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知识建构
实际问题
单项式：表示数或字母的①的代数式叫作单项式.单独一个数或一个字母也是单项式
单项式中的③叫作这个单项式的系数
一个单项式中，所有字母的④叫作这个单项式的次数
多项式：几个单项式的②叫作多项式
其中，每个单项式叫作多项式的⑤，不含字母的项叫作⑥
多项式里，次数最高的项的⑦，叫作这个多项式的次数
所含字母⑧，并且相同字母的指数也⑨的项叫作同类项
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的⑩，字母连同它的指数不变
合并同类项
整式的加减运算
去括号：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加
填空：
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
实际问题
单项式：表示数或字母的①的代数式叫作单项式.单独一个数或一个字母也是单项式
单项式中的③叫作这个单项式的系数
一个单项式中，所有字母的④叫作这个单项式的次数
多项式：几个单项式的②叫作多项式
其中，每个单项式叫作多项式的⑤，不含字母的项叫作⑥
多项式里，次数最高的项的⑦，叫作这个多项式的次数
所含字母⑧，并且相同字母的指数也⑨的项叫作同类项
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的⑩，字母连同它的指数不变
合并同类项
整式的加减运算
去括号：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加
填空：
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
答案
解：
① 积
② 和
③ 数字因数
④ 指数的和
⑤ 项
⑥ 常数项
⑦ 次数
⑧ 相同
⑨ 相同
⑩ 系数的和
① 积
② 和
③ 数字因数
④ 指数的和
⑤ 项
⑥ 常数项
⑦ 次数
⑧ 相同
⑨ 相同
⑩ 系数的和
解析
【分析】
这是一道整式相关基础概念的识记填空题，解题时只需对应回忆教材中单项式、多项式、同类项、合并同类项的标准定义，逐一匹配空缺位置填写即可：首先回忆单项式、多项式的定义对应填写①②；再回忆单项式的系数、次数的定义填写③④；接着回忆多项式的项、常数项、多项式次数的定义填写⑤⑥⑦；最后回忆同类项定义和合并同类项法则填写⑧⑨⑩。
【解析】
根据整式相关的基础定义逐一填写：
1. 单项式定义：表示数或字母的积的代数式叫作单项式，故①填“积”；
2. 多项式定义：几个单项式的和叫作多项式，故②填“和”；
3. 单项式系数定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，故③填“数字因数”；
4. 单项式次数定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，故④填“指数的和”；
5. 多项式的项的定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，故⑤填“项”；
6. 常数项定义：多项式中不含字母的项叫作常数项，故⑥填“常数项”；
7. 多项式次数定义：多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数，故⑦填“次数”；
8. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，故⑧填“相同”、⑨填“相同”；
9. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变，故⑩填“系数的和”。
【答案】
①积；②和；③数字因数；④指数的和；⑤项；⑥常数项；⑦次数；⑧相同；⑨相同；⑩系数的和
【知识点】
单项式与多项式的概念；同类项；合并同类项法则
【点评】
本题考查整式章节的核心基础概念，是后续学习整式加减、整式乘除等运算的重要前提，需要准确记忆、理解相关定义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
这是一道整式相关基础概念的识记填空题，解题时只需对应回忆教材中单项式、多项式、同类项、合并同类项的标准定义，逐一匹配空缺位置填写即可：首先回忆单项式、多项式的定义对应填写①②；再回忆单项式的系数、次数的定义填写③④；接着回忆多项式的项、常数项、多项式次数的定义填写⑤⑥⑦；最后回忆同类项定义和合并同类项法则填写⑧⑨⑩。
【解析】
根据整式相关的基础定义逐一填写：
1. 单项式定义：表示数或字母的积的代数式叫作单项式，故①填“积”；
2. 多项式定义：几个单项式的和叫作多项式，故②填“和”；
3. 单项式系数定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，故③填“数字因数”；
4. 单项式次数定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，故④填“指数的和”；
5. 多项式的项的定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，故⑤填“项”；
6. 常数项定义：多项式中不含字母的项叫作常数项，故⑥填“常数项”；
7. 多项式次数定义：多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数，故⑦填“次数”；
8. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，故⑧填“相同”、⑨填“相同”；
9. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变，故⑩填“系数的和”。
【答案】
①积；②和；③数字因数；④指数的和；⑤项；⑥常数项；⑦次数；⑧相同；⑨相同；⑩系数的和
【知识点】
单项式与多项式的概念；同类项；合并同类项法则
【点评】
本题考查整式章节的核心基础概念，是后续学习整式加减、整式乘除等运算的重要前提，需要准确记忆、理解相关定义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
1. (★)有下列式子：$a+2,-\dfrac{2b}{5},2x,\dfrac{-2x+y}{9},$
其中单项式有
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其中单项式有
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的判定标准：①由数与字母的乘积构成，单独的数或字母也属于单项式；②式子中不能含有加减运算；③分母中不能含有字母。接下来我们只需逐个判断给出的式子是否符合上述标准，统计符合要求的个数即可选出正确答案。
【解析】
首先明确单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
我们逐个判断给出的式子：
1. $a+2$：式子中含有加法运算，属于多项式，不是单项式；
2. $-\dfrac{2b}{5}$：可以变形为$-\dfrac{2}{5}× b$，是数与字母的乘积，符合单项式定义，是单项式；
3. $2x$：是数字2与字母x的乘积，符合单项式定义，是单项式；
4. $\dfrac{-2x+y}{9}$：可以变形为$\dfrac{-2x}{9}+\dfrac{y}{9}$，式子中含有加法运算，属于多项式，不是单项式。
综上，单项式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是对单项式定义的准确理解，解题时要注意区分单项式和多项式，避免把含有加减运算的式子误判为单项式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式的判定标准：①由数与字母的乘积构成，单独的数或字母也属于单项式；②式子中不能含有加减运算；③分母中不能含有字母。接下来我们只需逐个判断给出的式子是否符合上述标准，统计符合要求的个数即可选出正确答案。
【解析】
首先明确单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
我们逐个判断给出的式子：
1. $a+2$：式子中含有加法运算，属于多项式，不是单项式；
2. $-\dfrac{2b}{5}$：可以变形为$-\dfrac{2}{5}× b$，是数与字母的乘积，符合单项式定义，是单项式；
3. $2x$：是数字2与字母x的乘积，符合单项式定义，是单项式；
4. $\dfrac{-2x+y}{9}$：可以变形为$\dfrac{-2x}{9}+\dfrac{y}{9}$，式子中含有加法运算，属于多项式，不是单项式。
综上，单项式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是对单项式定义的准确理解，解题时要注意区分单项式和多项式，避免把含有加减运算的式子误判为单项式。
【难度系数】
0.8
2. (★)单项式$-2x^3y^2$的系数是________，次数是________.
答案
解：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，因此单项式$-2x^3y^2$的系数是$-2$；
单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，计算得$3+2=5$，因此该单项式的次数是$5$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{5}$。
单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，计算得$3+2=5$，因此该单项式的次数是$5$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的两个核心定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意要包含数字前面的符号；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，计算时仅统计字母的指数，不包含数字的指数。解题时先提取单项式的数字部分得到系数，再把所有字母的指数相加得到次数即可。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式$-2x^3y^2$的数字因数是$-2$，因此它的系数是$-2$；
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，该单项式中$x$的指数是3，$y$的指数是2，求和得$3+2=5$，因此它的次数是$5$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握单项式系数、次数的定义就能轻松作答，需要注意系数要保留前面的正负号，计算次数时不要遗漏字母的指数，也不要误将数字的指数计入其中。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的两个核心定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意要包含数字前面的符号；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，计算时仅统计字母的指数，不包含数字的指数。解题时先提取单项式的数字部分得到系数，再把所有字母的指数相加得到次数即可。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式$-2x^3y^2$的数字因数是$-2$，因此它的系数是$-2$；
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，该单项式中$x$的指数是3，$y$的指数是2，求和得$3+2=5$，因此它的次数是$5$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握单项式系数、次数的定义就能轻松作答，需要注意系数要保留前面的正负号，计算次数时不要遗漏字母的指数，也不要误将数字的指数计入其中。
【难度系数】
0.9
3. (★)填表：
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | | | |
| $x^2 - 2π + y^2$ | | | |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | | | |
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | | | |
| $x^2 - 2π + y^2$ | | | |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | | | |
答案
解：
多项式$a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$：
包含$a^2$、$-a^2b$、$b^2$、$\frac{4}{5}$共4个项，最高次项$-a^2b$的次数为3，常数项为$\frac{4}{5}$。
多项式$x^2 - 2π + y^2$：
包含$x^2$、$-2π$、$y^2$共3个项，最高次项的次数为2，常数项为$-2π$。
多项式$x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$：
包含$x^2$、$-\frac{2}{3}xy^2$、$-\frac{1}{2}$、$y^2$共4个项，最高次项$-\frac{2}{3}xy^2$的次数为3，常数项为$-\frac{1}{2}$。
填写完成的表格如下：
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | 4 | 3 | $\frac{4}{5}$ |
| $x^2 - 2π + y^2$ | 3 | 2 | $-2π$ |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | 4 | 3 | $-\frac{1}{2}$ |
多项式$a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$：
包含$a^2$、$-a^2b$、$b^2$、$\frac{4}{5}$共4个项，最高次项$-a^2b$的次数为3，常数项为$\frac{4}{5}$。
多项式$x^2 - 2π + y^2$：
包含$x^2$、$-2π$、$y^2$共3个项，最高次项的次数为2，常数项为$-2π$。
多项式$x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$：
包含$x^2$、$-\frac{2}{3}xy^2$、$-\frac{1}{2}$、$y^2$共4个项，最高次项$-\frac{2}{3}xy^2$的次数为3，常数项为$-\frac{1}{2}$。
填写完成的表格如下：
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | 4 | 3 | $\frac{4}{5}$ |
| $x^2 - 2π + y^2$ | 3 | 2 | $-2π$ |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | 4 | 3 | $-\frac{1}{2}$ |
解析
【分析】
要完成本题填表，首先需要明确多项式的三个核心概念：1.项数：多项式中每个单项式叫做多项式的项，统计项数时要包含单项式前面的符号；2.次数：多项式的次数由次数最高的项的次数决定，计算单项式次数时需将该单项式所有字母的指数相加，注意π属于常数不算作字母；3.常数项：多项式中不含字母的项就是常数项。我们按照这三个概念逐个分析三个多项式即可。
【解析】
我们逐个分析每个多项式的对应属性：
1. 对于多项式$a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$：
它包含的单项式为$a^2$、$-a^2b$、$b^2$、$\frac{4}{5}$，共4个，因此项数为4；
各单项式的次数分别为2、$2+1=3$、2、0，最高次为3，因此多项式次数为3；
不含字母的项是$\frac{4}{5}$，因此常数项为$\frac{4}{5}$。
2. 对于多项式$x^2 - 2π + y^2$：
它包含的单项式为$x^2$、$-2π$、$y^2$，共3个，因此项数为3；
各单项式的次数分别为2、0、2，最高次为2，因此多项式次数为2；
不含字母的项是$-2π$，因此常数项为$-2π$。
3. 对于多项式$x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$：
它包含的单项式为$x^2$、$-\frac{2}{3}xy^2$、$-\frac{1}{2}$、$y^2$，共4个，因此项数为4；
各单项式的次数分别为2、$1+2=3$、0、2，最高次为3，因此多项式次数为3；
不含字母的项是$-\frac{1}{2}$，因此常数项为$-\frac{1}{2}$。
将上述结果填入表格即可。
【答案】
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | 4 | 3 | $\frac{4}{5}$ |
| $x^2 - 2π + y^2$ | 3 | 2 | $-2π$ |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | 4 | 3 | $-\frac{1}{2}$ |
【知识点】
多项式的项与项数、多项式的次数、常数项
【点评】
本题是多项式基础概念的考察题，解题时需要注意：统计项数时不要忽略项前面的符号，π是常数不算字母，计算次数时仅累加字母的指数，确定常数项时也要注意符号。
【难度系数】
0.85
要完成本题填表，首先需要明确多项式的三个核心概念：1.项数：多项式中每个单项式叫做多项式的项，统计项数时要包含单项式前面的符号；2.次数：多项式的次数由次数最高的项的次数决定，计算单项式次数时需将该单项式所有字母的指数相加，注意π属于常数不算作字母；3.常数项：多项式中不含字母的项就是常数项。我们按照这三个概念逐个分析三个多项式即可。
【解析】
我们逐个分析每个多项式的对应属性：
1. 对于多项式$a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$：
它包含的单项式为$a^2$、$-a^2b$、$b^2$、$\frac{4}{5}$，共4个，因此项数为4；
各单项式的次数分别为2、$2+1=3$、2、0，最高次为3，因此多项式次数为3；
不含字母的项是$\frac{4}{5}$，因此常数项为$\frac{4}{5}$。
2. 对于多项式$x^2 - 2π + y^2$：
它包含的单项式为$x^2$、$-2π$、$y^2$，共3个，因此项数为3；
各单项式的次数分别为2、0、2，最高次为2，因此多项式次数为2；
不含字母的项是$-2π$，因此常数项为$-2π$。
3. 对于多项式$x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$：
它包含的单项式为$x^2$、$-\frac{2}{3}xy^2$、$-\frac{1}{2}$、$y^2$，共4个，因此项数为4；
各单项式的次数分别为2、$1+2=3$、0、2，最高次为3，因此多项式次数为3；
不含字母的项是$-\frac{1}{2}$，因此常数项为$-\frac{1}{2}$。
将上述结果填入表格即可。
【答案】
| 多项式 | 项数 | 次数 | 常数项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2 - a^2b + b^2 + \frac{4}{5}$ | 4 | 3 | $\frac{4}{5}$ |
| $x^2 - 2π + y^2$ | 3 | 2 | $-2π$ |
| $x^2 - \frac{2}{3}xy^2 - \frac{1}{2} + y^2$ | 4 | 3 | $-\frac{1}{2}$ |
【知识点】
多项式的项与项数、多项式的次数、常数项
【点评】
本题是多项式基础概念的考察题，解题时需要注意：统计项数时不要忽略项前面的符号，π是常数不算字母，计算次数时仅累加字母的指数，确定常数项时也要注意符号。
【难度系数】
0.85
