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1. [2025开封十四中期中]甲、乙两人共同解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + by =5,①\\3x + cy =2,②\end{cases}$甲同学正确解得$\begin{cases}x=2,\\y=-1,\end{cases}$而乙同学粗心看错了方程②中的系数$c$,解得$\begin{cases}x=3,\\y=1,\end{cases}$试计算$(a + b + c)^2$的值。
答案
解:把$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入②,得$6 - c = 2$,解得$c=4$,
把$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入①,得$2a - b =5$,③
把$\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$代入①,得$3a + b =5$,④
③ + ④,得$5a=10$,解得$a=2$,
把$a=2$代入③,得$4 - b =5$,解得$b=-1$,
所以$(a + b + c)^2=(2 - 1 + 4)^2=5^2=25$。
把$\begin{cases}x=2,\\y=-1\end{cases}$代入①,得$2a - b =5$,③
把$\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$代入①,得$3a + b =5$,④
③ + ④,得$5a=10$,解得$a=2$,
把$a=2$代入③,得$4 - b =5$,解得$b=-1$,
所以$(a + b + c)^2=(2 - 1 + 4)^2=5^2=25$。
2. [2025 重庆八中期中]已知关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = 3k + 2, \\4x - 3y = -k + 5,\end{cases}$ 若 $ x - 2y = 1 $，则 $ k $ 的值为（ ）
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
A
$\begin{cases}2x + y = 3k + 2,①\\4x - 3y = -k + 5,②\end{cases}$ ② - ①,得$2x - 4y = -4k + 3$,所以$x - 2y = \frac{-4k + 3}{2}$,因为$x - 2y = 1$,所以$\frac{-4k + 3}{2}=1$,解得$k=\frac{1}{4}$。
$\begin{cases}2x + y = 3k + 2,①\\4x - 3y = -k + 5,②\end{cases}$ ② - ①,得$2x - 4y = -4k + 3$,所以$x - 2y = \frac{-4k + 3}{2}$,因为$x - 2y = 1$,所以$\frac{-4k + 3}{2}=1$,解得$k=\frac{1}{4}$。
变式 一题多解 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3m, \\x - y = 9m\end{cases}$的解满足方程$3x + 2y = 17$,求$m$的值。
拍批+错题本
拍批+错题本
答案
解:
通解 $\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m,②\end{cases}$
① + ②×2,得$3x=21m$,解得$x=7m$,
① - ②,得$3y=-6m$,解得$y=-2m$,
把$x=7m,y=-2m$代入$3x + 2y = 17$,
得$3×7m + 2×(-2m)=17$,解得$m=1$。
另解 $\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m,②\end{cases}$
①×3 - ②,得$2x + 7y = 0$,即$x=-\frac{7}{2}y$,③
把③代入$3x + 2y = 17$,得$3×(-\frac{7}{2}y) + 2y = 17$,解得$y=-2$,
把$y=-2$代入③,得$x=7$,
把$x=7,y=-2$代入②,得$m=1$。
通解 $\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m,②\end{cases}$
① + ②×2,得$3x=21m$,解得$x=7m$,
① - ②,得$3y=-6m$,解得$y=-2m$,
把$x=7m,y=-2m$代入$3x + 2y = 17$,
得$3×7m + 2×(-2m)=17$,解得$m=1$。
另解 $\begin{cases}x + 2y = 3m,①\\x - y = 9m,②\end{cases}$
①×3 - ②,得$2x + 7y = 0$,即$x=-\frac{7}{2}y$,③
把③代入$3x + 2y = 17$,得$3×(-\frac{7}{2}y) + 2y = 17$,解得$y=-2$,
把$y=-2$代入③,得$x=7$,
把$x=7,y=-2$代入②,得$m=1$。
3. [2025临汾尧都区期末]已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 2 - m, ① \\x - y = 2, ②\end{cases}$根据下列条件，求$m$的值。
(1)$x=3$。
(2)$x$和$y$互为相反数。
(1)$x=3$。
(2)$x$和$y$互为相反数。
答案
解:(1)将$x=3$代入②,得$3 - y = 2$,解得$y=1$,
将$x=3,y=1$代入①,得$6 + 1 = 2 - m$,解得$m=-5$。
(2)由题意,得$\begin{cases}x + y = 0,\\x - y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$
将$\begin{cases}x=1,\\y=-1\end{cases}$代入①,得$2 - 1 = 2 - m$,解得$m=1$。
将$x=3,y=1$代入①,得$6 + 1 = 2 - m$,解得$m=-5$。
(2)由题意,得$\begin{cases}x + y = 0,\\x - y = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$
将$\begin{cases}x=1,\\y=-1\end{cases}$代入①,得$2 - 1 = 2 - m$,解得$m=1$。
4. [2025保定月考] 已知方程组$\begin{cases}3x + y = 6, \\ bx + ay = 2\end{cases}$和方程组$\begin{cases}7x - 2y = 1, \\ ax - by = 4\end{cases}$的解相同。
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求$a,b$的值。
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求$a,b$的值。
答案
解:(1)因为方程组$\begin{cases}3x + y = 6, \\ bx + ay = 2\end{cases}$和方程组$\begin{cases}7x - 2y = 1, \\ ax - by = 4\end{cases}$的解相同,
所以方程组$\begin{cases}3x + y = 6, \\7x - 2y = 1\end{cases}$和方程组$\begin{cases}bx + ay = 2, \\ ax - by = 4\end{cases}$的解相同。
对于$\begin{cases}3x + y = 6,①\\7x - 2y = 1,②\end{cases}$
①×2 + ②,得$13x=13$,解得$x=1$,
将$x=1$代入①,得$3 + y = 6$,解得$y=3$,
所以这两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=1,\\y=3。\end{cases}$
(2)把$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}bx + ay = 2, \\ ax - by = 4,\end{cases}$
得$\begin{cases}b + 3a = 2,\\a - 3b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1。\end{cases}$
所以方程组$\begin{cases}3x + y = 6, \\7x - 2y = 1\end{cases}$和方程组$\begin{cases}bx + ay = 2, \\ ax - by = 4\end{cases}$的解相同。
对于$\begin{cases}3x + y = 6,①\\7x - 2y = 1,②\end{cases}$
①×2 + ②,得$13x=13$,解得$x=1$,
将$x=1$代入①,得$3 + y = 6$,解得$y=3$,
所以这两个方程组的相同解为$\begin{cases}x=1,\\y=3。\end{cases}$
(2)把$\begin{cases}x=1,\\y=3\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}bx + ay = 2, \\ ax - by = 4,\end{cases}$
得$\begin{cases}b + 3a = 2,\\a - 3b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1。\end{cases}$
