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任务导学
任务一 理解代数式的值的定义
阅读材料，完成下列探究.
如图，某校有一块长为$(3a + b)\mathrm{m}$，宽为$(2a + b)\mathrm{m}$的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为$(a + b)\mathrm{m}$的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）.
探究1：直接写出花坛的面积为 $\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^2$；（用含$a$，$b$的代数式表示）
探究2：草坪的面积为 $\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^2$；（用含$a$，$b$的代数式表示，无需化简）
探究3：若$a=5$，$b=2$，求花坛和草坪的面积分别是多少.
新知生成：一般地，用数值代替代数式中的 ______，按照代数式中的运算关系计算得出的 ______，叫作代数式的值. 当字母取不同的数值时，代数式的值一般也 ______.
即时测评
填一填：
$a$ $4$ $0$ $-\dfrac{2}{3}$ $-3$
$2-3a$ ______ ______ ______ ______
任务一 理解代数式的值的定义
阅读材料，完成下列探究.
如图，某校有一块长为$(3a + b)\mathrm{m}$，宽为$(2a + b)\mathrm{m}$的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为$(a + b)\mathrm{m}$的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）.
探究1：直接写出花坛的面积为 $\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^2$；（用含$a$，$b$的代数式表示）
探究2：草坪的面积为 $\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^2$；（用含$a$，$b$的代数式表示，无需化简）
探究3：若$a=5$，$b=2$，求花坛和草坪的面积分别是多少.
新知生成：一般地，用数值代替代数式中的 ______，按照代数式中的运算关系计算得出的 ______，叫作代数式的值. 当字母取不同的数值时，代数式的值一般也 ______.
即时测评
填一填：
$a$ $4$ $0$ $-\dfrac{2}{3}$ $-3$
$2-3a$ ______ ______ ______ ______
答案
探究1. $(a+b)^2$
探究2. $[(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2]$
探究3. 花坛的面积是$49\ \mathrm{m}^2$，草坪的面积是$155\ \mathrm{m}^2$.
新知生成：字母 结果 不同
即时测评：$-10$ $2$ $4$ $11$
探究2. $[(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2]$
探究3. 花坛的面积是$49\ \mathrm{m}^2$，草坪的面积是$155\ \mathrm{m}^2$.
新知生成：字母 结果 不同
即时测评：$-10$ $2$ $4$ $11$
解析
【分析】
1. 探究1：求正方形花坛面积，直接运用正方形面积公式“面积=边长×边长”，将已知的边长$(a+b)$代入即可得到对应代数式。
2. 探究2：草坪面积为长方形地块总面积减去中间正方形花坛的面积，先运用长方形面积公式“面积=长×宽”算出整块地的面积，再减去花坛面积即可，题目要求无需化简，直接列综合式即可。
3. 探究3：属于代数式求值问题，将$a=5$、$b=2$分别代入探究1、探究2得到的代数式中，按照四则运算顺序计算即可得到具体面积。
4. 新知生成：直接对应代数式的值的定义内容填空即可。
5. 即时测评：将表格中给出的$a$的不同取值，依次代入代数式$2-3a$中计算，注意负数代入时符号的处理，运算时先算乘法再算减法。
【解析】
探究1
正方形面积=边长×边长，已知花坛是边长为$(a+b)\mathrm{m}$的正方形，因此花坛面积为$(a+b)×(a+b)=(a+b)^2\ \mathrm{m}^2$。
探究2
长方形地块面积=长×宽$=(3a+b)(2a+b)\ \mathrm{m}^2$，草坪面积=长方形地块面积-花坛面积，因此草坪面积为$[(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2]\ \mathrm{m}^2$（无需化简）。
探究3
求花坛面积：将$a=5$，$b=2$代入$(a+b)^2$得：
$(5+2)^2=7^2=49\ \mathrm{m}^2$
求草坪面积：将$a=5$，$b=2$代入$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2$得：
先算长方形面积：$(3×5+2)×(2×5+2)=17×12=204\ \mathrm{m}^2$
再减花坛面积：$204-49=155\ \mathrm{m}^2$
新知生成
根据代数式的值的定义：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。
即时测评
分别将$a$的取值代入$2-3a$计算：
1. 当$a=4$时：$2-3×4=2-12=-10$
2. 当$a=0$时：$2-3×0=2-0=2$
3. 当$a=-\dfrac{2}{3}$时：$2-3×(-\dfrac{2}{3})=2+2=4$
4. 当$a=-3$时：$2-3×(-3)=2+9=11$
【答案】
探究1：$\boldsymbol{(a+b)^2}$
探究2：$\boldsymbol{(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2}$
探究3：花坛面积为$\boldsymbol{49\ \mathrm{m}^2}$，草坪面积为$\boldsymbol{155\ \mathrm{m}^2}$
新知生成：$\boldsymbol{字母}$；$\boldsymbol{结果}$；$\boldsymbol{不同}$
即时测评：$\boldsymbol{-10}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{11}$
【知识点】
1. 长方形与正方形面积计算
2. 代数式的值的定义
3. 代数式代入求值
【点评】
本题结合实际几何场景考查代数式相关知识，从概念识记到列式、运算，梯度设置合理，既检验了对基础概念的掌握情况，又锻炼了列式和运算能力，计算时注意代入负数时的符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
1. 探究1：求正方形花坛面积，直接运用正方形面积公式“面积=边长×边长”，将已知的边长$(a+b)$代入即可得到对应代数式。
2. 探究2：草坪面积为长方形地块总面积减去中间正方形花坛的面积，先运用长方形面积公式“面积=长×宽”算出整块地的面积，再减去花坛面积即可，题目要求无需化简，直接列综合式即可。
3. 探究3：属于代数式求值问题，将$a=5$、$b=2$分别代入探究1、探究2得到的代数式中，按照四则运算顺序计算即可得到具体面积。
4. 新知生成：直接对应代数式的值的定义内容填空即可。
5. 即时测评：将表格中给出的$a$的不同取值，依次代入代数式$2-3a$中计算，注意负数代入时符号的处理，运算时先算乘法再算减法。
【解析】
探究1
正方形面积=边长×边长，已知花坛是边长为$(a+b)\mathrm{m}$的正方形，因此花坛面积为$(a+b)×(a+b)=(a+b)^2\ \mathrm{m}^2$。
探究2
长方形地块面积=长×宽$=(3a+b)(2a+b)\ \mathrm{m}^2$，草坪面积=长方形地块面积-花坛面积，因此草坪面积为$[(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2]\ \mathrm{m}^2$（无需化简）。
探究3
求花坛面积：将$a=5$，$b=2$代入$(a+b)^2$得：
$(5+2)^2=7^2=49\ \mathrm{m}^2$
求草坪面积：将$a=5$，$b=2$代入$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2$得：
先算长方形面积：$(3×5+2)×(2×5+2)=17×12=204\ \mathrm{m}^2$
再减花坛面积：$204-49=155\ \mathrm{m}^2$
新知生成
根据代数式的值的定义：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。
即时测评
分别将$a$的取值代入$2-3a$计算：
1. 当$a=4$时：$2-3×4=2-12=-10$
2. 当$a=0$时：$2-3×0=2-0=2$
3. 当$a=-\dfrac{2}{3}$时：$2-3×(-\dfrac{2}{3})=2+2=4$
4. 当$a=-3$时：$2-3×(-3)=2+9=11$
【答案】
探究1：$\boldsymbol{(a+b)^2}$
探究2：$\boldsymbol{(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2}$
探究3：花坛面积为$\boldsymbol{49\ \mathrm{m}^2}$，草坪面积为$\boldsymbol{155\ \mathrm{m}^2}$
新知生成：$\boldsymbol{字母}$；$\boldsymbol{结果}$；$\boldsymbol{不同}$
即时测评：$\boldsymbol{-10}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{11}$
【知识点】
1. 长方形与正方形面积计算
2. 代数式的值的定义
3. 代数式代入求值
【点评】
本题结合实际几何场景考查代数式相关知识，从概念识记到列式、运算，梯度设置合理，既检验了对基础概念的掌握情况，又锻炼了列式和运算能力，计算时注意代入负数时的符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
例1 根据下列x，y的值，分别求代数式
$x+\frac{1}{3}y$ 的值.
(1)$x=5$，$y=7$； (2)$x=-1$，$y=6$.
$x+\frac{1}{3}y$ 的值.
(1)$x=5$，$y=7$； (2)$x=-1$，$y=6$.
答案
(1) 当$x=5$，$y=7$时，$x+\frac{1}{3}y=5+\frac{1}{3}×7=7\frac{1}{3}$.
(2) 当$x=-1$，$y=6$时，$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×6=1$.
(2) 当$x=-1$，$y=6$时，$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×6=1$.
解析
【分析】
这道题考查代数式求值，解题遵循“先代值、后计算”的思路：第一步，将对应小问里x、y的数值分别代入代数式$x+\frac{1}{3}y$，替换对应的字母；第二步，按照有理数运算顺序，先算乘法、再算加法，计算时注意符号规则和分数运算要求即可，两个小问都按该步骤分别计算。
【解析】
(1) 当$x=5$，$y=7$时，
代入代数式得：
$x+\frac{1}{3}y=5+\frac{1}{3}×7=5+\frac{7}{3}=7\frac{1}{3}$
(2) 当$x=-1$，$y=6$时，
代入代数式得：
$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×6=-1+2=1$
【答案】
(1) $7\frac{1}{3}$；(2) $1$
【知识点】
1.代数式求值 2.有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是严格按照代值、运算的步骤完成，计算时注意遵循运算顺序，代入负数时不要弄错符号，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查代数式求值，解题遵循“先代值、后计算”的思路：第一步，将对应小问里x、y的数值分别代入代数式$x+\frac{1}{3}y$，替换对应的字母；第二步，按照有理数运算顺序，先算乘法、再算加法，计算时注意符号规则和分数运算要求即可，两个小问都按该步骤分别计算。
【解析】
(1) 当$x=5$，$y=7$时，
代入代数式得：
$x+\frac{1}{3}y=5+\frac{1}{3}×7=5+\frac{7}{3}=7\frac{1}{3}$
(2) 当$x=-1$，$y=6$时，
代入代数式得：
$x+\frac{1}{3}y=-1+\frac{1}{3}×6=-1+2=1$
【答案】
(1) $7\frac{1}{3}$；(2) $1$
【知识点】
1.代数式求值 2.有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是严格按照代值、运算的步骤完成，计算时注意遵循运算顺序，代入负数时不要弄错符号，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
例2 根据下列a，b的值，分别求代数式$a^2 - \frac{b}{a} + b^2$的值.
(1)$a=3$，$b=6$；
(2)$a=-3$，$b=5$.
(1)$a=3$，$b=6$；
(2)$a=-3$，$b=5$.
答案
(1) 当$a=3$，$b=6$时，$a^2-\frac{b}{a}+b^2=3^2-\frac{6}{3}+6^2=43$.
(2) 当$a=-3$，$b=5$时，$a^2-\frac{b}{a}+b^2=(-3)^2-\frac{5}{-3}+5^2=35\frac{2}{3}$.
(2) 当$a=-3$，$b=5$时，$a^2-\frac{b}{a}+b^2=(-3)^2-\frac{5}{-3}+5^2=35\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题属于代数式求值类基础题，解题遵循“先代入、后计算”的逻辑：① 代入数值时，注意负数代入乘方运算要给负数整体加括号，避免出现符号错误；② 计算时严格按照有理数混合运算顺序执行：先算乘方，再算除法，最后按从左到右的顺序计算加减，逐步运算即可得到结果。
【解析】
(1) 当$a=3$，$b=6$时，代入代数式计算：
$\begin{aligned}a^2 - \frac{b}{a} + b^2&=3^2 - \frac{6}{3} + 6^2 \\&=9 - 2 + 36 \\&=43\end{aligned}$
(2) 当$a=-3$，$b=5$时，代入代数式计算：
$\begin{aligned}a^2 - \frac{b}{a} + b^2&=(-3)^2 - \frac{5}{-3} + 5^2 \\&=9 + \frac{5}{3} + 25 \\&=34 + 1\frac{2}{3} \\&=35\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{43}$
(2) $\boxed{35\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
1. 代数式求值
2. 有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查代入数值的规范度和有理数运算的准确性，做题时需注意负数乘方的书写规范，以及含负数的除法运算的符号处理，能有效巩固代数式求值的基本方法。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式求值类基础题，解题遵循“先代入、后计算”的逻辑：① 代入数值时，注意负数代入乘方运算要给负数整体加括号，避免出现符号错误；② 计算时严格按照有理数混合运算顺序执行：先算乘方，再算除法，最后按从左到右的顺序计算加减，逐步运算即可得到结果。
【解析】
(1) 当$a=3$，$b=6$时，代入代数式计算：
$\begin{aligned}a^2 - \frac{b}{a} + b^2&=3^2 - \frac{6}{3} + 6^2 \\&=9 - 2 + 36 \\&=43\end{aligned}$
(2) 当$a=-3$，$b=5$时，代入代数式计算：
$\begin{aligned}a^2 - \frac{b}{a} + b^2&=(-3)^2 - \frac{5}{-3} + 5^2 \\&=9 + \frac{5}{3} + 25 \\&=34 + 1\frac{2}{3} \\&=35\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{43}$
(2) $\boxed{35\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
1. 代数式求值
2. 有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查代入数值的规范度和有理数运算的准确性，做题时需注意负数乘方的书写规范，以及含负数的除法运算的符号处理，能有效巩固代数式求值的基本方法。
【难度系数】
0.8
