A.$12$
B.$36$
C.$-4$
D.$-12$
答案
D
解析
解方程$x - \frac{4 - ax}{6} = \frac{x + 4}{3} - 1$：
1. 去分母，两边同乘6：$6x - (4 - ax) = 2(x + 4) - 6$
2. 去括号：$6x - 4 + ax = 2x + 8 - 6$
3. 移项合并同类项：$(6 + a - 2)x = 8 - 6 + 4$，即$(a + 4)x = 6$
4. 解得：$x = \frac{6}{a + 4}$
因为$x$是正整数，所以$\frac{6}{a + 4}$为正整数，$a + 4$是6的正因数。
6的正因数为1，2，3，6，因此：
$a + 4 = 1$，$a = -3$
$a + 4 = 2$，$a = -2$
$a + 4 = 3$，$a = -1$
$a + 4 = 6$，$a = 2$
符合条件的整数$a$为-3，-2，-1，2，其积为$(-3)×(-2)×(-1)×2 = -12$
D
1. 去分母，两边同乘6：$6x - (4 - ax) = 2(x + 4) - 6$
2. 去括号：$6x - 4 + ax = 2x + 8 - 6$
3. 移项合并同类项：$(6 + a - 2)x = 8 - 6 + 4$，即$(a + 4)x = 6$
4. 解得：$x = \frac{6}{a + 4}$
因为$x$是正整数，所以$\frac{6}{a + 4}$为正整数，$a + 4$是6的正因数。
6的正因数为1，2，3，6，因此：
$a + 4 = 1$，$a = -3$
$a + 4 = 2$，$a = -2$
$a + 4 = 3$，$a = -1$
$a + 4 = 6$，$a = 2$
符合条件的整数$a$为-3，-2，-1，2，其积为$(-3)×(-2)×(-1)×2 = -12$
D
5. 方程$-\frac{2}{5}x-1= x$的解为______.
答案
$x=-\dfrac{5}{7}$
解析
解：$-\frac{2}{5}x - 1 = x$
$-\frac{2}{5}x - x = 1$
$-\frac{7}{5}x = 1$
$x = -\frac{5}{7}$
$-\frac{2}{5}x - x = 1$
$-\frac{7}{5}x = 1$
$x = -\frac{5}{7}$
6. 当$a= $______时,代数式$2a+\frac{1}{3}与3(a-\frac{1}{3})$的值互为相反数.
答案
$\dfrac{2}{15}$
解析
因为代数式$2a + \frac{1}{3}$与$3(a - \frac{1}{3})$的值互为相反数，所以$2a + \frac{1}{3} + 3(a - \frac{1}{3}) = 0$。
去括号得：$2a + \frac{1}{3} + 3a - 1 = 0$。
合并同类项得：$5a - \frac{2}{3} = 0$。
移项得：$5a = \frac{2}{3}$。
解得：$a = \frac{2}{15}$。
$\frac{2}{15}$
去括号得：$2a + \frac{1}{3} + 3a - 1 = 0$。
合并同类项得：$5a - \frac{2}{3} = 0$。
移项得：$5a = \frac{2}{3}$。
解得：$a = \frac{2}{15}$。
$\frac{2}{15}$
7. 在有理数范围内定义一种新运算“$\oplus$”,其运算规则为$a\oplus b= -2a+3b$,如$1\oplus 5= -2× 1+3× 5= 13$.若$2x\oplus 4= 0$,则$x$的值为______.
答案
3
解析
由新运算规则可得：$2x \oplus 4 = -2(2x) + 3×4$
因为$2x \oplus 4 = 0$，所以$-2(2x) + 3×4 = 0$
即$-4x + 12 = 0$
移项得$-4x = -12$
解得$x = 3$
因为$2x \oplus 4 = 0$，所以$-2(2x) + 3×4 = 0$
即$-4x + 12 = 0$
移项得$-4x = -12$
解得$x = 3$
8. 小明解关于$x的方程\frac{2x-1}{3}= \frac{x+a}{2}-3$,去分母时,方程右边的$-3忘记乘6$,因而求出的解为$x= 2$,则原方程正确的解为______.
答案
$x=-13$
解析
小明去分母时，方程右边的$-3$忘记乘$6$，则方程变为：
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 3$
把$x = 2$代入上式：
$2(2×2 - 1) = 3(2 + a) - 3$
$2×3 = 6 + 3a - 3$
$6 = 3 + 3a$
$3a = 3$
$a = 1$
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2} - 3$，去分母得：
$2(2x - 1) = 3(x + 1) - 18$
$4x - 2 = 3x + 3 - 18$
$4x - 3x = 3 - 18 + 2$
$x = -13$
$-13$
$2(2x - 1) = 3(x + a) - 3$
把$x = 2$代入上式：
$2(2×2 - 1) = 3(2 + a) - 3$
$2×3 = 6 + 3a - 3$
$6 = 3 + 3a$
$3a = 3$
$a = 1$
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2} - 3$，去分母得：
$2(2x - 1) = 3(x + 1) - 18$
$4x - 2 = 3x + 3 - 18$
$4x - 3x = 3 - 18 + 2$
$x = -13$
$-13$
