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8. 计算：
(1) $\frac{a+3}{1-a} · \frac{a-1}{a^2+3a}$
(2) $\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a + 1}$
(3)
(1) $\frac{a+3}{1-a} · \frac{a-1}{a^2+3a}$
(2) $\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a + 1}$
(3)
答案
(1) $-\frac{1}{a}$ (2) $\frac{a-1}{a}$ (3) $\frac{1}{a}$
解析
【分析】
分式乘除运算的通用解题思路：①先将所有除法运算转化为乘法运算，规则是除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；②对每个分式的分子、分母进行因式分解，遇到互为相反数的因式要先做符号转化；③约去分子分母的全部公因式，最终将结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，注意$1-a=-(a-1)$，$a^2+3a=a(a+3)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{a+3}{1-a} · \frac{a-1}{a^2+3a}&=\frac{a+3}{-(a-1)} · \frac{a-1}{a(a+3)}\\&=\frac{\cancel{a+3}}{-\cancel{(a-1)}} · \frac{\cancel{a-1}}{a·\cancel{a+3}}\\&=-\frac{1}{a}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：$a^2-a=a(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入计算：
$\begin{aligned}\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a + 1}&=\frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{a+1}\\&=\frac{\cancel{a+1}}{a·\cancel{(a-1)}} · \frac{\cancel{(a-1)}·(a-1)}{\cancel{a+1}}\\&=\frac{a-1}{a}\end{aligned}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-a=a(a-1)$，代入计算：
$\begin{aligned}\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2-4}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-a}{a-2}&=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} · \frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{\cancel{a-1}}{\cancel{a+2}} · \frac{\cancel{a+2}·\cancel{a-2}}{\cancel{(a-2)^2}} · \frac{\cancel{a-2}}{a·\cancel{a-1}}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a}$；(2) $\frac{a-1}{a}$；(3) $\frac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、约分
【点评】
这组题目是分式乘除的基础题型，核心考查运算规则的应用，解题时要遵循“除变乘→因式分解→约分”的步骤，注意互为相反数的因式的符号处理，确保最终结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的通用解题思路：①先将所有除法运算转化为乘法运算，规则是除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；②对每个分式的分子、分母进行因式分解，遇到互为相反数的因式要先做符号转化；③约去分子分母的全部公因式，最终将结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，注意$1-a=-(a-1)$，$a^2+3a=a(a+3)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{a+3}{1-a} · \frac{a-1}{a^2+3a}&=\frac{a+3}{-(a-1)} · \frac{a-1}{a(a+3)}\\&=\frac{\cancel{a+3}}{-\cancel{(a-1)}} · \frac{\cancel{a-1}}{a·\cancel{a+3}}\\&=-\frac{1}{a}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：$a^2-a=a(a-1)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入计算：
$\begin{aligned}\frac{a+1}{a^2 - a} ÷ \frac{a+1}{a^2 - 2a + 1}&=\frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{a+1}\\&=\frac{\cancel{a+1}}{a·\cancel{(a-1)}} · \frac{\cancel{(a-1)}·(a-1)}{\cancel{a+1}}\\&=\frac{a-1}{a}\end{aligned}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-a=a(a-1)$，代入计算：
$\begin{aligned}\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2-4}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-a}{a-2}&=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} · \frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{\cancel{a-1}}{\cancel{a+2}} · \frac{\cancel{a+2}·\cancel{a-2}}{\cancel{(a-2)^2}} · \frac{\cancel{a-2}}{a·\cancel{a-1}}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a}$；(2) $\frac{a-1}{a}$；(3) $\frac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、约分
【点评】
这组题目是分式乘除的基础题型，核心考查运算规则的应用，解题时要遵循“除变乘→因式分解→约分”的步骤，注意互为相反数的因式的符号处理，确保最终结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
9. 化简$\frac{x+1}{x^2-1} · \frac{x^2-2x+1}{x+2}$，然后选取一个恰当的数代入求值。
答案
原式$=\frac{x-1}{x+2}$，当$x=0$时，原式$=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}$（答案不唯一，$x≠±1$，$x≠-2$即可）
解析
【分析】
解决这道题可按三步展开思路：第一步，利用平方差公式、完全平方公式，把原式中能分解的分子、分母转化为因式乘积的形式，为约分做准备；第二步，依据分式乘法的运算规则，约去分子和分母的公因式，得到最简化简结果；第三步，选取代入的x值时，必须保证原式所有分式的分母不为0，避免分式无意义，再将符合要求的x代入最简式计算即可。
【解析】
解：首先对原式中的多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将分解结果代入原式：
$\frac{x+1}{x^2-1} · \frac{x^2-2x+1}{x+2}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x-1)^2}{x+2}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x+1≠0$，$x-1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠±1$，$x≠-2$。
约去分子分母的公因式后得：
原式$=\frac{x-1}{x+2}$
选取满足取值要求的$x=0$代入化简结果，得：
原式$=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}$
（x只要取不为±1、-2的数均可，计算结果随x取值变化）
【答案】
原式$=\frac{x-1}{x+2}$，当$x=0$时，原式$=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}$（答案不唯一，$x≠±1$，$x≠-2$即可）
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式因式分解再约分简化运算，需要特别注意代入求值时的取值限制，若选取的x使原分式分母为0，会导致整个运算无意义。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按三步展开思路：第一步，利用平方差公式、完全平方公式，把原式中能分解的分子、分母转化为因式乘积的形式，为约分做准备；第二步，依据分式乘法的运算规则，约去分子和分母的公因式，得到最简化简结果；第三步，选取代入的x值时，必须保证原式所有分式的分母不为0，避免分式无意义，再将符合要求的x代入最简式计算即可。
【解析】
解：首先对原式中的多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将分解结果代入原式：
$\frac{x+1}{x^2-1} · \frac{x^2-2x+1}{x+2}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x-1)^2}{x+2}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x+1≠0$，$x-1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠±1$，$x≠-2$。
约去分子分母的公因式后得：
原式$=\frac{x-1}{x+2}$
选取满足取值要求的$x=0$代入化简结果，得：
原式$=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}$
（x只要取不为±1、-2的数均可，计算结果随x取值变化）
【答案】
原式$=\frac{x-1}{x+2}$，当$x=0$时，原式$=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}$（答案不唯一，$x≠±1$，$x≠-2$即可）
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式因式分解再约分简化运算，需要特别注意代入求值时的取值限制，若选取的x使原分式分母为0，会导致整个运算无意义。
【难度系数】
0.7
10. 如图18.2-1，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水覆盖了，已知该题化简的结果为$\frac{1}{x+3}$。
（1）求被墨水覆盖的部分。
（2）该题化简的结果$\frac{1}{x+3}$能等于$\frac{1}{7}$吗？为什么？
（1）求被墨水覆盖的部分。
（2）该题化简的结果$\frac{1}{x+3}$能等于$\frac{1}{7}$吗？为什么？
答案
（1）设被墨水覆盖的部分是$A$，由题意得$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{A}{x-3} =\frac{1}{x+3}$，$\frac{x-4}{(x+3)(x-3)} · \frac{x-3}{A} =\frac{1}{x+3}$，$\frac{x-4}{A}=1$，解得$A=x-4$，故被墨水覆盖的部分为$x-4$
（2）不能，理由如下：若$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，则$x=4$. 分式$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{x-4}{x-3} =\frac{x-4}{x^2-9} · \frac{x-3}{x-4}$，当$x=4$时，原分式无意义，所以不能
（2）不能，理由如下：若$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，则$x=4$. 分式$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{x-4}{x-3} =\frac{x-4}{x^2-9} · \frac{x-3}{x-4}$，当$x=4$时，原分式无意义，所以不能
解析
【分析】
（1）第一小问先设被墨水覆盖的部分为未知数A，根据题目给出的运算关系和最终化简结果列等式。先利用平方差公式对分母$x^2-9$因式分解，再根据分式除法“除以一个分式等于乘它的倒数”的规则转化运算，约分后即可求出A的表达式。
（2）第二小问先假设结果等于$\frac{1}{7}$，解出对应的x值，再根据分式有意义的条件：分母不能为0、除数不能为0，检验x的取值是否使原分式有意义，即可判断是否成立。
【解析】
（1）设被墨水覆盖的部分为$A$，由题意得：
$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{A}{x-3} =\frac{1}{x+3}$
将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，再把除法转化为乘法：
$\frac{x-4}{(x+3)(x-3)} · \frac{x-3}{A} =\frac{1}{x+3}$
约分后得：
$\frac{x-4}{A(x+3)}=\frac{1}{x+3}$
由于$x+3≠0$，两边同乘$x+3$得$\frac{x-4}{A}=1$，解得$A=x-4$。
（2）不能，理由如下：
若$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，解得$x=4$。
代入原分式检验：原分式的除数为$\frac{x-4}{x-3}$，当$x=4$时，除数的分子为0，即除数为0，原分式无意义，因此结果不能等于$\frac{1}{7}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x-4}$
（2）不能，当结果为$\frac{1}{7}$时$x=4$，此时原分式无意义
【知识点】
分式乘除运算；分式有意义的条件；平方差公式
【点评】
本题综合考查分式的运算规则和分式有意义的限制条件，需要注意求解分式相关问题时，必须检验未知数的取值是否让原式有意义，是分式运算板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问先设被墨水覆盖的部分为未知数A，根据题目给出的运算关系和最终化简结果列等式。先利用平方差公式对分母$x^2-9$因式分解，再根据分式除法“除以一个分式等于乘它的倒数”的规则转化运算，约分后即可求出A的表达式。
（2）第二小问先假设结果等于$\frac{1}{7}$，解出对应的x值，再根据分式有意义的条件：分母不能为0、除数不能为0，检验x的取值是否使原分式有意义，即可判断是否成立。
【解析】
（1）设被墨水覆盖的部分为$A$，由题意得：
$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{A}{x-3} =\frac{1}{x+3}$
将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，再把除法转化为乘法：
$\frac{x-4}{(x+3)(x-3)} · \frac{x-3}{A} =\frac{1}{x+3}$
约分后得：
$\frac{x-4}{A(x+3)}=\frac{1}{x+3}$
由于$x+3≠0$，两边同乘$x+3$得$\frac{x-4}{A}=1$，解得$A=x-4$。
（2）不能，理由如下：
若$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，解得$x=4$。
代入原分式检验：原分式的除数为$\frac{x-4}{x-3}$，当$x=4$时，除数的分子为0，即除数为0，原分式无意义，因此结果不能等于$\frac{1}{7}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x-4}$
（2）不能，当结果为$\frac{1}{7}$时$x=4$，此时原分式无意义
【知识点】
分式乘除运算；分式有意义的条件；平方差公式
【点评】
本题综合考查分式的运算规则和分式有意义的限制条件，需要注意求解分式相关问题时，必须检验未知数的取值是否让原式有意义，是分式运算板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 下列运算正确的是（
A.$b^3 + b^2 = b^5$
B.$(-2b^2)^3 = -6a^6$
C.$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b$
D.$(-b)^3 ÷ (-b^2) = b$
D
）.A.$b^3 + b^2 = b^5$
B.$(-2b^2)^3 = -6a^6$
C.$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b$
D.$(-b)^3 ÷ (-b^2) = b$
答案
11. D
解析
【分析】
本题是运算正误判断题，解题时需逐个分析每个选项对应的运算规则，分别计算出正确结果后与选项给出的结果对比，通过排除法选出正确答案：首先判断同类项能否合并，再验证积的乘方运算是否正确，接着按从左到右的顺序计算分式乘除混合运算，最后验证幂的除法运算即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $b^3$和$b^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此该运算错误；
B. 根据积的乘方法则：$(-2b^2)^3=(-2)^3×(b^2)^3=-8b^6$，选项结果系数错误且多了未知字母$a$，因此该运算错误；
C. 分式乘除为同级运算，需按从左到右的顺序计算：
$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b× \frac{b}{a}× \frac{b}{a}=\frac{b^3}{a^2}≠ b$，因此该运算错误；
D. 根据幂的运算规则：$(-b)^3÷(-b^2)=(-b^3)÷(-b^2)=b^{3-2}=b$，运算结果正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的合并、积的乘方运算、分式乘除混合运算
【点评】
本题综合考查了整式运算与分式运算的基础法则，属于常考基础题型，易错点为混淆同类项合并的条件、积的乘方时系数计算错误、分式乘除运算时弄错运算顺序，答题时需细心验证每一步运算。
【难度系数】
0.7
本题是运算正误判断题，解题时需逐个分析每个选项对应的运算规则，分别计算出正确结果后与选项给出的结果对比，通过排除法选出正确答案：首先判断同类项能否合并，再验证积的乘方运算是否正确，接着按从左到右的顺序计算分式乘除混合运算，最后验证幂的除法运算即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $b^3$和$b^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此该运算错误；
B. 根据积的乘方法则：$(-2b^2)^3=(-2)^3×(b^2)^3=-8b^6$，选项结果系数错误且多了未知字母$a$，因此该运算错误；
C. 分式乘除为同级运算，需按从左到右的顺序计算：
$b ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a} = b× \frac{b}{a}× \frac{b}{a}=\frac{b^3}{a^2}≠ b$，因此该运算错误；
D. 根据幂的运算规则：$(-b)^3÷(-b^2)=(-b^3)÷(-b^2)=b^{3-2}=b$，运算结果正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的合并、积的乘方运算、分式乘除混合运算
【点评】
本题综合考查了整式运算与分式运算的基础法则，属于常考基础题型，易错点为混淆同类项合并的条件、积的乘方时系数计算错误、分式乘除运算时弄错运算顺序，答题时需细心验证每一步运算。
【难度系数】
0.7
12. 计算：$\frac{a}{a^2 - 1} · \frac{a^2 + a}{a^2}$
答案
$\frac{1}{a-1}$
解析
【分析】
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先先对各个分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子和分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
解：先对各式因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+a=a(a+1)$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2}\\&=\frac{a·a(a+1)}{(a+1)(a-1)·a^2}\\&=\frac{a^2(a+1)}{a^2(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算流程，解题时注意先因式分解再约分，要找全分子分母的公因式，避免因漏找公因式出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先先对各个分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子和分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
解：先对各式因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+a=a(a+1)$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{a(a+1)}{a^2}\\&=\frac{a·a(a+1)}{(a+1)(a-1)·a^2}\\&=\frac{a^2(a+1)}{a^2(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算流程，解题时注意先因式分解再约分，要找全分子分母的公因式，避免因漏找公因式出现计算错误。
【难度系数】
0.8
