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5. 计算：
(1) $ (\sqrt{3})^2 + \sqrt[3]{(-8)^2} - (\pi - 3)^0 $；
(2) $ \sqrt[3]{27} + |\sqrt{3} - 3| + \sqrt{(-2)^2} $.
(1) $ (\sqrt{3})^2 + \sqrt[3]{(-8)^2} - (\pi - 3)^0 $；
(2) $ \sqrt[3]{27} + |\sqrt{3} - 3| + \sqrt{(-2)^2} $.
答案
解:(1) 原式 $= 3 + \sqrt[3]{64} - 1$
$= 3 + 4 - 1$
$= 6$.
(2) 原式 $= 3 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{4}$
$= 3 + 3 - \sqrt{3} + 2$
$= 8 - \sqrt{3}$.
$= 3 + 4 - 1$
$= 6$.
(2) 原式 $= 3 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{4}$
$= 3 + 3 - \sqrt{3} + 2$
$= 8 - \sqrt{3}$.
6. (江苏苏州吴中区期中) 如图,已知长方形内有两个相邻的正方形,它们的面积分别为 $ 2 $ 和 $ 4 $,那么阴影部分的面积为______
$2\sqrt{2} - 2$
.答案
$2\sqrt{2} - 2$ [解析]根据题意,得长方形的长为 $\sqrt{4} + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$, 宽为 $\sqrt{4} = 2$,
∴ 阴影部分的面积为 $2 × (2 + \sqrt{2}) - 2 - 4 = 2\sqrt{2} - 2$.
∴ 阴影部分的面积为 $2 × (2 + \sqrt{2}) - 2 - 4 = 2\sqrt{2} - 2$.
7. 练思维·归纳推理 如图,细心观察,认真分析各式,然后解答问题.
$ OA_2^2 = 1^2 + 1 = 2 $,$ S_1 = \frac{1}{2} $($ S_1 $ 是 $ \triangle OA_1A_2 $ 的面积)；
$ OA_3^2 = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 $,$ S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} $($ S_2 $ 是 $ \triangle OA_2A_3 $ 的面积)；
$ OA_4^2 = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4 $,$ S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} $($ S_3 $ 是 $ \triangle OA_3A_4 $ 的面积)；
……
(1) $ OA_6^2 = $
(2) 用含有 $ n $($ n $ 为正整数)的式子表示 $ S_n $.$ S_n $=
$ OA_2^2 = 1^2 + 1 = 2 $,$ S_1 = \frac{1}{2} $($ S_1 $ 是 $ \triangle OA_1A_2 $ 的面积)；
$ OA_3^2 = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 $,$ S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} $($ S_2 $ 是 $ \triangle OA_2A_3 $ 的面积)；
$ OA_4^2 = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4 $,$ S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} $($ S_3 $ 是 $ \triangle OA_3A_4 $ 的面积)；
……
(1) $ OA_6^2 = $
6
,$ S_5 = $$\frac{\sqrt{5}}{2}$
；(2) 用含有 $ n $($ n $ 为正整数)的式子表示 $ S_n $.$ S_n $=
$\frac{\sqrt{n}}{2}$
答案
【解析】：
(1) 观察规律可得：$OA_{n}^{2}=n$，$S_{n - 1}=\frac{\sqrt{n - 1}}{2}$。
当$n = 6$时，$OA_{6}^{2}=6$；当$n - 1 = 5$即$n = 6$时，$S_{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2) 由前面式子规律可知$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
【答案】：
(1) $6$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
(1) 观察规律可得：$OA_{n}^{2}=n$，$S_{n - 1}=\frac{\sqrt{n - 1}}{2}$。
当$n = 6$时，$OA_{6}^{2}=6$；当$n - 1 = 5$即$n = 6$时，$S_{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2) 由前面式子规律可知$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
【答案】：
(1) $6$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$。
8. (江苏常州改编) 先化简,再求值：$ (x + 1)^2 - x(x + 1) $,其中 $ x = \sqrt{3} - 1 $.
答案
【解析】：
本题可先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则对原式进行化简，再将$x$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式$(x + 1)^2 - x(x + 1)$**
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$(x + 1)^2$展开可得$x^2 + 2x + 1$。
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$x(x + 1)=x^2 + x$。
将上述结果代入原式可得：
$(x + 1)^2 - x(x + 1)=x^2 + 2x + 1 - (x^2 + x)$
去括号：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$x^2 + 2x + 1 - x^2 - x$。
合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，可得$(x^2 - x^2)+(2x - x)+1=x + 1$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{3} - 1$代入化简后的式子$x + 1$，可得：
$\sqrt{3} - 1 + 1=\sqrt{3}$
【答案】：$\sqrt{3}$
本题可先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则对原式进行化简，再将$x$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式$(x + 1)^2 - x(x + 1)$**
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$(x + 1)^2$展开可得$x^2 + 2x + 1$。
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$x(x + 1)=x^2 + x$。
将上述结果代入原式可得：
$(x + 1)^2 - x(x + 1)=x^2 + 2x + 1 - (x^2 + x)$
去括号：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$x^2 + 2x + 1 - x^2 - x$。
合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，可得$(x^2 - x^2)+(2x - x)+1=x + 1$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{3} - 1$代入化简后的式子$x + 1$，可得：
$\sqrt{3} - 1 + 1=\sqrt{3}$
【答案】：$\sqrt{3}$
9. (江苏连云港) 计算：$ | - 2 | + (\pi - 1)^0 - \sqrt{16} $.
答案
【解析】：本题可根据绝对值、零指数幂以及算术平方根的运算法则分别化简各项，再进行加减运算。
**步骤一：化简$\vert -2\vert$。**
根据绝对值的性质：正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
因为$-2$是负数，所以$\vert -2\vert = -(-2)= 2$。
**步骤二：化简$(\pi - 1)^0$。**
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq 0$）。
因为$\pi\approx3.14$，所以$\pi - 1\neq 0$，那么$(\pi - 1)^0 = 1$。
**步骤三：化简$\sqrt{16}$。**
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$4^2 = 16$，所以$\sqrt{16} = 4$。
**步骤四：计算原式的值。**
将上述化简结果代入原式可得：
$\vert -2\vert + (\pi - 1)^0 - \sqrt{16}= 2 + 1 - 4 = -1$。
【答案】：$-1$
**步骤一：化简$\vert -2\vert$。**
根据绝对值的性质：正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
因为$-2$是负数，所以$\vert -2\vert = -(-2)= 2$。
**步骤二：化简$(\pi - 1)^0$。**
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq 0$）。
因为$\pi\approx3.14$，所以$\pi - 1\neq 0$，那么$(\pi - 1)^0 = 1$。
**步骤三：化简$\sqrt{16}$。**
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$4^2 = 16$，所以$\sqrt{16} = 4$。
**步骤四：计算原式的值。**
将上述化简结果代入原式可得：
$\vert -2\vert + (\pi - 1)^0 - \sqrt{16}= 2 + 1 - 4 = -1$。
【答案】：$-1$
