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1. 分式方程的概念
分母中含
分母中含
未知数
的方程叫作分式方程。答案
1. 未知数
解析
【分析】
本题考查分式方程的基本概念，解题时首先回忆整式方程与分式方程的核心区别：整式方程的分母中不含未知数，而分式方程的标志性特征就是分母中存在未知数，直接对应定义内容即可完成填空。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分式方程核心判定特征的记忆，熟练掌握相关定义即可快速得分，是学习分式方程相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的基本概念，解题时首先回忆整式方程与分式方程的核心区别：整式方程的分母中不含未知数，而分式方程的标志性特征就是分母中存在未知数，直接对应定义内容即可完成填空。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此横线处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分式方程核心判定特征的记忆，熟练掌握相关定义即可快速得分，是学习分式方程相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
2. 分式方程的解法
解分式方程的一般步骤
(1)去分母:方程两边乘
(2)解这个
(3)检验:将
解分式方程的一般步骤
(1)去分母:方程两边乘
最简公分母
，化成整式
方程；(2)解这个
整式
方程；(3)检验:将
整式
方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0
，则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。答案
2. (1) 最简公分母 整式 (2) 整式 (3) 整式 0
解析
【分析】
本题考查解分式方程的基本步骤，解题时可回忆分式方程的求解逻辑：分式方程含有分母，计算不便，因此首先要通过去分母转化为我们熟悉的整式方程求解，再考虑去分母的变形可能产生增根的情况，因此需要检验，按照这个逻辑对应填写每一个空即可。
【解析】
解分式方程的三步流程如下：
(1) 去分母：为了消去方程中的分母，需要给方程两边同时乘各分母的最简公分母，此时分式方程就转化为整式方程；
(2) 求解上一步转化得到的整式方程，得到整式方程的解；
(3) 检验：由于去分母时，我们给两边乘的最简公分母可能为0，此时变形不符合等式的基本性质，得到的解不一定是原分式方程的解，因此需要将整式方程的解代入最简公分母验证，若最简公分母的值不为0，说明变形是等价的，这个解就是原分式方程的解，否则这个解是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) 最简公分母 整式 (2) 整式 (3) 整式 0
【知识点】
分式方程解法、分式方程验根
【点评】
本题是对分式方程求解基础步骤的考查，属于概念记忆类题目，熟练掌握该步骤是求解分式方程的前提，要在理解的基础上牢记，避免后续求解分式方程时出现忘记验根等错误。
【难度系数】
0.9
本题考查解分式方程的基本步骤，解题时可回忆分式方程的求解逻辑：分式方程含有分母，计算不便，因此首先要通过去分母转化为我们熟悉的整式方程求解，再考虑去分母的变形可能产生增根的情况，因此需要检验，按照这个逻辑对应填写每一个空即可。
【解析】
解分式方程的三步流程如下：
(1) 去分母：为了消去方程中的分母，需要给方程两边同时乘各分母的最简公分母，此时分式方程就转化为整式方程；
(2) 求解上一步转化得到的整式方程，得到整式方程的解；
(3) 检验：由于去分母时，我们给两边乘的最简公分母可能为0，此时变形不符合等式的基本性质，得到的解不一定是原分式方程的解，因此需要将整式方程的解代入最简公分母验证，若最简公分母的值不为0，说明变形是等价的，这个解就是原分式方程的解，否则这个解是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) 最简公分母 整式 (2) 整式 (3) 整式 0
【知识点】
分式方程解法、分式方程验根
【点评】
本题是对分式方程求解基础步骤的考查，属于概念记忆类题目，熟练掌握该步骤是求解分式方程的前提，要在理解的基础上牢记，避免后续求解分式方程时出现忘记验根等错误。
【难度系数】
0.9
[典例1]下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
2. 分式方程的解法
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
2. 分式方程的解法
答案
解：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
解析
【分析】
要判断方程是否为分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：核心是看方程的分母中是否含有未知数。解题时先逐个排查每个方程的所有分母：只要存在分母含未知数，就是分式方程；若所有分母都是不含未知数的常数，就不是分式方程。注意不要误将含有分数但分母是常数的方程当成分式方程，关键看分母位置有没有未知数。
【解析】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义、方程类型判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住分式方程的本质特征，注意区分含分母的整式方程和分式方程，避免因混淆概念出现判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否为分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：核心是看方程的分母中是否含有未知数。解题时先逐个排查每个方程的所有分母：只要存在分母含未知数，就是分式方程；若所有分母都是不含未知数的常数，就不是分式方程。注意不要误将含有分数但分母是常数的方程当成分式方程，关键看分母位置有没有未知数。
【解析】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义、方程类型判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住分式方程的本质特征，注意区分含分母的整式方程和分式方程，避免因混淆概念出现判断错误。
【难度系数】
0.8
[典例2]解分式方程:
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
典例解析
典例1
解(2)与(3)是分式方程；(1)与(4)不是分式方程。
典例2
解(1)方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$。解得$x=9$。
检验:当$x=9$时,$(x+1)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$。
解得$x=1$。
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
典例解析
典例1
解(2)与(3)是分式方程；(1)与(4)不是分式方程。
典例2
解(1)方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$。解得$x=9$。
检验:当$x=9$时,$(x+1)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$。
解得$x=1$。
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
答案
解：
(1) 方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
解得$x=9$。
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2) 方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(1) 方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
解得$x=9$。
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2) 方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须进行检验，因为去分母时会扩大未知数的取值范围，可能产生不满足原方程的增根。
对于(1)，先确定两个分母$x+1$和$x-3$的最简公分母为$(x+1)(x-3)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解整式方程后检验即可；
对于(2)，先将分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母转化为整式方程，解整式方程后代入最简公分母检验，若公分母为0则所得解为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
解得$x=9$。
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2) 方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=9}$；(2) $\boldsymbol{无解}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，重点掌握“去分母转化为整式方程、检验”两个核心步骤，要注意检验是解分式方程必不可少的环节，不可省略，避免将增根误认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须进行检验，因为去分母时会扩大未知数的取值范围，可能产生不满足原方程的增根。
对于(1)，先确定两个分母$x+1$和$x-3$的最简公分母为$(x+1)(x-3)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解整式方程后检验即可；
对于(2)，先将分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母转化为整式方程，解整式方程后代入最简公分母检验，若公分母为0则所得解为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
解得$x=9$。
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2) 方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=9}$；(2) $\boldsymbol{无解}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，重点掌握“去分母转化为整式方程、检验”两个核心步骤，要注意检验是解分式方程必不可少的环节，不可省略，避免将增根误认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
