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基础知识·预习
问题1 结合上一节课的学习，总结一下如何求二次函数的最大(小)值？
问题2 结合实际生活，谈一下如何计算调整价格时销售商品的利润。
问题1 结合上一节课的学习，总结一下如何求二次函数的最大(小)值？
问题2 结合实际生活，谈一下如何计算调整价格时销售商品的利润。
答案
解：
问题1：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
问题1：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
解析
【分析】
问题1是二次函数最值的基础求解，思考时首先要抓住二次函数的核心性质：开口方向决定最值类型（最大值或最小值），顶点对应最值点，同时注意区分两种情况：①自变量可以取全体实数，此时最值就在顶点处取得；②自变量有固定区间限制，需要先判断顶点是否在区间内，再结合函数单调性比较顶点和区间端点的函数值得到最值。
问题2是销售利润的实际应用，思考时首先要牢记利润相关的基础等量关系，再分涨价、降价两种场景，梳理价格调整后单件利润、销售量的变化规律，代入等量关系即可得到利润表达式，最后要注意结合实际要求确定自变量的取值范围，不能出现销量为负、利润为负等不符合现实的情况。
【解析】
问题1解答：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2解答：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
【答案】
问题1：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
【知识点】
1. 二次函数最值求法
2. 销售利润计算
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
这两道题是二次函数实际应用的基础内容，既考查对二次函数核心性质的掌握情况，也要求能够结合生活场景梳理数量关系，是解决后续最大利润类应用题的必备基础。
【难度系数】
0.8
问题1是二次函数最值的基础求解，思考时首先要抓住二次函数的核心性质：开口方向决定最值类型（最大值或最小值），顶点对应最值点，同时注意区分两种情况：①自变量可以取全体实数，此时最值就在顶点处取得；②自变量有固定区间限制，需要先判断顶点是否在区间内，再结合函数单调性比较顶点和区间端点的函数值得到最值。
问题2是销售利润的实际应用，思考时首先要牢记利润相关的基础等量关系，再分涨价、降价两种场景，梳理价格调整后单件利润、销售量的变化规律，代入等量关系即可得到利润表达式，最后要注意结合实际要求确定自变量的取值范围，不能出现销量为负、利润为负等不符合现实的情况。
【解析】
问题1解答：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2解答：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
【答案】
问题1：
求二次函数的最大（小）值可按以下方法计算：
1. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的自变量$x$可取全体实数：
① 配方法：将函数化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点为$(h,k)$。当$a＞0$时，抛物线开口向上，$x=h$时函数取最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$x=h$时函数取最大值$k$。
② 公式法：直接计算得顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应的最值为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＞0$时为最小值，$a＜0$时为最大值。
2. 若自变量$x$被限制在给定区间$m≤ x≤ n$内：
先判断顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$是否落在该区间内：
若在区间内：分别计算顶点处、区间两个端点处的函数值，比较大小后即可得到区间内的最大值和最小值；
若不在区间内：函数在该区间上单调增减，直接计算两个区间端点的函数值，比较后得到区间内的最大、最小值。
问题2：
调整价格时的商品利润计算遵循以下方法：
1. 明确基础等量关系：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件商品利润} × \mathrm{销售总数量}$，其中$\mathrm{单件商品利润} = \mathrm{单件售价} - \mathrm{单件成本}$。
2. 若涨价调整：设每件涨价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润加$x$；若每涨价1元销量减少固定值$k$，则调整后的销量为原销量减去$k· x$，代入总利润公式即可得到涨价后的总利润表达式，同时结合售价上限、销量非负的实际要求确定$x$的合理取值范围。
3. 若降价调整：设每件降价$x$元，调整后的单件利润为原单件利润减$x$；若每降价1元销量增加固定值$t$，则调整后的销量为原销量加上$t· x$，代入总利润公式即可得到降价后的总利润表达式，同时结合单件利润非负、销量上限的实际要求确定$x$的合理取值范围。
【知识点】
1. 二次函数最值求法
2. 销售利润计算
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
这两道题是二次函数实际应用的基础内容，既考查对二次函数核心性质的掌握情况，也要求能够结合生活场景梳理数量关系，是解决后续最大利润类应用题的必备基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】某超市以20元/个的价格购入一批新型玩具，当售价为34元/个时，超市平均每天可售出100个。经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个。设玩具的单价降低了x元，超市每天销售该批玩具的利润为w元。
（1）降价后超市平均每天可售出个玩具。（用含x的式子表示）
（2）求w关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围。
（3）当超市将玩具的单价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解】（1）$(10x+100)$
（2）根据题意，得$w=(10x+100)(34-20-x)$，
即$w=-10x^2+40x+1400$.
其中，$0≤ x≤14$.
（3）$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$.
当$x=2$时，$w$取最大值，最大值为1440.
此时玩具的单价为$34-2=32$(元).
因此，当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元.
【规律方法】最大利润问题常用的数量关系：
利润$=$售价$-$进价.
利润$=$进价$×$利润率.
利润率$=\dfrac{售价-进价}{进价}×100\%=\dfrac{利润}{进价}×100\%$.
【即学即练】
某商店销售一种水杯，进价为每个40元，当售价为每个60元时，每天可售出200个.经市场调研发现：在此定价基础上，单价每上涨1元，每天的销售量减少5个；单价每下降1元，每天的销售量增加10个.设这种水杯的售价为每个$x(x≥40)$元，每天的销售利润为$y$元.当售价定为多少
时，每天的销售利润最大？
（1）降价后超市平均每天可售出个玩具。（用含x的式子表示）
（2）求w关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围。
（3）当超市将玩具的单价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解】（1）$(10x+100)$
（2）根据题意，得$w=(10x+100)(34-20-x)$，
即$w=-10x^2+40x+1400$.
其中，$0≤ x≤14$.
（3）$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$.
当$x=2$时，$w$取最大值，最大值为1440.
此时玩具的单价为$34-2=32$(元).
因此，当超市将玩具的单价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元.
【规律方法】最大利润问题常用的数量关系：
利润$=$售价$-$进价.
利润$=$进价$×$利润率.
利润率$=\dfrac{售价-进价}{进价}×100\%=\dfrac{利润}{进价}×100\%$.
【即学即练】
某商店销售一种水杯，进价为每个40元，当售价为每个60元时，每天可售出200个.经市场调研发现：在此定价基础上，单价每上涨1元，每天的销售量减少5个；单价每下降1元，每天的销售量增加10个.设这种水杯的售价为每个$x(x≥40)$元，每天的销售利润为$y$元.当售价定为多少
时，每天的销售利润最大？
答案
分两种情况讨论.
①当 $x＞60$ 时,销售量为 $200-5(x-60)$.
此时 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$,
即 $y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$.
当 $x=70$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4500.
②当 $40≤x≤60$ 时,销售量为 $200+10(60-x)$.
此时 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$,
即 $y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$.
当 $x=60$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4000.
$\because 4500＞4000$,
$\therefore$ 当售价定为每个 70 元时,每天的销售利润最大.
①当 $x＞60$ 时,销售量为 $200-5(x-60)$.
此时 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$,
即 $y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$.
当 $x=70$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4500.
②当 $40≤x≤60$ 时,销售量为 $200+10(60-x)$.
此时 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$,
即 $y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$.
当 $x=60$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 4000.
$\because 4500＞4000$,
$\therefore$ 当售价定为每个 70 元时,每天的销售利润最大.
解析
【分析】
本题属于销售利润最值问题，解题思路如下：1. 明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售量；2. 题中售价涨跌对应的销售量变化规律不同，因此需分售价高于60元、售价在40元到60元之间两种情况讨论；3. 分别在两种情况下写出销售量的表达式，进而列出利润关于售价x的二次函数；4. 结合二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，分别求出两段函数的最大值，再比较两个最大值的大小，最终确定最大利润对应的售价。
【解析】
根据题意，分两种情况讨论：
①当 $x＞60$ 时，单价每涨1元销量减少5个，此时销售量为 $200-5(x-60)$，单个利润为$(x-40)$元
则总利润 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$
化简得：$y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$ 当$x=70$时，$y$取最大值，最大值为4500元。
②当 $40≤x≤60$ 时，单价每降1元销量增加10个，此时销售量为 $200+10(60-x)$，单个利润为$(x-40)$元
则总利润 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$
化简得：$y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，在$40≤x≤60$范围内，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 当$x=60$时，$y$取最大值，最大值为4000元。
$\because 4500＞4000$，因此售价为70元时利润最大。
【答案】
当售价定为每个70元时，每天的销售利润最大。
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，分段函数求最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数最值的求解，解题的关键是根据售价涨跌的不同规则对售价区间分类讨论，分别建立利润函数，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围会影响最值的取点，避免忽略分段条件导致出错。
【难度系数】
0.6
本题属于销售利润最值问题，解题思路如下：1. 明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售量；2. 题中售价涨跌对应的销售量变化规律不同，因此需分售价高于60元、售价在40元到60元之间两种情况讨论；3. 分别在两种情况下写出销售量的表达式，进而列出利润关于售价x的二次函数；4. 结合二次函数开口向下时顶点处取得最大值的性质，分别求出两段函数的最大值，再比较两个最大值的大小，最终确定最大利润对应的售价。
【解析】
根据题意，分两种情况讨论：
①当 $x＞60$ 时，单价每涨1元销量减少5个，此时销售量为 $200-5(x-60)$，单个利润为$(x-40)$元
则总利润 $y=(x-40)[200-5(x-60)]$
化简得：$y=-5x^2+700x-20000=-5(x-70)^2+4500$
$\because -5＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$ 当$x=70$时，$y$取最大值，最大值为4500元。
②当 $40≤x≤60$ 时，单价每降1元销量增加10个，此时销售量为 $200+10(60-x)$，单个利润为$(x-40)$元
则总利润 $y=(x-40)[200+10(60-x)]$
化简得：$y=-10x^2+1200x-32000=-10(x-60)^2+4000$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，在$40≤x≤60$范围内，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 当$x=60$时，$y$取最大值，最大值为4000元。
$\because 4500＞4000$，因此售价为70元时利润最大。
【答案】
当售价定为每个70元时，每天的销售利润最大。
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，分段函数求最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数最值的求解，解题的关键是根据售价涨跌的不同规则对售价区间分类讨论，分别建立利润函数，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围会影响最值的取点，避免忽略分段条件导致出错。
【难度系数】
0.6
