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如何设计装饰布,优化透光面积
素材1 小亮家进行装修,窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成(半径相同),如图①.已知长方形窗户的长为a m,宽为b m,如图②.
素材2 小亮想改变窗户的透光面积,他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布,半径均为$\frac{1}{4}b$ m,如图③.
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1,用含a,b的代数式表示窗户的透光面积为$m^2$.($π$取3)
任务2 确定透光面积 结合素材1,当$a=1.8,b=1.2$时,窗户的透光面积为$m^2$.($π$取3)
任务3 设计悬挂方案 结合素材2,请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案,要求:①4片装饰布都要使用,且保持形状不变;②4片装饰布不可以出现重叠.
请画出你的设计方案.
根据你的设计方案计算透光面积,并判断与素材1的设计方案相比,哪种方案透光面积更大.($π$取3)
素材1 小亮家进行装修,窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成(半径相同),如图①.已知长方形窗户的长为a m,宽为b m,如图②.
素材2 小亮想改变窗户的透光面积,他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布,半径均为$\frac{1}{4}b$ m,如图③.
问题解决
任务1 分析数量关系 结合素材1,用含a,b的代数式表示窗户的透光面积为$m^2$.($π$取3)
任务2 确定透光面积 结合素材1,当$a=1.8,b=1.2$时,窗户的透光面积为$m^2$.($π$取3)
任务3 设计悬挂方案 结合素材2,请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案,要求:①4片装饰布都要使用,且保持形状不变;②4片装饰布不可以出现重叠.
请画出你的设计方案.
根据你的设计方案计算透光面积,并判断与素材1的设计方案相比,哪种方案透光面积更大.($π$取3)
答案
解：
任务1：
长方形窗户面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，
两片四分之一圆的半径均为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$，总不透光面积为：
$2×\frac{1}{4}×3×(\frac{b}{2})^2=\frac{3}{8}b^2\ \mathrm{m}^2$，
因此透光面积为$\boldsymbol{ab-\frac{3}{8}b^2}\ \mathrm{m}^2$。
任务2：
将$a=1.8$，$b=1.2$代入$ab-\frac{3}{8}b^2$：
$1.8×1.2 - \frac{3}{8}×1.2^2 = 2.16 - 0.54 = \boldsymbol{1.62}\ \mathrm{m}^2$。
任务3：
设计方案：将4片四分之一圆装饰布分别放置在窗户的四个角落，每片装饰布的两条直边分别与窗户相邻的两条边重合，直角顶点与对应窗户的顶点重合，4片装饰布无重叠。
（图示：在长为$a$、宽为$b$的长方形的四个内角处，各绘制一个圆心位于长方形顶点、半径为$\frac{1}{4}b$的四分之一圆，扇形区域填充为装饰布样式即可）
计算透光面积：
4片装饰布的总不透光面积为：
$4×\frac{1}{4}×3×(\frac{1}{4}b)^2=\frac{3}{16}b^2\ \mathrm{m}^2$，
透光面积为$(ab-\frac{3}{16}b^2)\ \mathrm{m}^2$。
因为$\frac{3}{16}b^2 ＜ \frac{3}{8}b^2$，所以$ab-\frac{3}{16}b^2 ＞ ab-\frac{3}{8}b^2$，
该设计方案的透光面积比素材1的方案更大。
任务1：
长方形窗户面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，
两片四分之一圆的半径均为$\frac{b}{2}\ \mathrm{m}$，总不透光面积为：
$2×\frac{1}{4}×3×(\frac{b}{2})^2=\frac{3}{8}b^2\ \mathrm{m}^2$，
因此透光面积为$\boldsymbol{ab-\frac{3}{8}b^2}\ \mathrm{m}^2$。
任务2：
将$a=1.8$，$b=1.2$代入$ab-\frac{3}{8}b^2$：
$1.8×1.2 - \frac{3}{8}×1.2^2 = 2.16 - 0.54 = \boldsymbol{1.62}\ \mathrm{m}^2$。
任务3：
设计方案：将4片四分之一圆装饰布分别放置在窗户的四个角落，每片装饰布的两条直边分别与窗户相邻的两条边重合，直角顶点与对应窗户的顶点重合，4片装饰布无重叠。
（图示：在长为$a$、宽为$b$的长方形的四个内角处，各绘制一个圆心位于长方形顶点、半径为$\frac{1}{4}b$的四分之一圆，扇形区域填充为装饰布样式即可）
计算透光面积：
4片装饰布的总不透光面积为：
$4×\frac{1}{4}×3×(\frac{1}{4}b)^2=\frac{3}{16}b^2\ \mathrm{m}^2$，
透光面积为$(ab-\frac{3}{16}b^2)\ \mathrm{m}^2$。
因为$\frac{3}{16}b^2 ＜ \frac{3}{8}b^2$，所以$ab-\frac{3}{16}b^2 ＞ ab-\frac{3}{8}b^2$，
该设计方案的透光面积比素材1的方案更大。
解析
【分析】
首先明确透光面积的计算逻辑：透光面积=长方形窗户面积 - 装饰布的不透光面积。任务1需先确定素材1中两片四分之一圆的半径，计算其总面积，再用长方形面积减去该面积得到透光面积；任务2将给定的a、b值代入任务1的代数式计算即可；任务3需设计4片四分之一圆的悬挂方案（无重叠、全部使用），选择放置在四个角落的合理方案，计算其总不透光面积，再与素材1的透光面积比较大小。
【解析】
任务1：
长方形窗户的面积为 $ ab \, \mathrm{m}^2 $，素材1中两片四分之一圆的半径均为 $ \frac{b}{2} \, \mathrm{m} $，总不透光面积为：
$ 2 × \frac{1}{4} × 3 × ( \frac{b}{2} )^2 = \frac{3}{8}b^2 \, \mathrm{m}^2 $
因此透光面积为 $ ab - \frac{3}{8}b^2 \, \mathrm{m}^2 $。
任务2：
将 $ a=1.8 $，$ b=1.2 $ 代入 $ ab - \frac{3}{8}b^2 $：
$ 1.8 × 1.2 - \frac{3}{8} × (1.2)^2 = 2.16 - 0.54 = 1.62 \, \mathrm{m}^2 $。
任务3：
设计方案：将4片四分之一圆装饰布分别放置在长方形窗户的四个内角处，每片装饰布的两条直边分别与窗户相邻的两条边重合，直角顶点与对应窗户的顶点重合，确保4片装饰布无重叠。
计算透光面积：4片装饰布的总不透光面积为：
$ 4 × \frac{1}{4} × 3 × ( \frac{1}{4}b )^2 = \frac{3}{16}b^2 \, \mathrm{m}^2 $
透光面积为 $ ab - \frac{3}{16}b^2 \, \mathrm{m}^2 $。
比较两个透光面积：因为 $ \frac{3}{16}b^2 ＜ \frac{3}{8}b^2 $，所以 $ ab - \frac{3}{16}b^2 ＞ ab - \frac{3}{8}b^2 $，即该设计方案的透光面积比素材1的方案更大。
【答案】
任务1：$ ab - \frac{3}{8}b^2 $；任务2：$ 1.62 $；任务3：设计方案为将4片四分之一圆分别放在长方形窗户四个内角（直角顶点与窗户顶点重合，直边与相邻边重合），透光面积为 $ ab - \frac{3}{16}b^2 $，该方案透光面积更大。
【知识点】
代数式的应用、圆的面积计算
【点评】
本题结合实际装修场景，考查几何面积计算与代数式运算，需将实际问题转化为面积差问题，通过分析图形关系设计合理方案并比较结果，注重数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.5
首先明确透光面积的计算逻辑：透光面积=长方形窗户面积 - 装饰布的不透光面积。任务1需先确定素材1中两片四分之一圆的半径，计算其总面积，再用长方形面积减去该面积得到透光面积；任务2将给定的a、b值代入任务1的代数式计算即可；任务3需设计4片四分之一圆的悬挂方案（无重叠、全部使用），选择放置在四个角落的合理方案，计算其总不透光面积，再与素材1的透光面积比较大小。
【解析】
任务1：
长方形窗户的面积为 $ ab \, \mathrm{m}^2 $，素材1中两片四分之一圆的半径均为 $ \frac{b}{2} \, \mathrm{m} $，总不透光面积为：
$ 2 × \frac{1}{4} × 3 × ( \frac{b}{2} )^2 = \frac{3}{8}b^2 \, \mathrm{m}^2 $
因此透光面积为 $ ab - \frac{3}{8}b^2 \, \mathrm{m}^2 $。
任务2：
将 $ a=1.8 $，$ b=1.2 $ 代入 $ ab - \frac{3}{8}b^2 $：
$ 1.8 × 1.2 - \frac{3}{8} × (1.2)^2 = 2.16 - 0.54 = 1.62 \, \mathrm{m}^2 $。
任务3：
设计方案：将4片四分之一圆装饰布分别放置在长方形窗户的四个内角处，每片装饰布的两条直边分别与窗户相邻的两条边重合，直角顶点与对应窗户的顶点重合，确保4片装饰布无重叠。
计算透光面积：4片装饰布的总不透光面积为：
$ 4 × \frac{1}{4} × 3 × ( \frac{1}{4}b )^2 = \frac{3}{16}b^2 \, \mathrm{m}^2 $
透光面积为 $ ab - \frac{3}{16}b^2 \, \mathrm{m}^2 $。
比较两个透光面积：因为 $ \frac{3}{16}b^2 ＜ \frac{3}{8}b^2 $，所以 $ ab - \frac{3}{16}b^2 ＞ ab - \frac{3}{8}b^2 $，即该设计方案的透光面积比素材1的方案更大。
【答案】
任务1：$ ab - \frac{3}{8}b^2 $；任务2：$ 1.62 $；任务3：设计方案为将4片四分之一圆分别放在长方形窗户四个内角（直角顶点与窗户顶点重合，直边与相邻边重合），透光面积为 $ ab - \frac{3}{16}b^2 $，该方案透光面积更大。
【知识点】
代数式的应用、圆的面积计算
【点评】
本题结合实际装修场景，考查几何面积计算与代数式运算，需将实际问题转化为面积差问题，通过分析图形关系设计合理方案并比较结果，注重数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.5
