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6. (多选题)甲科技公司的X型机器人(成本为50万元/台)和乙科技公司的W型机器人(成本为30万元/台)均可用于某物流仓库的安防巡检。两公司提供以下租赁方案。
甲公司:月租基础费为2 000元,每小时巡检成本为40元;
乙公司:无月租费,每小时巡检成本为60元。
已知两种机器人的巡检速度均为0.8千米/时,以下关于两种方案月总费用y(元)与巡检时间x(时)关系的结论中,正确的是(
A.按甲公司的方案,租赁费为$y=40x+2000$
B.按乙公司的方案,租赁费为$y=60x$
C.当$x=100$时,甲、乙公司两方案的费用相等
D.甲公司的机器人成本更高,总费用必然更高
甲公司:月租基础费为2 000元,每小时巡检成本为40元;
乙公司:无月租费,每小时巡检成本为60元。
已知两种机器人的巡检速度均为0.8千米/时,以下关于两种方案月总费用y(元)与巡检时间x(时)关系的结论中,正确的是(
ABC
)。A.按甲公司的方案,租赁费为$y=40x+2000$
B.按乙公司的方案,租赁费为$y=60x$
C.当$x=100$时,甲、乙公司两方案的费用相等
D.甲公司的机器人成本更高,总费用必然更高
答案
ABC
解析
【分析】
解题时首先要排除题干中的无关干扰信息：机器人生产成本、巡检速度均与租赁月总费用的计算无关，无需考虑。解题思路如下：第一步，根据甲、乙两公司的租赁收费规则，分别梳理总费用的组成部分，列出y与x的函数关系式，判断选项A、B是否正确；第二步，将x=100分别代入两个函数式计算费用，验证选项C；第三步，通过举反例分析，判断选项D的表述是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：甲公司月租基础费2000元为固定费用，每小时巡检成本40元，因此月总费用=月租+每小时费用×巡检时长，即$y=40x+2000$，A选项正确。
2. 分析选项B：乙公司无月租费，每小时巡检成本60元，因此月总费用=每小时费用×巡检时长，即$y=60x$，B选项正确。
3. 分析选项C：当$x=100$时，甲方案费用：$y=40×100+2000=6000$元；乙方案费用：$y=60×100=6000$元，两方案费用相等，C选项正确。
4. 分析选项D：机器人成本是公司的生产成本，与用户租赁的月总费用无直接关联；且当巡检时长大于100小时时，甲方案的总费用低于乙方案，因此“总费用必然更高”的表述错误，D选项错误。
综上，正确选项为ABC。
【答案】
ABC
【知识点】
一次函数的实际应用；列一次函数解析式；函数值计算
【点评】
本题属于一次函数方案选择类的基础题型，核心是准确梳理不同方案的费用构成，做题时注意不要被题干中无关的迷惑信息误导，结合函数关系式计算验证即可得出结论。
【难度系数】
0.75
解题时首先要排除题干中的无关干扰信息：机器人生产成本、巡检速度均与租赁月总费用的计算无关，无需考虑。解题思路如下：第一步，根据甲、乙两公司的租赁收费规则，分别梳理总费用的组成部分，列出y与x的函数关系式，判断选项A、B是否正确；第二步，将x=100分别代入两个函数式计算费用，验证选项C；第三步，通过举反例分析，判断选项D的表述是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：甲公司月租基础费2000元为固定费用，每小时巡检成本40元，因此月总费用=月租+每小时费用×巡检时长，即$y=40x+2000$，A选项正确。
2. 分析选项B：乙公司无月租费，每小时巡检成本60元，因此月总费用=每小时费用×巡检时长，即$y=60x$，B选项正确。
3. 分析选项C：当$x=100$时，甲方案费用：$y=40×100+2000=6000$元；乙方案费用：$y=60×100=6000$元，两方案费用相等，C选项正确。
4. 分析选项D：机器人成本是公司的生产成本，与用户租赁的月总费用无直接关联；且当巡检时长大于100小时时，甲方案的总费用低于乙方案，因此“总费用必然更高”的表述错误，D选项错误。
综上，正确选项为ABC。
【答案】
ABC
【知识点】
一次函数的实际应用；列一次函数解析式；函数值计算
【点评】
本题属于一次函数方案选择类的基础题型，核心是准确梳理不同方案的费用构成，做题时注意不要被题干中无关的迷惑信息误导，结合函数关系式计算验证即可得出结论。
【难度系数】
0.75
7. 某太阳能热水器水箱的最大蓄水量为1200升，在没有放水的情况下匀速注水。已知水箱的蓄水量$y$(升)与注水时间$x$(分)之间有如下对应关系：
判断变量$x,y$是否满足或近似地满足一次函数关系式。如果是，求$y$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
判断变量$x,y$是否满足或近似地满足一次函数关系式。如果是，求$y$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
答案
用描点的方法画出 y 关于 x 的函数图象(画图略)。根据所画图象接近直线断定 y 关于 x 的一次函数，其函数式是 y=40x，自变量的取值范围是 0≤x≤30。
解析
【分析】
要判断变量x、y是否为一次函数关系，可从一次函数的特征入手：一次函数的图象是直线，因此可先将已知的x、y对应值作为点的坐标描出，若点近似在同一条直线上，即可判定为一次函数关系。确定是一次函数后，用待定系数法设出函数表达式，代入对应值求解系数；最后结合实际场景：注水时间不能为负，且蓄水量不能超过水箱最大蓄水量，求出自变量x的取值范围。
【解析】
1. 函数类型判定：将题目给出的几组x、y对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，观察可知这些点近似在同一条直线上，因此y是x的一次函数。
2. 求函数表达式：设y关于x的一次函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
当注水时间$ x = 0 $时，水箱还未注水，蓄水量$ y = 0 $，代入表达式得：$ 0 = k × 0 + b $，解得$ b = 0 $。
任取一组已知对应值代入$ y = kx $，可得$ k = 40 $。
因此函数表达式为$ y = 40x $。
3. 求自变量取值范围：
注水时间不能为负数，因此$ x ≥ 0 $；
水箱最大蓄水量为1200升，因此$ y ≤ 1200 $，即$ 40x ≤ 1200 $，解得$ x ≤ 30 $。
综上，自变量x的取值范围是$ 0 ≤ x ≤ 30 $。
【答案】
y关于x的函数表达式为$ y = 40x $，自变量x的取值范围是$ 0 ≤ x ≤ 30 $。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的核心是掌握一次函数的判定方法和待定系数法求解析式的步骤，需注意实际问题中自变量的取值范围要符合场景要求，不能只考虑代数式本身有意义。
【难度系数】
0.8
要判断变量x、y是否为一次函数关系，可从一次函数的特征入手：一次函数的图象是直线，因此可先将已知的x、y对应值作为点的坐标描出，若点近似在同一条直线上，即可判定为一次函数关系。确定是一次函数后，用待定系数法设出函数表达式，代入对应值求解系数；最后结合实际场景：注水时间不能为负，且蓄水量不能超过水箱最大蓄水量，求出自变量x的取值范围。
【解析】
1. 函数类型判定：将题目给出的几组x、y对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，观察可知这些点近似在同一条直线上，因此y是x的一次函数。
2. 求函数表达式：设y关于x的一次函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
当注水时间$ x = 0 $时，水箱还未注水，蓄水量$ y = 0 $，代入表达式得：$ 0 = k × 0 + b $，解得$ b = 0 $。
任取一组已知对应值代入$ y = kx $，可得$ k = 40 $。
因此函数表达式为$ y = 40x $。
3. 求自变量取值范围：
注水时间不能为负数，因此$ x ≥ 0 $；
水箱最大蓄水量为1200升，因此$ y ≤ 1200 $，即$ 40x ≤ 1200 $，解得$ x ≤ 30 $。
综上，自变量x的取值范围是$ 0 ≤ x ≤ 30 $。
【答案】
y关于x的函数表达式为$ y = 40x $，自变量x的取值范围是$ 0 ≤ x ≤ 30 $。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题的核心是掌握一次函数的判定方法和待定系数法求解析式的步骤，需注意实际问题中自变量的取值范围要符合场景要求，不能只考虑代数式本身有意义。
【难度系数】
0.8
8. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出。已知生产$ x $只玩具熊猫的支出成本为$ R $（元），销售收入为$ P $（元），利润为$ y $（元），且$ R $，$ P $关于$ x $的函数表达式分别为$ R = 500 + 30x $，$ P = 55x $。
（1）求$ y $关于$ x $的函数表达式，并画出函数图象。
（2）根据图象解决下列问题：
①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？
②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（提示：利润=销售收入－支出成本）
（1）求$ y $关于$ x $的函数表达式，并画出函数图象。
（2）根据图象解决下列问题：
①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？
②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（提示：利润=销售收入－支出成本）
答案
（1）y=25x−500，图略 （2）①20 只；②90 只
解析
【分析】
解题思路如下：1. 第一问求利润关于产量的函数，直接根据题目给出的利润公式“利润=销售收入-支出成本”，将已知的R、P表达式代入化简即可，同时要结合实际生产限制确定自变量x的取值范围，画图象时只需画出该取值范围内的一次函数线段。2. 第二问的两个问题均为函数的实际应用：①“不亏损”即利润≥0，将其转化为一元一次不等式求解就能得到最小产量；②“利润为1750元”即y=1750，转化为一元一次方程求解，最后验证解是否符合产量的取值范围即可。
【解析】
（1）由题意得利润$y = P - R$，将$R = 500 + 30x$，$P = 55x$代入得：
$\begin{aligned}y&=55x-(500+30x)\\&=25x-500\end{aligned}$
结合每日最高产量为120只，且产量为非负整数，可知x的取值范围是$0≤ x≤120$（x为整数）。
函数图象：在坐标系中连接点$(20,0)$和$(120,2500)$所得的线段即为所求图象（图略）。
（2）①不亏损即$y≥0$，代入函数表达式得：
$25x-500≥0$
解得$x≥20$，即至少生产20只才不会亏损。
②当日利润为1750元时$y=1750$，代入得：
$25x-500=1750$
解得$x=90$，$90＜120$，符合产量要求。
【答案】
（1）$y=25x-500$（$0≤ x≤120$，x为整数），图略
（2）①20只；②90只
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生产销售的实际场景考查函数的简单应用，解题核心是理清三类金额的数量关系，能将实际问题转化为代数运算求解，同时要注意实际问题中自变量的取值限制，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 第一问求利润关于产量的函数，直接根据题目给出的利润公式“利润=销售收入-支出成本”，将已知的R、P表达式代入化简即可，同时要结合实际生产限制确定自变量x的取值范围，画图象时只需画出该取值范围内的一次函数线段。2. 第二问的两个问题均为函数的实际应用：①“不亏损”即利润≥0，将其转化为一元一次不等式求解就能得到最小产量；②“利润为1750元”即y=1750，转化为一元一次方程求解，最后验证解是否符合产量的取值范围即可。
【解析】
（1）由题意得利润$y = P - R$，将$R = 500 + 30x$，$P = 55x$代入得：
$\begin{aligned}y&=55x-(500+30x)\\&=25x-500\end{aligned}$
结合每日最高产量为120只，且产量为非负整数，可知x的取值范围是$0≤ x≤120$（x为整数）。
函数图象：在坐标系中连接点$(20,0)$和$(120,2500)$所得的线段即为所求图象（图略）。
（2）①不亏损即$y≥0$，代入函数表达式得：
$25x-500≥0$
解得$x≥20$，即至少生产20只才不会亏损。
②当日利润为1750元时$y=1750$，代入得：
$25x-500=1750$
解得$x=90$，$90＜120$，符合产量要求。
【答案】
（1）$y=25x-500$（$0≤ x≤120$，x为整数），图略
（2）①20只；②90只
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生产销售的实际场景考查函数的简单应用，解题核心是理清三类金额的数量关系，能将实际问题转化为代数运算求解，同时要注意实际问题中自变量的取值限制，避免得到不符合现实的结果。
【难度系数】
0.8
