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【变式2】如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ A=90°$, BD平分$∠ ABC$, $BC = 4$, $S_{△ BDC} = 2$, 则 AD等于().
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BD是∠ABC的平分线，点D在BD上，因此D到AB的距离AD等于D到BC的距离。接下来结合已知△BDC的面积和底BC的长度，可先求出D到BC的高，该高的长度就等于AD的长度，进而求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，可得AD = DE
已知$S_{△BDC}=2$，$BC=4$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对△BDC有：
$S_{△BDC}=\frac{1}{2}×BC×DE$
代入数值：$\frac{1}{2}×4×DE=2$
解得$DE=1$
∴ $AD=DE=1$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过角平分线的性质将所求线段AD转化为△BDC中BC边上的高，再结合面积公式计算即可，要注意掌握辅助线的构造思路，灵活运用角平分线的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中BD是∠ABC的平分线，点D在BD上，因此D到AB的距离AD等于D到BC的距离。接下来结合已知△BDC的面积和底BC的长度，可先求出D到BC的高，该高的长度就等于AD的长度，进而求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC
∴ 根据角平分线的性质，可得AD = DE
已知$S_{△BDC}=2$，$BC=4$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对△BDC有：
$S_{△BDC}=\frac{1}{2}×BC×DE$
代入数值：$\frac{1}{2}×4×DE=2$
解得$DE=1$
∴ $AD=DE=1$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过角平分线的性质将所求线段AD转化为△BDC中BC边上的高，再结合面积公式计算即可，要注意掌握辅助线的构造思路，灵活运用角平分线的性质。
【难度系数】
0.7
1. 如图，OC平分$∠ AOB$，在OC上取一点P，过点P作$PQ ⊥ OB$于点Q. 若$PQ=7\ \mathrm{cm}$，则点P到OA的距离为().
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
D
解析
【分析】
首先梳理已知条件：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PQ是点P到OB边的垂线段，长度为7cm，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，点到边的距离就是该点到边的垂线段的长度，所以点P到OA的距离和点P到OB的距离（即PQ的长度）相等，直接推导即可。
【解析】
过点P作PD⊥OA，垂足为D，则PD的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PQ⊥OB，PD⊥OA
∴ 根据角平分线的性质，可得PD = PQ
又
∵ PQ = 7cm
∴ PD = 7cm，即点P到OA的距离为7cm。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，注意“点到角两边的距离”指的是垂线段的长度，不要和普通线段长度混淆。
【难度系数】
0.9
首先梳理已知条件：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PQ是点P到OB边的垂线段，长度为7cm，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，点到边的距离就是该点到边的垂线段的长度，所以点P到OA的距离和点P到OB的距离（即PQ的长度）相等，直接推导即可。
【解析】
过点P作PD⊥OA，垂足为D，则PD的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PQ⊥OB，PD⊥OA
∴ 根据角平分线的性质，可得PD = PQ
又
∵ PQ = 7cm
∴ PD = 7cm，即点P到OA的距离为7cm。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握角平分线的性质，注意“点到角两边的距离”指的是垂线段的长度，不要和普通线段长度混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图，OP平分$∠ AOB$，$PC ⊥ OA$于点C，点D在OB上，PC=3，则PD的取值范围是 。
答案
解：过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵点D在OB上，由垂线段最短可知PD ≥ PE，
∴PD的取值范围是PD ≥ 3。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵点D在OB上，由垂线段最短可知PD ≥ PE，
∴PD的取值范围是PD ≥ 3。
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件联想相关性质：题目给出OP是∠AOB的平分线，且PC垂直OA，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先过P作OB的垂线PE，可得PE的长度等于PC=3；接下来要判断PD的取值范围，回忆垂线段的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，PD是点P到OB上点D的连线，因此PD的长度最小为PE的长度，没有上限，由此即可得到PD的取值范围。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵点D在OB上，由垂线段最短的性质可知，点P到OB上任意一点的连线中，垂线段PE最短，
∴PD ≥ PE，
∴PD的取值范围是PD ≥ 3。
【答案】
PD ≥ 3
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质和垂线段最短的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线得到点P到OB的距离，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件联想相关性质：题目给出OP是∠AOB的平分线，且PC垂直OA，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先过P作OB的垂线PE，可得PE的长度等于PC=3；接下来要判断PD的取值范围，回忆垂线段的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，PD是点P到OB上点D的连线，因此PD的长度最小为PE的长度，没有上限，由此即可得到PD的取值范围。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵点D在OB上，由垂线段最短的性质可知，点P到OB上任意一点的连线中，垂线段PE最短，
∴PD ≥ PE，
∴PD的取值范围是PD ≥ 3。
【答案】
PD ≥ 3
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质和垂线段最短的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线得到点P到OB的距离，需要熟练掌握相关基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,CD平分$∠ ACB$,$DE ⊥ AC$于点E.若$BC=8$,$DE=3$,则$△ BCD$的面积为.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
要计算△BCD的面积，已知底BC的长度为8，只需找到BC边上的高即可。结合已知CD平分∠ACB，DE⊥AC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，我们过D作BC的垂线，该垂线的长度就等于DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：DF=DE=3。
△BCD的面积为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形BC边上的高，再结合面积公式计算即可，难点在于辅助线的构造。
【难度系数】
0.8
要计算△BCD的面积，已知底BC的长度为8，只需找到BC边上的高即可。结合已知CD平分∠ACB，DE⊥AC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，我们过D作BC的垂线，该垂线的长度就等于DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：DF=DE=3。
△BCD的面积为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形BC边上的高，再结合面积公式计算即可，难点在于辅助线的构造。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知 BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC, PM ⊥ AD 于点 M, PN ⊥ CD 于点 N. 求证:PM=PN.
答案
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PM = PN。
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PM = PN。
解析
【分析】
要证明PM=PN，可利用角平分线的性质推导，即只需证明点P在∠ADC的角平分线上。首先根据已知条件：BD是∠ABC的平分线、AB=BC、BD为公共边，可通过SAS判定△ABD和△CBD全等；再根据全等三角形对应角相等，得到∠ADB=∠CDB，即可证明BD平分∠ADC；最后结合PM⊥AD、PN⊥CD的条件，利用角平分线的性质就能得出PM=PN。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PM = PN。
【答案】
PM=PN，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质应用的基础题型，解题核心是先通过全等三角形得到角相等，推导出角平分线，再利用角平分线的性质完成线段相等的证明，逻辑链条清晰，侧重基础知识点的结合运用。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，可利用角平分线的性质推导，即只需证明点P在∠ADC的角平分线上。首先根据已知条件：BD是∠ABC的平分线、AB=BC、BD为公共边，可通过SAS判定△ABD和△CBD全等；再根据全等三角形对应角相等，得到∠ADB=∠CDB，即可证明BD平分∠ADC；最后结合PM⊥AD、PN⊥CD的条件，利用角平分线的性质就能得出PM=PN。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ PM = PN。
【答案】
PM=PN，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质应用的基础题型，解题核心是先通过全等三角形得到角相等，推导出角平分线，再利用角平分线的性质完成线段相等的证明，逻辑链条清晰，侧重基础知识点的结合运用。
【难度系数】
0.8
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明$∠ AOC = ∠ BOC$ 的依据是().
A.“SSS”
B.“ASA”
C.“AAS”
D.角的平分线上的点到角两边的距离相等
A.“SSS”
B.“ASA”
C.“AAS”
D.角的平分线上的点到角两边的距离相等
答案
A
解析
【分析】
要判断∠AOC=∠BOC的依据，首先回忆尺规作角平分线的步骤提取相等的线段：第一步以O为圆心画弧得到ON=OM，第二步分别以M、N为圆心画弧得到NC=MC，再结合公共边OC，可证明△ONC和△OMC全等，进而得到对应角相等，即可确定判定依据。
【解析】
由尺规作角平分线的步骤可知：
$ON = OM$，$NC = MC$，
又
∵$OC$是$△ ONC$和$△ OMC$的公共边，即$OC=OC$，
在$△ ONC$和$△ OMC$中：
$\begin{cases}ON=OM \\NC=MC \\OC=OC\end{cases}$
∴$△ ONC ≌ △ OMC$（SSS），
∴$∠ NOC = ∠ MOC$，即$∠ AOC = ∠ BOC$，
因此依据是“SSS”，故选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题的关键是从作图步骤中提取出相等的线段，结合全等三角形的相关知识推导角相等，属于对基础作图原理的考查。
【难度系数】
0.8
要判断∠AOC=∠BOC的依据，首先回忆尺规作角平分线的步骤提取相等的线段：第一步以O为圆心画弧得到ON=OM，第二步分别以M、N为圆心画弧得到NC=MC，再结合公共边OC，可证明△ONC和△OMC全等，进而得到对应角相等，即可确定判定依据。
【解析】
由尺规作角平分线的步骤可知：
$ON = OM$，$NC = MC$，
又
∵$OC$是$△ ONC$和$△ OMC$的公共边，即$OC=OC$，
在$△ ONC$和$△ OMC$中：
$\begin{cases}ON=OM \\NC=MC \\OC=OC\end{cases}$
∴$△ ONC ≌ △ OMC$（SSS），
∴$∠ NOC = ∠ MOC$，即$∠ AOC = ∠ BOC$，
因此依据是“SSS”，故选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题的关键是从作图步骤中提取出相等的线段，结合全等三角形的相关知识推导角相等，属于对基础作图原理的考查。
【难度系数】
0.8
2. (2025 楚雄期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ CAB$的平分线.若$BD=6$,$BC=9$,则点$D$到$AB$的距离为().
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题要求点D到AB的距离，观察图形可知D在∠CAB的角平分线AD上，且D到AC边的距离就是CD的长度（因为∠C=90°，DC⊥AC），因此只需要先通过线段和差关系求出CD的长度，再利用角平分线的性质就能得到点D到AB的距离。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，DE的长即为点D到AB的距离。
已知$BC=9$，$BD=6$，
$\therefore CD=BC-BD=9-6=3$，
$\because AD$是$∠ CAB$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC⊥ AC$），$DE⊥ AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore DE=CD=3$，
即点D到AB的距离为3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题关键是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为可计算的线段长度，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题要求点D到AB的距离，观察图形可知D在∠CAB的角平分线AD上，且D到AC边的距离就是CD的长度（因为∠C=90°，DC⊥AC），因此只需要先通过线段和差关系求出CD的长度，再利用角平分线的性质就能得到点D到AB的距离。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，DE的长即为点D到AB的距离。
已知$BC=9$，$BD=6$，
$\therefore CD=BC-BD=9-6=3$，
$\because AD$是$∠ CAB$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC⊥ AC$），$DE⊥ AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore DE=CD=3$，
即点D到AB的距离为3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题关键是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为可计算的线段长度，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
