8. 先用计算器计算,再比较大小。
$2^3$ $3^2$, $3^4$ $4^3$, $4^5$ $5^4$, $5^6$ $6^5$, $6^7$ $7^6$, $7^8$ $8^7$。
(1)通过以上计算并比较大小,你发现了什么结论?
(2)不用计算器计算,用你发现的结论比较大小:$2023^{2024}$ $2024^{2023}$。

解：
计算得：
$2^3=8$，$3^2=9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，所以$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，所以$5^6 ＞ 6^5$；
$6^7=279936$，$7^6=117649$，所以$6^7 ＞ 7^6$；
$7^8=5764801$，$8^7=2097152$，所以$7^8 ＞ 8^7$。
(1) 结论：当$n$为正整数且$n ≤ 2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n$为正整数且$n ≥ 3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(2) 因为$2023 ≥ 3$，根据上述结论可得$2023^{2024} ＞ 2024^{2023}$。
最终填空结果依次为：$＜$，$＞$，$＞$，$＞$，$＞$，$＞$，$＞$。

【分析】
本题需先通过计算器计算每组幂的具体数值，再比较大小，接着观察比较结果归纳出关于正整数n的规律，最后运用该规律解决新的比较问题。具体步骤为：①计算每个幂的值；②比较每组两个数的大小；③分析大小关系随n变化的规律；④用规律判断2023和2024对应的幂的大小。
【解析】
解：
1. 计算各幂的值并比较大小：
$2^3 = 8$，$3^2 = 9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4 = 81$，$4^3 = 64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5 = 1024$，$5^4 = 625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6 = 15625$，$6^5 = 7776$，故$5^6 ＞ 6^5$；
$6^7 = 279936$，$7^6 = 117649$，故$6^7 ＞ 7^6$；
$7^8 = 5764801$，$8^7 = 2097152$，故$7^8 ＞ 8^7$；
2. 总结规律：观察上述结果，可得结论：当n为正整数时，若$n ≤ 2$，则$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；若$n ≥ 3$，则$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$；
3. 应用规律比较：因为2023是正整数且$2023 ≥ 3$，根据上述结论，可得$2023^{2024} ＞ 2024^{2023}$。
【答案】
＜，＞，＞，＞，＞，＞，＞；＞
【知识点】
有理数的乘方、数字规律探究、实数大小比较
【点评】
本题属于探究类基础题，通过计算简单幂的大小归纳规律，再应用规律解决复杂的比较问题，重点考查学生的计算能力和归纳推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.7