【练2】如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD是边AB上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F。求证：△CEF是等腰三角形。

练 2 证明：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD 是边 AB 上的高，∴∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD.
∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE=∠CAE，
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠CAE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∴△CEF 是等腰三角形.
预备新初二数学(SK 版)
【解题技巧】在解决某些证明题时，可以从已知条件和要证的结论这两条线来推导，即根据“已知条件能得到什么结论”正推或根据“什么条件能得到这个结论”倒推，以得到整个证明过程.
以本题为例，要证△CEF 是等腰三角形，就要找到△CEF 中的“等边”，即 CE=CF；要证 CE=CF，就要证△CEF 中的“等角”，即∠CEF=∠CFE，而∠CEF 和∠CFE 分别是△ABE 与△AFC 的外角，故可分别用∠B+∠BAE 和∠ACD+∠CAE 来表示.由条件 AE 平分∠BAC，知∠BAE=∠CAE，故本题可转化为证∠B=∠ACD.已知 CD⊥AB 及∠ACB=90°，即可根据“同角的余角相等”证得∠B=∠ACD，从而证明△CEF 是等腰三角形.

1. 一个等腰三角形的周长为 13 cm,其中一边长为 3 cm,则该等腰三角形的底边长为()
A.7 cm
B.3 cm
C.7 cm 或 3 cm
D.8 cm

B [解析]当 3 cm 长的边为底边时,腰长为$(13 - 3)×\frac{1}{2}=5(cm).$
当 3 cm 长的边为腰时,底边长为$13 - 3 - 3 = 7(cm)$,而$3 + 3 = 6 ＜ 7$,不满足三角形的三边关系,所以这个等腰三角形的底边长为 3 cm.

2. 某等腰三角形的一个内角是 $ 50 ^ { \circ } $,则它的底角是()
A.$ 50 ^ { \circ } $ 或 $ 65 ^ { \circ } $
B.$ 80 ^ { \circ } $ 或 $ 40 ^ { \circ } $
C.$ 65 ^ { \circ } $ 或 $ 80 ^ { \circ } $
D.$ 50 ^ { \circ } $ 或 $ 80 ^ { \circ } $

A [解析]当该内角是底角时,这个等腰三角形的底角就是$50^{\circ}$;当该内角是顶角时,这个等腰三角形的底角是$(180^{\circ} - 50^{\circ})÷2 = 65^{\circ}$.综上,这个等腰三角形的底角是$50^{\circ}$或$65^{\circ}$.
[易错警示]当已知边未说明是底边还是腰或已知角未说明是顶角还是底角时,要注意分类讨论.

3. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ \angle B A C = 100 ^ { \circ } $,$ A D $ 是边 $ B C $ 上的中线,且 $ B D = B E $,则 $ \angle A D E $ 的度数为()
A.$ 10 ^ { \circ } $
B.$ 20 ^ { \circ } $
C.$ 30 ^ { \circ } $
D.$ 40 ^ { \circ } $

B [解析]∵$AB = AC$,AD 是边 BC 上的中线,∴AD 平分$∠BAC$,$AD⊥BC$.∵$∠BAC = 100^{\circ}$,∴$∠BAD = ∠CAD = 50^{\circ}$,∴$∠B = 40^{\circ}$.∵$BD = BE$,∴$∠BED = ∠BDE = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$,∴$∠ADE = ∠ADB - ∠BDE = 20^{\circ}$

4. 如图,上午 8 时,一艘船从海岛 $ A $ 出发,以 15 n mile/h 的速度向正北航行,当天中午 12 时到达海岛 $ B $ 处. 从海岛 $ A $ 和海岛 $ B $ 处望向灯塔 $ C $,测得 $ \angle N A C = 42 ^ { \circ } $,$ \angle N B C = 84 ^ { \circ } $,则海岛 $ B $ 与灯塔 $ C $ 之间的距离为____.

60 n mile [解析]由题意,得$AB = 15×4 = 60(n mile).$
∵$∠NAC = 42^{\circ}$,$∠NBC = 84^{\circ}$,∴$∠C = ∠NBC - ∠NAC = 42^{\circ}$,∴$∠C = ∠NAC$,∴$BC = AB = 60 n mile$,即海岛 B 与灯塔 C 之间的距离为 60 n mile.

5. 如图,已知 $ \triangle A B C $ 为等腰三角形,$ B D $,$ C E $ 为底角的平分线,且 $ \angle D B C = \angle F $. 求证：$ E C // D F $.

证明:∵$△ABC$为等腰三角形,∴,$∠ABC = ∠ACB$.
∵BD,CE 为底角的平分线,∴$∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}∠ACB = $.
∵$∠DBC = ∠F$,∴,∴$EC// DF$.

证明:∵$△ABC$为等腰三角形,∴$AB = AC$,$∠ABC = ∠ACB$.
∵BD,CE 为底角的平分线,∴$∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}∠ACB = ∠ECB$.
∵$∠DBC = ∠F$,∴$∠ECB = ∠F$,∴$EC// DF$.