5. 有一个面积为81 $\mathrm{cm}^2$的正方形纸片. 如果将它做成一个圆柱的侧面，那么这个圆柱的底面直径是多少厘米？（结果保留一位小数）

解：根据题意，得正方形纸片的边长为9 cm. 设做成的圆柱的底面直径是$x$，则有$π x=9$.
解得$x\approx2.9$.
所以，这个圆柱的底面直径约是2.9 cm.

【分析】
解题首先从已知条件入手：第一步，已知正方形面积，可通过正方形面积公式求出正方形的边长；第二步，明确将正方形做成圆柱侧面时，正方形的边长等于圆柱底面的周长；第三步，结合圆的周长公式，即可列方程求出圆柱的底面直径，最后按要求保留小数位数即可。
【解析】
第一步：求正方形纸片的边长
设正方形的边长为a cm，由正方形面积公式$S=a^2$，已知面积为81 $\mathrm{cm}^2$，可得$a^2=81$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{81}=9$ cm。
第二步：建立等量关系求底面直径
设圆柱的底面直径为$x$ cm，圆柱侧面展开为正方形时，底面周长等于正方形的边长，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为直径），可列方程：
$π x=9$
解得$x=\frac{9}{π}\approx\frac{9}{3.14}\approx2.9$
【答案】
这个圆柱的底面直径约是2.9 cm。
【知识点】
正方形面积计算、圆柱侧面展开图特征、圆的周长计算
【点评】
本题重点考察平面图形与立体图形的转化对应关系，解题关键是找准圆柱底面周长和侧面展开正方形边长的等量关系，计算时要注意结果的保留位数要求。
【难度系数】
0.7

6. 如图，数轴上有A，B，C三点，1和$\sqrt{2}$的对应点分别为点A和点B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等。设A，B，C三点表示的三个数之和为p。
(1)求AB的长。
(2)求p的值。
(3)已知点D在点O的左侧，且DO=10。若以D为原点，请直接写出点C表示的数。

(1)$AB=\sqrt{2}-1$
(2)$p=1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=2$
(3)$11-\sqrt{2}$

【分析】
(1) 数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知A对应1、B对应$\sqrt{2}$，直接作差即可求出AB的长；
(2) 先根据题意得出OC的长度等于AB的长度，再结合C在原点左侧确定C表示的数，最后将A、B、C三点表示的数相加即可得到p的值；
(3) 先确定原数轴上D点表示的数，以D为新原点时，点的新坐标等于该点原有坐标减去D点的原有坐标，代入C点的原数计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为点A对应数1，点B对应数$\sqrt{2}$，且B在A的右侧，
所以$AB=\sqrt{2}-1$。
(2) 由题意可知$OC=AB=\sqrt{2}-1$，
又因为点C在原点左侧，所以点C表示的数为$-(\sqrt{2}-1)=1-\sqrt{2}$，
因此$p=(1-\sqrt{2})+1+\sqrt{2}=2$。
(3) 点D在O左侧且$DO=10$，因此原数轴上D表示的数为$-10$，
以D为原点时，点C表示的数为$(1-\sqrt{2})-(-10)=11-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}-1$
(2) $2$
(3) $11-\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；实数与数轴；数轴坐标变换
【点评】
本题结合实数运算考查数轴的基础应用，解题时需注意数轴上原点左侧的点对应负数，运算过程中要准确处理符号，避免出错。
【难度系数】
0.8

7. 如图①，在数轴上，点O和点C对应的数分别是0和60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（点A在点B的左侧）。若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，点B与点C重合；当点B移动到点A的位置时，点A与点O重合。
（1）直尺的长为个单位长度。
（2）若直尺AB在数轴上移动，存在$ BC=4OA $，求此时点A对应的数。
（3）如图②，以OC为边搭一个横断面为长方形的篷子，将直尺放入篷内数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，点A在点B的左侧），将直尺AB沿数轴以5个单位长度/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为$ t_1 $，$ t_2 $。若$ t_1 - t_2 = 2(\mathrm{s}) $，求将直尺放入篷内时，点A对应的数。

(1) 20
(2) 设$OA$的长度为$x$.
当点$A$在点$O$的右侧时，根据题意，得
$60-20-x=4x$.
解得$x=8$.
此时点$A$对应的数为8.
当点$A$在点$O$的左侧时，根据题意，得
$60-(20-x)=4x$.
解得$x=\frac{40}{3}$.
此时点$A$对应的数为$-\frac{40}{3}$.
(3) 设点$A$对应的数为$a(a＞0)$.
根据题意，得
$\frac{a+20}{5}-\frac{60-a}{5}=2$.
解得$a=25$，即点$A$对应的数为25.

【分析】
（1）根据直尺移动的规律：当点B移动到点A的位置时，点A与O重合，可知OA的长度等于直尺AB的长度；当点A移动到点B的位置时，点B与C重合，可知BC的长度也等于AB的长度，因此OC的长度是3倍的AB长，代入OC=60即可求出直尺长度。
（2）分两种情况讨论：①点A在原点O右侧，此时BC=OC-AB-OA，结合BC=4OA列方程求解；②点A在原点O左侧，此时BC=OC-(AB-OA)，再列方程求解即可得到点A对应的数。
（3）设放入篷内时点A对应的数为a，可知点B对应的数为a+20。向左移动到完全看到直尺，需要将B点移动到O点左侧，移动总路程为a+20，可得$t_1=\frac{a+20}{5}$；向右移动到完全看到直尺，需要将A点移动到C点右侧，移动总路程为$60-a$，可得$t_2=\frac{60-a}{5}$，结合$t_1-t_2=2$列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意得$OA=AB=BC$，且$OA+AB+BC=OC=60$，因此$3AB=60$，解得$AB=20$，即直尺的长为20个单位长度。
（2）设$OA$的长度为$x$。
①当点A在点O的右侧时，点A对应的数为$x$，点B对应的数为$x+20$，此时$BC=60-(x+20)$，根据$BC=4OA$列方程：
$60-20-x=4x$
解得$x=8$，此时点A对应的数为8。
②当点A在点O的左侧时，点A对应的数为$-x$，点B对应的数为$20-x$，此时$BC=60-(20-x)$，根据$BC=4OA$列方程：
$60-(20-x)=4x$
解得$x=\frac{40}{3}$，此时点A对应的数为$-\frac{40}{3}$。
（3）设将直尺放入篷内时，点A对应的数为$a(a＞0)$，则点B对应的数为$a+20$。
向左移动完全看到直尺的时间$t_1$为直尺右端B移动到O点的时间，移动路程为$a+20$，因此$t_1=\frac{a+20}{5}$；
向右移动完全看到直尺的时间$t_2$为直尺左端A移动到C点的时间，移动路程为$60-a$，因此$t_2=\frac{60-a}{5}$；
根据$t_1-t_2=2$，列方程：
$\frac{a+20}{5}-\frac{60-a}{5}=2$
两边同乘5得：$a+20-(60-a)=10$
化简得：$2a-40=10$，解得$a=25$。
【答案】
（1）$\boxed{20}$
（2）$\boxed{8}$或$\boxed{-\dfrac{40}{3}}$
（3）$\boxed{25}$
【知识点】
数轴的应用；一元一次方程的应用；动点问题
【点评】
本题将数轴与动点问题结合，解题的关键是理清移动过程中各线段的数量关系，同时需要对A的位置进行分类讨论，较好地考察了数形结合思想和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6