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1. 下列方程中,是分式方程的是(
A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
D
).A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需要逐个检查每个选项的方程分母中是否含有未知数，就可以选出正确答案。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母是5和4，均为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不符合要求；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次方程，所有项的分母都没有未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次方程，没有含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母是$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程的判定要点：分母中是否含有未知数，注意区分分母中的常数和未知数，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需要逐个检查每个选项的方程分母中是否含有未知数，就可以选出正确答案。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母是5和4，均为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不符合要求；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次方程，所有项的分母都没有未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次方程，没有含未知数的分母，属于整式方程，不符合要求；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母是$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程的判定要点：分母中是否含有未知数，注意区分分母中的常数和未知数，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
2.(2025·内蒙古兴安盟期末)已知关于$x$的方程$\frac{x}{x-1} -2 = \frac{-3k}{1-x}$的解为正数，则$k$的取值范围是(
A.$k≠1$
B.$k≠\frac{1}{3}$
C.$k＞\frac{2}{3}$，且$k≠1$
D.$k＜\frac{2}{3}$，且$k≠\frac{1}{3}$
D
).A.$k≠1$
B.$k≠\frac{1}{3}$
C.$k＞\frac{2}{3}$，且$k≠1$
D.$k＜\frac{2}{3}$，且$k≠\frac{1}{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含k的代数式表示出方程的解x；再根据“解为正数”得到x＞0的不等式，同时要注意分式方程分母不能为0（即x≠1，否则原方程无意义），联立两个条件求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原方程变形，将右侧分母化为x-1：
$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{3k}{x-1}$
方程两边同时乘以(x-1)（此时需满足x≠1，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$x - 2(x - 1) = 3k$
展开并整理整式方程：
$x - 2x + 2 = 3k$
$-x = 3k - 2$
解得：$x = 2 - 3k$
∵ 方程的解为正数，
∴ $x＞0$，即：
$2 - 3k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ \frac{2}{3}$
又
∵ 分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴：
$2 - 3k ≠ 1$
解得：$k ≠ \frac{1}{3}$
综上，k的取值范围是$k ＜ \frac{2}{3}$且$k ≠ \frac{1}{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，一元一次不等式的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程解的相关应用，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含限制，导致漏掉$k≠\frac{1}{3}$的情况，求解此类问题时一定要记得检验增根条件。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，首先需要将分式方程转化为整式方程，用含k的代数式表示出方程的解x；再根据“解为正数”得到x＞0的不等式，同时要注意分式方程分母不能为0（即x≠1，否则原方程无意义），联立两个条件求解即可得到k的取值范围。
【解析】
先对原方程变形，将右侧分母化为x-1：
$\frac{x}{x-1} - 2 = \frac{3k}{x-1}$
方程两边同时乘以(x-1)（此时需满足x≠1，否则分母为0，方程无意义），去分母得：
$x - 2(x - 1) = 3k$
展开并整理整式方程：
$x - 2x + 2 = 3k$
$-x = 3k - 2$
解得：$x = 2 - 3k$
∵ 方程的解为正数，
∴ $x＞0$，即：
$2 - 3k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ \frac{2}{3}$
又
∵ 分母不为0，即$x ≠ 1$，
∴：
$2 - 3k ≠ 1$
解得：$k ≠ \frac{1}{3}$
综上，k的取值范围是$k ＜ \frac{2}{3}$且$k ≠ \frac{1}{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，一元一次不等式的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程解的相关应用，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含限制，导致漏掉$k≠\frac{1}{3}$的情况，求解此类问题时一定要记得检验增根条件。
【难度系数】
0.7
3. 解分式方程：(1)$\frac{5}{x+3}=\frac{4}{x}$；(2)$1-\frac{x}{x-1}=\frac{4}{(x-5)(x-1)}$
答案
3. 解 (1)方程两边乘$x(x+3)$,得
$5x=4x+12$.
解得$x=12$.
检验:当$x=12$时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=12$.
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$.
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
$5x=4x+12$.
解得$x=12$.
检验:当$x=12$时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=12$.
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$.
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
第(1)题分母为$x+3$和$x$，最简公分母为$x(x+3)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；第(2)题分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母为$(x-5)(x-1)$，注意去分母时常数项1也要乘最简公分母，解完必须检验。
【解析】
(1) 方程两边同时乘$x(x+3)$，得：
$5x=4(x+3)$
展开得$5x=4x+12$
解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，符合要求。
(2) 方程两边同时乘$(x-5)(x-1)$，得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边得：$x^2-6x+5-x^2+5x=4$
合并同类项得：$-x+5=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=12}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程解法，去分母，增根检验
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程的标准求解步骤，易错点为去分母时常数项漏乘最简公分母、解完方程忘记验根，需注意规避这两类常见错误。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
第(1)题分母为$x+3$和$x$，最简公分母为$x(x+3)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；第(2)题分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母为$(x-5)(x-1)$，注意去分母时常数项1也要乘最简公分母，解完必须检验。
【解析】
(1) 方程两边同时乘$x(x+3)$，得：
$5x=4(x+3)$
展开得$5x=4x+12$
解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，符合要求。
(2) 方程两边同时乘$(x-5)(x-1)$，得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边得：$x^2-6x+5-x^2+5x=4$
合并同类项得：$-x+5=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=12}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程解法，去分母，增根检验
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程的标准求解步骤，易错点为去分母时常数项漏乘最简公分母、解完方程忘记验根，需注意规避这两类常见错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知分式方程$\frac{▲}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚。
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。
答案
4. 解 (1)$\frac{6}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$,
方程两边乘$(x-3)$,得$6-(x-1)=x-3$.
解得$x=5$.
检验:当$x=5$时,$x-3≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=5$.
(2)设$▲=m$,$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$,
方程两边乘$(x-3)$,得$m-(x-1)=x-3$.
解得$x=\frac{m}{2}+2$.
因为原分式方程无解,所以$x-3=0$,即$x=3$,
所以$\frac{m}{2}+2=3$.
解得$m=2$.
所以,原分式方程中“▲”代表的数为2.
方程两边乘$(x-3)$,得$6-(x-1)=x-3$.
解得$x=5$.
检验:当$x=5$时,$x-3≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=5$.
(2)设$▲=m$,$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$,
方程两边乘$(x-3)$,得$m-(x-1)=x-3$.
解得$x=\frac{m}{2}+2$.
因为原分式方程无解,所以$x-3=0$,即$x=3$,
所以$\frac{m}{2}+2=3$.
解得$m=2$.
所以,原分式方程中“▲”代表的数为2.
解析
【分析】
（1）已知“▲”为6时，按照解分式方程的常规思路处理：先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程得到x的取值，最后检验x是否让原分式的分母不为0，即可确定方程的解。
（2）分式方程无解的原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根，本题中分式的分母为$x-3$，因此增根为$x=3$。我们设“▲”代表的数为$m$，先去分母得到整式方程，用含$m$的式子表示出$x$，再将增根$x=3$代入表达式，即可求出$m$的取值。
【解析】
（1）当“▲”表示的数为6时，原方程为$\frac{6}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，
方程两边同乘$(x-3)$去分母，得$6-(x-1)=x-3$，
去括号得$6-x+1=x-3$，
移项、合并同类项得$-2x=-10$，
解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x-3=5-3=2≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
（2）设“▲”代表的数为$m$，原方程为$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，
方程两边同乘$(x-3)$去分母，得$m-(x-1)=x-3$，
整理得$2x=m+4$，解得$x=\frac{m}{2}+2$。
因为原分式方程无解，所以该解是原方程的增根，即$x-3=0$，$x=3$，
将$x=3$代入$x=\frac{m}{2}+2$，得$\frac{m}{2}+2=3$，
解得$m=2$，即“▲”代表的数为2。
【答案】
（1）$x=5$；（2）2
【知识点】
分式方程的解法，分式方程无解的条件
【点评】
本题围绕分式方程的核心知识点设题，第一问是基础的分式方程求解，第二问是对分式方程无解条件的灵活应用，解题时要注意解分式方程必须检验，理解增根的意义是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.7
（1）已知“▲”为6时，按照解分式方程的常规思路处理：先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程得到x的取值，最后检验x是否让原分式的分母不为0，即可确定方程的解。
（2）分式方程无解的原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根，本题中分式的分母为$x-3$，因此增根为$x=3$。我们设“▲”代表的数为$m$，先去分母得到整式方程，用含$m$的式子表示出$x$，再将增根$x=3$代入表达式，即可求出$m$的取值。
【解析】
（1）当“▲”表示的数为6时，原方程为$\frac{6}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，
方程两边同乘$(x-3)$去分母，得$6-(x-1)=x-3$，
去括号得$6-x+1=x-3$，
移项、合并同类项得$-2x=-10$，
解得$x=5$。
检验：当$x=5$时，$x-3=5-3=2≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
（2）设“▲”代表的数为$m$，原方程为$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，
方程两边同乘$(x-3)$去分母，得$m-(x-1)=x-3$，
整理得$2x=m+4$，解得$x=\frac{m}{2}+2$。
因为原分式方程无解，所以该解是原方程的增根，即$x-3=0$，$x=3$，
将$x=3$代入$x=\frac{m}{2}+2$，得$\frac{m}{2}+2=3$，
解得$m=2$，即“▲”代表的数为2。
【答案】
（1）$x=5$；（2）2
【知识点】
分式方程的解法，分式方程无解的条件
【点评】
本题围绕分式方程的核心知识点设题，第一问是基础的分式方程求解，第二问是对分式方程无解条件的灵活应用，解题时要注意解分式方程必须检验，理解增根的意义是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x-2}{x+2} - \frac{mx}{x^2 -4}=1$无解，求所有满足条件的整数$m$的值。
答案
5. 解 方程两边乘$(x+2)(x-2)$,
得$(x-2)^2 -mx=(x+2)(x-2)$.
解得$x=\frac{8}{m+4}$.
因为关于$x$的分式方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{mx}{x^2-4}=1$无解,
所以$m+4=0$或$(x+2)(x-2)=0$,
所以$m=-4$或$\frac{8}{m+4}=±2$,
即$m=-4$或$m=0$或$m=-8$,所以,所有满足条件的整数$m$的值为$-4$或$-8$或$0$.
得$(x-2)^2 -mx=(x+2)(x-2)$.
解得$x=\frac{8}{m+4}$.
因为关于$x$的分式方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{mx}{x^2-4}=1$无解,
所以$m+4=0$或$(x+2)(x-2)=0$,
所以$m=-4$或$\frac{8}{m+4}=±2$,
即$m=-4$或$m=0$或$m=-8$,所以,所有满足条件的整数$m$的值为$-4$或$-8$或$0$.
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解分为两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分两种情况讨论即可：第一步先确定最简公分母，消去分母得到整式方程；第二步先分析整式方程无解的条件，再将原方程的增根代入整式方程求参数值，最后汇总所有符合条件的参数即可。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(x-2)^2 - mx = (x+2)(x-2)$
展开并整理得：
$x^2 -4x +4 -mx = x^2 -4$
移项合并同类项得：
$(m+4)x = 8$
结合分式方程无解的两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：此时一次项系数为0，即$m+4=0$，解得$m=-4$，此时整式方程变为$0·x=8$，无实数解，对应原分式方程无解。
2. 当整式方程的解为原分式方程的增根时：原分式方程分母为0，即$(x+2)(x-2)=0$，得增根为$x=2$或$x=-2$：
把$x=2$代入$(m+4)x=8$，得$2(m+4)=8$，解得$m=0$；
把$x=-2$代入$(m+4)x=8$，得$-2(m+4)=8$，解得$m=-8$。
综上，所有满足条件的整数m的值为-4、-8、0。
【答案】
$-4$，$-8$，$0$
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两类情况，分类讨论时要做到不重不漏，尤其容易遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解分为两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分两种情况讨论即可：第一步先确定最简公分母，消去分母得到整式方程；第二步先分析整式方程无解的条件，再将原方程的增根代入整式方程求参数值，最后汇总所有符合条件的参数即可。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(x-2)^2 - mx = (x+2)(x-2)$
展开并整理得：
$x^2 -4x +4 -mx = x^2 -4$
移项合并同类项得：
$(m+4)x = 8$
结合分式方程无解的两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：此时一次项系数为0，即$m+4=0$，解得$m=-4$，此时整式方程变为$0·x=8$，无实数解，对应原分式方程无解。
2. 当整式方程的解为原分式方程的增根时：原分式方程分母为0，即$(x+2)(x-2)=0$，得增根为$x=2$或$x=-2$：
把$x=2$代入$(m+4)x=8$，得$2(m+4)=8$，解得$m=0$；
把$x=-2$代入$(m+4)x=8$，得$-2(m+4)=8$，解得$m=-8$。
综上，所有满足条件的整数m的值为-4、-8、0。
【答案】
$-4$，$-8$，$0$
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两类情况，分类讨论时要做到不重不漏，尤其容易遗漏整式方程本身无解的情况。
【难度系数】
0.6
