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12. 新情境·趣味数学（2026四川宜宾期末）现有甲、乙、丙三个不透明的袋子，每个袋子里装有相同数量且完全相同的小球，每个袋子里小球的数量足够多. 先从甲袋中取出5个小球放入乙袋，再从丙袋中取出4个小球放入乙袋，最后从乙袋中取出与此时丙袋中数量相同的小球放入丙袋，这时乙袋中的小球数量为（
A.12个
B.13个
C.14个
D.15个
B
）A.12个
B.13个
C.14个
D.15个
答案
12. B 解析 设甲、乙、丙三个袋子中最初均有n个小球.从甲袋中取出5个小球放入乙袋,再从丙袋中取出4个小球放入乙袋后,甲袋中有$(n-5)$个小球,乙袋中有$(n+9)$个小球,丙袋中有$(n-4)$个小球.从乙袋中取出与此时丙袋中数量相同的小球放入丙袋后,乙袋剩余小球的数量为$(n+9)-(n-4)=n+9-n+4=13$(个).故选B.
解析
【分析】
这道题没有给出三个袋子最初的小球具体数量，仅说明最初三袋小球数量相同，我们可以先设最初每个袋子的小球数量为n（n为正整数），再按照题目描述的三步操作，依次列式表示每一步操作后乙袋、丙袋的小球数量，最后根据第三步的操作规则计算乙袋剩余的小球数量，计算过程中未知数n会被消去，即可得到固定结果。
【解析】
设甲、乙、丙三个袋子中最初均有n个小球。
1. 从甲袋中取出5个小球放入乙袋后，乙袋的小球数量为$n+5$，丙袋数量仍为n；
2. 再从丙袋中取出4个小球放入乙袋后，乙袋的小球数量为$n+5+4=n+9$，此时丙袋的小球数量为$n-4$；
3. 最后从乙袋中取出与此时丙袋中数量相同的小球（即$n-4$个）放入丙袋，乙袋剩余的小球数量为：
$(n+9)-(n-4)=n+9-n+4=13$（个）
故选B。
【答案】B
【知识点】用字母表示数；列代数式；整式的加减运算
【点评】本题结合取放球的实操情境设置问题，解题核心是理清每一步操作后各袋小球的数量变化规律，无需知晓初始小球的具体数值，通过设未知数列式计算即可得到结果，能很好地考查整式加减的实际应用能力。
【难度系数】0.7
这道题没有给出三个袋子最初的小球具体数量，仅说明最初三袋小球数量相同，我们可以先设最初每个袋子的小球数量为n（n为正整数），再按照题目描述的三步操作，依次列式表示每一步操作后乙袋、丙袋的小球数量，最后根据第三步的操作规则计算乙袋剩余的小球数量，计算过程中未知数n会被消去，即可得到固定结果。
【解析】
设甲、乙、丙三个袋子中最初均有n个小球。
1. 从甲袋中取出5个小球放入乙袋后，乙袋的小球数量为$n+5$，丙袋数量仍为n；
2. 再从丙袋中取出4个小球放入乙袋后，乙袋的小球数量为$n+5+4=n+9$，此时丙袋的小球数量为$n-4$；
3. 最后从乙袋中取出与此时丙袋中数量相同的小球（即$n-4$个）放入丙袋，乙袋剩余的小球数量为：
$(n+9)-(n-4)=n+9-n+4=13$（个）
故选B。
【答案】B
【知识点】用字母表示数；列代数式；整式的加减运算
【点评】本题结合取放球的实操情境设置问题，解题核心是理清每一步操作后各袋小球的数量变化规律，无需知晓初始小球的具体数值，通过设未知数列式计算即可得到结果，能很好地考查整式加减的实际应用能力。
【难度系数】0.7
13.将连续奇数1,3,5,7,…按照如图所示的方式排列,将“+”形框上、下、左、右移动,可任意框住五个数.若设“+”形框框出的五个数中正中间的数为a,则“+”形框框出的这五个数之和为
$5a$
.答案
13. $5a$ 解析 由题图可得,剩余的四个数分别为$a-10,a+10,a-2,a+2$,所以这五个数之和为$a-10+a+10+a+a-2+a+2=5a$.
解析
【分析】
解题时先观察奇数的排列规律：每行有5个连续奇数，上下相邻两个同列的数相差10（因为每行有5个相邻差为2的奇数，同列上下数总差为$5×2=10$），左右相邻的数相差2。已知中间数为a，我们可以先用a分别表示出上、下、左、右的四个数，再将五个数相加，化简后就能得到五个数的和。
【解析】
观察数阵规律可知：
中间数为a时，它上方的数比它小10，即$a-10$；
它下方的数比它大10，即$a+10$；
它左侧的数比它小2，即$a-2$；
它右侧的数比它大2，即$a+2$。
则五个数的和为：
$\begin{aligned}&(a-10)+(a+10)+a+(a-2)+(a+2)\\=&a-10+a+10+a+a-2+a+2\\=&5a\end{aligned}$
【答案】
$5a$
【知识点】
用字母表示数，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是找到数阵中数的位置与数值的对应关系，通过用中间数表示其余四个数，再利用整式加减的运算性质化简即可得到结果，解题时注意抵消相反项可以简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察奇数的排列规律：每行有5个连续奇数，上下相邻两个同列的数相差10（因为每行有5个相邻差为2的奇数，同列上下数总差为$5×2=10$），左右相邻的数相差2。已知中间数为a，我们可以先用a分别表示出上、下、左、右的四个数，再将五个数相加，化简后就能得到五个数的和。
【解析】
观察数阵规律可知：
中间数为a时，它上方的数比它小10，即$a-10$；
它下方的数比它大10，即$a+10$；
它左侧的数比它小2，即$a-2$；
它右侧的数比它大2，即$a+2$。
则五个数的和为：
$\begin{aligned}&(a-10)+(a+10)+a+(a-2)+(a+2)\\=&a-10+a+10+a+a-2+a+2\\=&5a\end{aligned}$
【答案】
$5a$
【知识点】
用字母表示数，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是找到数阵中数的位置与数值的对应关系，通过用中间数表示其余四个数，再利用整式加减的运算性质化简即可得到结果，解题时注意抵消相反项可以简化计算。
【难度系数】
0.8
14.已知$a=m^2+mn+n^2$，$b=mn-n^2$，$c=mn-4m^2-n^2$（$m,n$为有理数且均不为0），比较$a,b,c$的大小：$\underline{\hspace{8cm}}$.（用“＜”连接）
答案
14. $c＜b＜a$ 解析 因为$a-b=m^2+mn+n^2-(mn-n^2)=m^2+2n^2$,$m^2+2n^2＞0$,所以$b＜a$.因为$b-c=mn-n^2-(mn-4m^2-n^2)=4m^2$,$4m^2＞0$,所以$c＜b$, 所以$c＜b＜a$.
解析
【分析】
比较多个整式的大小通常采用作差法，通过判断两个整式的差与0的大小关系，就能确定二者的大小。本题我们可以两两作差比较：先计算a与b的差，化简后根据平方的非负性判断差的正负，得到a和b的大小关系；再计算b与c的差，同理判断差的正负得到b和c的大小关系，最后整合结果即可排出a、b、c的顺序。
【解析】
采用作差法两两比较大小：
1. 比较a和b的大小：
$a-b=(m^2+mn+n^2)-(mn-n^2)$
去括号得：$a-b=m^2+mn+n^2-mn+n^2$
合并同类项得：$a-b=m^2+2n^2$
已知m、n为不为0的有理数，因此$m^2＞0$，$n^2＞0$，可得$m^2+2n^2＞0$，即$a-b＞0$，所以$a＞b$。
2. 比较b和c的大小：
$b-c=(mn-n^2)-(mn-4m^2-n^2)$
去括号得：$b-c=mn-n^2-mn+4m^2+n^2$
合并同类项得：$b-c=4m^2$
已知m为不为0的有理数，因此$m^2＞0$，可得$4m^2＞0$，即$b-c＞0$，所以$b＞c$。
综上可得$c＜b＜a$。
【答案】
$c＜b＜a$
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题重点考查整式加减运算的实际应用，作差法是比较代数式大小的常用方法，解题的关键是正确去括号、合并同类项，结合平方的非负性判断差的正负，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
比较多个整式的大小通常采用作差法，通过判断两个整式的差与0的大小关系，就能确定二者的大小。本题我们可以两两作差比较：先计算a与b的差，化简后根据平方的非负性判断差的正负，得到a和b的大小关系；再计算b与c的差，同理判断差的正负得到b和c的大小关系，最后整合结果即可排出a、b、c的顺序。
【解析】
采用作差法两两比较大小：
1. 比较a和b的大小：
$a-b=(m^2+mn+n^2)-(mn-n^2)$
去括号得：$a-b=m^2+mn+n^2-mn+n^2$
合并同类项得：$a-b=m^2+2n^2$
已知m、n为不为0的有理数，因此$m^2＞0$，$n^2＞0$，可得$m^2+2n^2＞0$，即$a-b＞0$，所以$a＞b$。
2. 比较b和c的大小：
$b-c=(mn-n^2)-(mn-4m^2-n^2)$
去括号得：$b-c=mn-n^2-mn+4m^2+n^2$
合并同类项得：$b-c=4m^2$
已知m为不为0的有理数，因此$m^2＞0$，可得$4m^2＞0$，即$b-c＞0$，所以$b＞c$。
综上可得$c＜b＜a$。
【答案】
$c＜b＜a$
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；平方的非负性
【点评】
本题重点考查整式加减运算的实际应用，作差法是比较代数式大小的常用方法，解题的关键是正确去括号、合并同类项，结合平方的非负性判断差的正负，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15.☆新素养·推理能力（2026河南南阳内乡县期末）【知识背景】
定义1:若把一个关于x,y的多项式中的x,y互换,所得的结果与原式相同,则称此多项式是关于x,y的“二元对称多项式”.例如,$x+y,x^2+3xy+y^2$都是关于x,y的二元对称多项式.
定义2:已知A,B,C都是关于x,y的多项式,若A,B,C中的多项式C是二元对称多项式,多项式A,B通过加减运算可得到多项式C,则称$[A,B,C]$为“二元对称关联式”.
【知识应用】
(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式:①它是关于x,y的三次四项式;②它不能合并同类项;③按照x的降幂排列.
(2)$[2x^2 - xy - y^2, x^2 - xy - 2y^2, x^2 + y^2]$和$[-x^2 + y^2 + xy, 2xy + 2y^2, x^2 + xy + y^2]$是不是二元对称关联式?请写出过程.
(3)若$[A, xy + y^2, x^2 - 2xy + y^2]$是二元对称关联式,请写出所有符合条件的多项式A.
定义1:若把一个关于x,y的多项式中的x,y互换,所得的结果与原式相同,则称此多项式是关于x,y的“二元对称多项式”.例如,$x+y,x^2+3xy+y^2$都是关于x,y的二元对称多项式.
定义2:已知A,B,C都是关于x,y的多项式,若A,B,C中的多项式C是二元对称多项式,多项式A,B通过加减运算可得到多项式C,则称$[A,B,C]$为“二元对称关联式”.
【知识应用】
(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式:①它是关于x,y的三次四项式;②它不能合并同类项;③按照x的降幂排列.
(2)$[2x^2 - xy - y^2, x^2 - xy - 2y^2, x^2 + y^2]$和$[-x^2 + y^2 + xy, 2xy + 2y^2, x^2 + xy + y^2]$是不是二元对称关联式?请写出过程.
(3)若$[A, xy + y^2, x^2 - 2xy + y^2]$是二元对称关联式,请写出所有符合条件的多项式A.
答案
15. 解:(1)$x^3+x^2y+xy^2+y^3$.(答案不唯一)
(2)对于$[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2]$,$A=2x^2-xy-y^2$,$B=x^2-xy-2y^2$,$C=x^2+y^2$.
将$x^2+y^2$中的x,y互换,得$y^2+x^2$,$y^2+x^2=x^2+y^2$,
所以C是二元对称多项式.
$A-B=(2x^2-xy-y^2)-(x^2-xy-2y^2)=2x^2-xy-y^2-x^2+xy+2y^2=x^2+y^2=C$,即A与B通过减法运算可得到C,
所以$[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2]$是二元对称关联式.
对于$[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$,$A=-x^2+y^2+xy$,$B=2xy+2y^2$,$C=x^2+xy+y^2$.
将$x^2+xy+y^2$中的x,y互换,得$y^2+yx+x^2$,$y^2+yx+x^2=x^2+xy+y^2$,所以C是二元对称多项式.
$B-A=(2xy+2y^2)-(-x^2+y^2+xy)=2xy+2y^2+x^2-y^2-xy=x^2+xy+y^2=C$,即B与A通过减法运算可得到C,
所以$[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$是二元对称关联式.
(3)已知$[A,xy+y^2,x^2-2xy+y^2]$是二元对称关联式,其中$B=xy+y^2$,$C=x^2-2xy+y^2$,易知C是二元对称多项式.分三种情况讨论:
①当$A+B=C$时,$A=C-B=(x^2-2xy+y^2)-(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2-xy-y^2=x^2-3xy$;
②当$A-B=C$时,$A=C+B=(x^2-2xy+y^2)+(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2+xy+y^2=x^2-xy+2y^2$;
③当$B-A=C$时,$A=B-C=(xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=xy+y^2-x^2+2xy-y^2=-x^2+3xy$.
综上所述,所有符合条件的多项式A为$x^2-3xy$, $x^2-xy+2y^2$,$-x^2+3xy$.
(2)对于$[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2]$,$A=2x^2-xy-y^2$,$B=x^2-xy-2y^2$,$C=x^2+y^2$.
将$x^2+y^2$中的x,y互换,得$y^2+x^2$,$y^2+x^2=x^2+y^2$,
所以C是二元对称多项式.
$A-B=(2x^2-xy-y^2)-(x^2-xy-2y^2)=2x^2-xy-y^2-x^2+xy+2y^2=x^2+y^2=C$,即A与B通过减法运算可得到C,
所以$[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2]$是二元对称关联式.
对于$[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$,$A=-x^2+y^2+xy$,$B=2xy+2y^2$,$C=x^2+xy+y^2$.
将$x^2+xy+y^2$中的x,y互换,得$y^2+yx+x^2$,$y^2+yx+x^2=x^2+xy+y^2$,所以C是二元对称多项式.
$B-A=(2xy+2y^2)-(-x^2+y^2+xy)=2xy+2y^2+x^2-y^2-xy=x^2+xy+y^2=C$,即B与A通过减法运算可得到C,
所以$[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$是二元对称关联式.
(3)已知$[A,xy+y^2,x^2-2xy+y^2]$是二元对称关联式,其中$B=xy+y^2$,$C=x^2-2xy+y^2$,易知C是二元对称多项式.分三种情况讨论:
①当$A+B=C$时,$A=C-B=(x^2-2xy+y^2)-(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2-xy-y^2=x^2-3xy$;
②当$A-B=C$时,$A=C+B=(x^2-2xy+y^2)+(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2+xy+y^2=x^2-xy+2y^2$;
③当$B-A=C$时,$A=B-C=(xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=xy+y^2-x^2+2xy-y^2=-x^2+3xy$.
综上所述,所有符合条件的多项式A为$x^2-3xy$, $x^2-xy+2y^2$,$-x^2+3xy$.
解析
【分析】
(1) 根据二元对称多项式的定义，结合三次四项式、无同类项可合并、按x降幂排列的要求构造多项式：x、y互换后原式不变，最高次为3，共4个无同类项的单项式，按x的次数从高到低排列即可。
(2) 判断二元对称关联式需分两步：①先验证第三个多项式C是否为二元对称多项式，即将x、y互换后所得结果与原式是否相同；②验证前两个多项式A、B通过加减运算能否得到C，两者都满足则为二元对称关联式。
(3) 已知C是二元对称多项式，根据定义，A与$xy+y^2$通过加减运算可得到$x^2-2xy+y^2$，分三种情况讨论：$A+B=C$、$A-B=C$、$B-A=C$，分别移项计算A即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 满足条件的二元对称多项式可以为$x^3+x^2y+xy^2+y^3$（答案不唯一，符合要求即可）。
(2) 对于$[2x^2 - xy - y^2, x^2 - xy - 2y^2, x^2 + y^2]$：
首先验证C：将$x^2+y^2$中x、y互换得$y^2+x^2$，和原式相等，故C是二元对称多项式；
再计算A-B：$(2x^2 - xy - y^2)-(x^2 - xy - 2y^2)=2x^2 - xy - y^2 - x^2 + xy + 2y^2=x^2+y^2=C$，即A、B通过减法可得到C，因此该式是二元对称关联式。
对于$[-x^2 + y^2 + xy, 2xy + 2y^2, x^2 + xy + y^2]$：
首先验证C：将$x^2 + xy + y^2$中x、y互换得$y^2 + yx + x^2$，和原式相等，故C是二元对称多项式；
再计算B-A：$(2xy + 2y^2)-(-x^2 + y^2 + xy)=2xy + 2y^2 + x^2 - y^2 - xy=x^2 + xy + y^2=C$，即A、B通过减法可得到C，因此该式是二元对称关联式。
(3) 已知$B=xy+y^2$，$C=x^2-2xy+y^2$，易知C是二元对称多项式，分三种情况计算A：
①当$A+B=C$时，$A=C-B=(x^2-2xy+y^2)-(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2-xy-y^2=x^2-3xy$；
②当$A-B=C$时，$A=C+B=(x^2-2xy+y^2)+(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2+xy+y^2=x^2-xy+2y^2$；
③当$B-A=C$时，$A=B-C=(xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=xy+y^2-x^2+2xy-y^2=-x^2+3xy$。
【答案】
(1) $x^3+x^2y+xy^2+y^3$（答案不唯一）
(2) 两个都是二元对称关联式
(3) $x^2-3xy$，$x^2-xy+2y^2$，$-x^2+3xy$
【知识点】
新定义问题，整式的加减，多项式的概念
【点评】
本题结合新定义考查整式加减的运算能力，需要先准确理解两个新定义的含义，第三问要注意分类讨论所有可能的加减运算情况，避免漏解，有助于提升逻辑推理能力和运算严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 根据二元对称多项式的定义，结合三次四项式、无同类项可合并、按x降幂排列的要求构造多项式：x、y互换后原式不变，最高次为3，共4个无同类项的单项式，按x的次数从高到低排列即可。
(2) 判断二元对称关联式需分两步：①先验证第三个多项式C是否为二元对称多项式，即将x、y互换后所得结果与原式是否相同；②验证前两个多项式A、B通过加减运算能否得到C，两者都满足则为二元对称关联式。
(3) 已知C是二元对称多项式，根据定义，A与$xy+y^2$通过加减运算可得到$x^2-2xy+y^2$，分三种情况讨论：$A+B=C$、$A-B=C$、$B-A=C$，分别移项计算A即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 满足条件的二元对称多项式可以为$x^3+x^2y+xy^2+y^3$（答案不唯一，符合要求即可）。
(2) 对于$[2x^2 - xy - y^2, x^2 - xy - 2y^2, x^2 + y^2]$：
首先验证C：将$x^2+y^2$中x、y互换得$y^2+x^2$，和原式相等，故C是二元对称多项式；
再计算A-B：$(2x^2 - xy - y^2)-(x^2 - xy - 2y^2)=2x^2 - xy - y^2 - x^2 + xy + 2y^2=x^2+y^2=C$，即A、B通过减法可得到C，因此该式是二元对称关联式。
对于$[-x^2 + y^2 + xy, 2xy + 2y^2, x^2 + xy + y^2]$：
首先验证C：将$x^2 + xy + y^2$中x、y互换得$y^2 + yx + x^2$，和原式相等，故C是二元对称多项式；
再计算B-A：$(2xy + 2y^2)-(-x^2 + y^2 + xy)=2xy + 2y^2 + x^2 - y^2 - xy=x^2 + xy + y^2=C$，即A、B通过减法可得到C，因此该式是二元对称关联式。
(3) 已知$B=xy+y^2$，$C=x^2-2xy+y^2$，易知C是二元对称多项式，分三种情况计算A：
①当$A+B=C$时，$A=C-B=(x^2-2xy+y^2)-(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2-xy-y^2=x^2-3xy$；
②当$A-B=C$时，$A=C+B=(x^2-2xy+y^2)+(xy+y^2)=x^2-2xy+y^2+xy+y^2=x^2-xy+2y^2$；
③当$B-A=C$时，$A=B-C=(xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=xy+y^2-x^2+2xy-y^2=-x^2+3xy$。
【答案】
(1) $x^3+x^2y+xy^2+y^3$（答案不唯一）
(2) 两个都是二元对称关联式
(3) $x^2-3xy$，$x^2-xy+2y^2$，$-x^2+3xy$
【知识点】
新定义问题，整式的加减，多项式的概念
【点评】
本题结合新定义考查整式加减的运算能力，需要先准确理解两个新定义的含义，第三问要注意分类讨论所有可能的加减运算情况，避免漏解，有助于提升逻辑推理能力和运算严谨性。
【难度系数】
0.6
